行列式的性质与计算.ppt

1 n阶行列式的定义 注 当n 1时 一阶行列式 a11 a11 这与绝对值符号的意义是不一样的 定义 定理 设有n2个数 排成n行n列的一个数表 定义n阶行列式为 行列式完全展开式 行列式也可以如下定义 37 例如 四阶行列式 中 负 a12a23a34a41 a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 a14a23a32a41前面带 号 正 a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 a31a22a13a44前面带 号 负 没有 a11a22a31a44 前面带 号 a13a22a31a44 1 对角行列式 28 2 几个特殊的行列式 a11a22 ann 2 上 下 三角行列式 35 引理 对n阶行列式的完全展开式中的任一项 任意调换其中因子的次序 即 则它们之间的逆序数满足 即就是说 无论做多少次对换 行指标与列指标的逆序数之和的奇偶性总保持不变 36 证明 行标 列标 行列式也可以如下定义 定义 定理 n阶行列式也可定义为 38 39 例判断在六阶行列式中 下列两项的符号 解 列指标431265的逆序数为 所以前边应带正号 1 40 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以前边应带正号 2 由于行标与列标排列的逆序数之和为偶数 2行列式的性质与计算 本节中 我们将介绍行列式的性质以及利用行列式的性质来求解行列式 1 性质1 DT D 记D 行列式DT称为D的转置 记bij aji 则DT DT 行列式的转置 D 一 行列式的性质 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 证明 设行列式 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 是由行列式变换两行得到的 于是 则有 即当时 当时 故 证毕 推论 若行列式D中有两列 行 完全相同 则D 0 例如 a11a22 a12a21 a12a21 a11a22 D D 0 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 kn 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 a11 b11a12 a1na21 b21a22 a2n an1 bn1an2 ann b11a12 a1nb21a22 a2n bn1an2 ann a11a12 a1na21a22 a2n an1an2 ann D 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 例如 D 则D等于下列两个行列式之和 a11 b11a12 a1na21 b21a22 a2n an1 bn1an2 ann a11 b11a12 a1na21 b21a22 a2n an1 bn1an2 ann 例1 例2 性质 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 即 11 例3 1 123456789 0 2 以上三种行 列 变换称为行列式的初等行 列 变换 初等行变换和初等列变换统称为行列式的初等变换 注 与矩阵的初等变换类似 同样也可以定义行列式的初等行 列 变换 12 例4 二 应用举例 计算行列式常用方法 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 13 解 14 15 16 17 18 D 例5利用行列式的性质计算行列式 19 例6计算n阶行列式 解 将列都加到第一列得 20 21 例7计算n阶行列式 解 22 23 例8计算n阶行列式 解 24 25 将以后各列加到第一列 26 注1 这些题利用行列式的性质 采用 化零 的方法 逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有 的行 列 及含零较多的行 列 若没有 则可适当选取便于化零的数 或利用行列式性质将某行 列 中的某数化为1 若所给行列式中元素间具有某些特点 则应充分利用这些特点 应用行列式性质 以达到化为三角形行列式之目的 27 注2 用归纳法不难证明 任何n阶行列式总能利用运算ri krj ci crj 化为上三角行列式或下三角行列式 例9 设D 证明 D D1D2 证明 对D1施行ci kcj这类运算 把D1化为下三角形行列式 p11 pmm a11 a1m0 0 am1 amm0 0 c11 c1mb11 b1n cn1 cnmbn1 bnn 对D2施行ci kcj这类运算 把D2化为下三角形行列式 于是对D的前m列施行上述ci kcj运算 再对D的后n列施行上述施行ci kcj运算 可得 p11 pmmq11 qnn D1D2 证 用数学归纳法 31 现设等式对于 n 1 阶范德蒙行列式成立 则 x2 x1 x3 x1 xn x1 n 1阶范德蒙德行列式 利用范德蒙行列式计算行列式 例11计算 利用范德蒙行列式计算行列式 应根据范德蒙行列式的特点 将所给行列式化为范德蒙行列式 然后根据范德蒙行列式计算出结果 34 解 35 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式 由范德蒙行列式知 36 注 本题所给行列式各行 列 都是某元素的不同方幂 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同 需要利用行列式的性质 如提取公因子 调换各行 列 的次序等 将此行列式化成范德蒙行列式 37 1 余子式与代数余子式 我们先观察三阶行列式与二阶行列式的关系 2 三 行列式按行 列 展开法则 3 例如 4 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式 5 这表明 三阶行列式等于它的第一行的每一个元素与对应的代数余子式的乘积的和 再回到我们最初的问题上 6 再次计算三阶行列式 7 这表明 三阶行列式等于它的任意一行的每一个元素与对应的代数余子式的乘积的和 或 问题 是否任意阶的行列式都有这个性质 8 定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 9 2 行列式按行 列 展开法则 一个阶行列式 如果其中第行所有元素除外都为零 那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 例如 10 一个常用结论 解 例1计算行列式 11 此例表明 行列式按