2线性微分方程的稳定性及其应用-刘英波.doc

论文题目：线性微分方程的稳定性及其应用 院 系： 数学科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 刘英波 学 号： 02211063 指导教师： 云文在 完成时间： 2006 年6月3日 线性微分方程的稳定性及其应用刘英波包头师范学院数学系摘要：Lyapunov意义下的几种稳定性定义；线性系统的所有解具有相同的稳性；线性系统的稳定性与吸引性等价；线性微分方程的稳定性定理；Lyapunov稳定性定理及其在线性系统稳定性分析中的应用。关键词：线性微分方程 稳定性引言稳定性的概念，最早来源于力学。李雅谱诺夫（Lyapunov）是第一位给出运动稳定性数学定义的人，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。线性系统有着广泛的实际背景，各种实例，俯拾即得；同时，又是非线性系统化的重要源泉。由于线性系统成立迭加原理，从而使解集构成线性空间，并 且通解可以通过Cauchy矩阵来表达，使稳定性理论有许多深刻的结果和特殊的方法。稳定性、吸引性的定义考虑线性微分方程组 记,为含原点的空间的n维开子集。在中连续，简记为, 分别为的定义域和值域。设方程 的Cauchy问题的解唯一，记,。设是的未受扰动的解，是的任意一个被扰动的解，作变换，则式化为 故式的解对应着式的平凡解。因此只研究式的平凡解的稳定性就够了。设保证式的解的整体存在的唯一性，对任意的t,当且仅当,时，是式的平凡解。以表示式满足初始值的解，设在上有定义。定义：若，当时，对一切，有，称方程的解是稳定的；反之，称方程的解是不稳定的，即。定义：若，当，对一切，有，称方程的解是一致稳定的。定义：若，当，时，有，即，称方程 的解是吸引的；若上述的T仅依赖于，不依赖于，即，称方程的解是等度吸引的；若它是等度吸引的，且等度吸引中的不依赖于，不依赖于，即：。定义：称方程的解分别是渐近稳定，等度渐近稳定，拟一致渐近稳定的，若：1）它是稳定的；2）它分别为吸引、等度吸引、一致吸引的。定义：称方程的解是一致渐近稳定的，若它是一致稳定的和一致吸引的，且式的所有解是一致有界的（即,当对一切成立）。例1 试判断线性方程组的稳定性解 通解为，或，(与无关),当时，就有，故平凡解一致稳定。但故平凡解不是吸引的，从而不是渐近稳定的。非齐次与齐次方程组稳定性的关系考虑n维变系数非齐次线性方程组 及对应的齐次方程组 其中,。若x,y是式的解，则也是式的解；若x,y分别是式的解，则x-y也是式的解。式的n个线性无关的解就构成式的解空间的基。设是式的基解矩阵，则为式的标准基解矩阵，又称为 Cauchy矩阵。定义：若方程组的所有解具有某种稳定性，则称方程组具有这种稳定性。定理:，方程组具有某种稳定性,当且仅当式的解具有相同的稳定性。推论:方程组具有某种稳定性，当且仅当的某一个解具有同一种稳定性。推论:具有某种稳定性，当且仅当方程组具有同一种稳定性，当且仅当方程组的零解具有同一种稳定性。例2 线性控制系统的一般形式为其中为n维向量，为向量输入函数,为输出函数，均为相应维数的连续函数矩阵。我们只研究对应的齐次系统的零解的稳定性。齐次方程组稳定性的几个等价定理定理:方程组的平凡解稳定(一致稳定)的充要条件是它的Cauchy矩阵(有界(一致有界)。定理：方程组的平凡解渐近稳定的充要条件是它的平凡解是吸引的。证 充分性 若式的平凡解吸引，则，使当使时，取，便得到Cauchy矩阵的第k列，故有界，从而有界。由定理知式的平凡解稳定，故充分性结论成立。必要性显然成立。推论:方程组的平凡解一致渐近稳定等价于平凡解一致吸引，且一致有界。定理:方程组的平凡解渐近稳定(一致渐近稳定)的充要条件是的Cauchy矩阵。,且一致有界。证 充分性 因为且一致有界),故存在正常数，使得。由定理知式的平凡解稳定(一致稳定）,又由知式的平凡解吸引(一致吸引)。必要性 仿上面定理的证明蕴涵，且一致有界蕴涵，且一致有界，从而结论成立。线性微分方程的稳定性定理考虑齐次线性方程组 当是n阶常数矩阵时，它的任一解均可表为形如的线性组合，这里为方程组的系数矩阵的特征方程的根，为零或正整数。定理：设齐次线性方程组的矩阵为常矩阵，则1）零解是稳定的，当且仅当矩阵的全部特征根的实部是非正的，并且那些实部为零的特征根所对应的若尔当块都是一阶的；2）零解是渐近稳定的，当且仅当矩阵的全部特征根都有负的实部；3）零解是不稳定的，当且仅当矩阵的特征根中至少有一个实部为正或者至少有一个实部为零，且它所对应的若尔当块都是高于一阶的。定理：对于一元n次常系数代数方程 其中，做行列式，当时，则式的所有根均有负实部的充要条件是的一切主子式都大于零。例3 判断方程组的零解的稳定性解：方程组的系数矩阵为，则特征方程为 因为，所以根据定理知式的所有根具有负实部，因此其零解是渐近稳定的。Lyapunov第二法Lyapunov定义了一个函数，称为Lyapunov函数。这个函数应用更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数。Lyapunov函数与和t有关，用或者来表示Lyapunov函数。如果在Lyapunov函数中不含t,则用或表示，对时间的全导数用表示。1、 纯量函数的正定性如果对所有在域W中的非零状态，有，且在处有，则在域W内的纯量函数称为正定函数。如果函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数，使得, 对所有, 对所有则称函数在域W内是正定的。2、纯量函数的负定性 如果是正定函数，则纯量函数-称为负定函数。3、纯量函数的正半定形如果纯量函数除了原点以及某些状态等于零外，在域W内的所有状态都是正定的，则称为正半定纯量函数。4、纯量函数的负半定性如果 -是正半定函数，则纯量函数称为负半定函数。5、纯量函数的不定性如果在域W内，不论域W多么小，既可为正值，也可为负值时，则纯量函数称为不定的纯量函数。李雅普诺夫稳定性定理 设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在对的连续的一阶偏导数。定理：若正定，负定；则原点是渐近稳定的。定理：若正定，负半定，且在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。定理：若正定，负半定，且在非零状态恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。定理：若正定，正定，则原点是不稳定的。例4 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 ，解 令,得知原点是惟一的平衡状态。选,则,当时,；当时，故不定，不能对稳定性作出判断，应重选。选 ，则考虑状态方程后得，对于非零状态（如，）存在，对于其余非零状态，故负半定。根据定理，原点是渐近稳定的。参考文献：1常微分方程（第二版）王高雄 周之铭 周思铭 王寿林编 高等教育出版社2常微分方程教程（第二版）丁同