信号分析习题

1. 三角波脉冲信号如图1-1所示，其函数及频谱表达式为 求：当时，求的表达式。解：函数图形见图1-5所示。图1-52. 一时间函数f（t）及其频谱函数F（）如图1-2所示已知函数，示意画出x（t）和X（）的函数图形。当时，X（）的图形会出现什么情况？（为f（t）中的最高频率分量的角频率）解：见图1-6所示。图（a）为调幅信号波形图，图（b）为调幅信号频谱图。当 时，两边图形将在中间位置处发生混叠，导致失真。3. 图1-3所示信号a（t）及其频谱A（f）。试求函数的傅氏变换F（f）并画出其图形。解：由于并且所以F（f）的频谱图见图1-7所示： 4.求图1-4所示三角波调幅信号的频谱。解：图1-8所示调幅波是三角波与载波 的乘积。两个函数在时域中的乘积，对应其在频域中的卷积，由于三角波频谱为： 余弦信号频谱为卷积为例1.判断下列每个信号是否是周期的，如果是周期的，确定其最小周期。（1） （2）（3） （4）解：（1）是周期信号，；（2）是周期信号，；（3）是非周期信号，因为周期函数是定义在区间上的，而是单边余弦信号，即t0时为余弦函数，t0无定义。属非周期信号；（4）是非周期信号，因为两分量的频率比为，非有理数，两分量找不到共同的重复周期。但是该类信号仍具有离散频谱的特点（在频域中，该信号在和处分别有两条仆线）故称为准周期信号。例2.粗略绘出下列各函数的波形（注意阶跃信号特性）（1） （2） （3）解：（1）是由阶跃信号经反折得，然后延时得，其图形如下(a)所示。（2）因为。其波形如下图(b)所示。（这里应注意）（3）是两个阶跃函数的叠加，在时相互抵消，结果只剩下了一个窗函数。见下图(c)所示。例3. 粗略绘出下列各函数的波形（注意它们的区别）（1） ；（2）（3）解：（1）具有延时的正弦函数与单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(a)所示。（2）正弦函数与具有延时的单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(b)所示。（3）具有延时的正弦信号与延时相同时间的阶跃信号的乘积。其波形如下图(c)所示。例4.从示波器光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为（0，-1），振幅为2，周期为4，求该正弦波的表达式。解：已知幅值X=2，频率，而在t=0时，x=-1，则将上述参数代入一般表达式 得；所以例5.设有一组合复杂信号，由频率分别为724Hz，44 Hz，500 Hz，600 Hz的同相正弦波叠加而成，求该信号的周期。解：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数则： 而 所以该信号的周期为0.25s。例6利用函数的抽样性质，求下列表示式的函数值：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：函数是一类应用广泛的重要函数。在卷积运算、傅立叶变换及测试系统分析中，利用它可以简化许多重要结论的导出。本例题的目的在于熟悉并正确应用函数的性质。（1）由于则（2）这里应注意：（3）（4）（5）这里应注意信号的含义，由于表示t=0时有一脉冲，而在时为零。所以就表示当t=2时各有一脉冲，即。（6）例7.已知一连续时间信号x（t）如下图(a)所示，试概括的画出信号的波形图。解：是x（t）经反折，尺度变换并延时后的结果。不过三种信号运算的次序可以任意编排，因此该类题目有多种解法。以下介绍其中的两种求解过程。方法一 信号x（t）经反折尺度变换延时（1） 反折：将x（t）反折后得x（-t），其波形如图(b)所示。（2） 尺度变换：将x（-t）的波形进行时域扩展的。其 波形如图(c)所示。（3） 延时：将中的时间t延时6，得其波形如图(d)所示。方法二 信号x（t）经尺度变换反折延时。（1） 尺度变换：将x（t）在时域中扩展，得。其波形如图(e)所示。（2） 反折：将反折，得，其波形如图(f)所示。（3） 延时：将中的时间t延时6，即将原波形向右平移6，得。同样可得变换后的信号。其波形如图(g)所示。例8.已知和的波形图如下图(a),(b)所示，试计算与的卷积积分。解：（1）反折：将与的自变量t用替换。然后将函数 以纵坐标为轴线进行反折，得到与对称的函数 。见图(c)所示。（2）平移：将函数 沿轴正方向平移时间t，得函数 。（注意，这里的t是参变量），见图(d)所示。（3）相乘并取积分：将 连续地沿轴平移。