用1.3.2球的体积和表面积公式的推导(了解)_第1页
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1 3 2球的表面积与体积公式的推导 了解 9 11球的体积和表面积 高等于底面半径的旋转体体积对比 一 球的体积公式的推导 学习球的知识要注意和圆的有关知识结合起来 所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为R的圆分成若干等分 然后如上图重新拼接起来 把一个圆近似的看成是长是 R 宽是R的矩形 一 球的体积公式的推导 那么圆的面积就近似等于 R2 当所分份数不断增加时 精确程度就越来越高 当份数无穷大时 就得到了圆的面积公式 当所分份数不断增加时 精确程度就越来越高 当份数无穷大时 就得到了圆的面积公式 求值的步骤是 即先把半球分割成n部分 再求出每一部分的近似体积 并将这些近似值相加 得出半球的近似体积 最后考虑n变为无穷大的情形 由半球的近似体积推出准确体积 分割 求近似和 化为准确和 一 球的体积公式的推导 已知球的半径为R 求球的体积 一 球的体积公式的推导 解 如图 将此球的上半球自下而上n等分 则各截面圆的半径为 已知球的半径为R 求球的体积 一 球的体积公式的推导 解 如图 将此球的上半球自下而上n等分 则各截面圆的半径为 各部分可近似的看做一个圆柱 各部分的面积为 已知球的半径为R 求球的体积 一 球的体积公式的推导 解 如图 将此球的上半球自下而上n等分 各部分可近似的看做一个圆柱 各部分的面积为 已知球的半径为R 求球的体积 一 球的体积公式的推导 解 如图 将此球的上半球自下而上n等分 这种解题的思想 称为极限思想 R R 一个半径和高都等于R的圆柱 挖去一个以上底面为底面 下底面圆心为顶点的圆锥后 所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等 结论 2 若每小块表面看作一个平面 将每小块平面作为底面 球心作为顶点便得到n个棱锥 这些棱锥体积之和近似为球的体积 当n越大 越接近于球的体积 当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积 1 球的表面是曲面 不是平面 但如果将表面平均分割成n个小块 每小块表面可近似看作一个平面 这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积 当n趋近于无穷大时 这n小块平面面积之和等于球的表面积 球面不能展开成平面图形 所以求球的表面积无法用展开图求出 如何求球的表面积公式呢 回忆球的体积公式的推导方法 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢 下面 我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式 思路如下 二 球的表面积公式的推导 二 球的表面积公式的推导 第一步 分割 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 则球的体积为 二 球的表面积公式的推导 第二步
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