对于不同的t的取值范围，确定积分上、下限，并分段计算积分结果。以下进行分段计算：（a）当时， 的位置如图(e)所示。这时与没有重合部分。所以 （b）时，的位置如图(f)所示。这时与 的图形重叠区间为至t。把它作为卷积积分的上、下限，得：（c）时（即，并且时），则的位置如图(g)所示，这时的图形重叠区间为（，1），把它作为卷积积分的上、下限，得（d）时，（即，同时），由图(h)可知积分区间为（t-2，1）。得 （e）时，与无重叠部分，见图(i)所示，这时归纳以上结果得 卷积结果见图（j）所示。例9.求下图所示锯齿波信号的傅立叶级数展开式。解：锯齿波信号表达式为（一周期内） 由公式得所以 式中 例10.周期性三角波信号如下图所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。解：先把信号展开为傅立叶级数三角形式为 显然，信号的直流分量为 基波分量有效值为信号的有效值为信号的平均功率为例11. 周期矩形脉冲信号f（t）的波形如下图所示，并且已知=0.5s，T=1s，A=1V，则问；该信号频谱中的谱线间隔f为多少？信号带宽为多少？解：（1）谱线间隔：或 （2）信号带宽或 例12.求指数衰减振荡信号的频谱。解：由于 并且于是可得利用傅立叶变换的线形性质可得例13.已知，试求f（t）。解：利用傅立叶变换的对称性可求得f（t）。将题中给定的F（）改写为f（t），即根据定义于是将上式中的（-）换成t可得，所以有例14. 已知，试求其频谱F（）解：因为利用频移性质可得于是例15.求下图（a）所示三角脉冲信号的频谱。三角脉冲的分段函数表示为解：方法一、 按傅氏变换的定义求解。因为x（t）是偶函数，傅氏变换为：x（t）的幅值频谱如图(b)所示。方法二、 利用卷积定理求解。三角脉冲x（t）可以看成两个等宽矩形脉冲和的卷积。如下图所示。因为根据时域两函数的卷积对应频域函数的乘积：所以例1.求余弦信号的绝对值和均方根值。解：绝对均值为 均方根值为 所以 例2.已知某信号的自相关函数，试求：（1）该信号的均值；（2）均方值 ；（3）功率谱 。解：（1）由于为周期不衰减的函数，则原信号应为同频率的正弦信号，即。根据信号均值的定义得（2）根据自相关函数的性质可知所以 （1） 自相关函数与自谱是一对傅立叶变换对关系，并且 式中 例3. 已知某信号的自相关函数为，试求该信号的均方值及均方根值。解：因为并且例4. 已知某信号的自相关函数为，求它的自功率谱密度函数 。解：根据自谱定义：例5.某信号的自相关函数为求信号的自谱，并画出它们的图形。解：由上例知 并且，的傅立叶变换为两信号在时域中的乘积的傅立叶变换，等于该信号的傅立叶变换在频域中的卷积，即： 所以，该信号的自谱为： 其自谱如下图所示例6.已知均值为零的信号的自相关函数为，则当时，求的表达式（式中，为 的直流分量）。解：按定义例7.测得某信号的自相关函数图形如下所示，试分析该图形是 图形还是图形？为什么？从中可获得该信号的那些信息？解：由相关分析可知，自相关函数是一个偶函数，它在有最大值；互相关函数是非偶函数它在也不一定为最大。因为图中图形为非偶函数图形，且最大，所以，该图形是互相关函数的图形。由图中还可获知，信号 与是两个同频的周期信号，圆频率为；均值为零。对应的信号幅值为，两信号相位差。用公式表示为 例8.下图所示两信号和，求当=0时，和的互相关函数值。并说明理由。解：由于方波信号的傅立叶级数展开式为 仅有基频分量的频率与的频率一致。根据同频相关，不同频不相关的原则，在互相关函数中将仅存基频成分。并且由图示可知， 基频分量与间存在有90的相位差。所以互相关函数的表达式如下： 当=0时，它们的互相关函数值为零，即 例9.信号由两个频率和相位角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为，求该信号的自相关函数。解：设则的自相关函数可表示为因为则所以例10.下图所示的延时环节，输入为，输出为。试求的自相关函数与其互相关函数之间的关系。 解：因为 所以根据定义：所以 例11.应用巴塞伐尔定理求的积分值。解：由于抽样函数的频谱是窗函数，如下式所示 当时则有 窗函数的图形如下图所示。根据巴塞伐尔定理： 则有：例12.某一系统的输入信号为，若输出信号与输入信号波形相同，并且输入的自相关函数和输入-输出的互相关函数的关系式为如下图所示，试说明该系统起什么作用？解：因为与的波形形状相同，可设式中，为常数。则有 又因为 即恒成立，显然可得 所以 得 ，该系统为一延时系统。例13