全等中的动点问题精编15题(含答案).doc

全等中的动点问题（精选）1如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）ABCD2解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，），AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：OAAB=OBAM，AM=， AD=2=3，AMB=90，B=60， BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA， NDA=30，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，C（，0）， CN=3-=1，在RtDNC中，由勾股定理得：DC=，即PA+PC的最小值是， 故选：B2如图，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 解：过点C作COAB于O，延长CO到C，使OC=OC，连接DC，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC=DC的值最小连接BC，由对称性 CBE=CBE=45，CBC=90，BCBC，BCC=BCC=45，BC=BC=2，D是BC边的中点，BD=1，根据勾股定理可得DC= =故答案为：3如图，在RtABC中，C=90，B=60，点D是BC边上的点，CD=1，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是_【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可解：连接CE，交AD于M，沿AD折叠C和E重合，ACD=AED=90，AC=AE，CAD=EAD，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，DEA=90，DEB=90，B=60，DE=1， BE=，BD=， 即BC=1+，PEB的周长的最小值是BC+BE=1+=1+，故答案为：1+4如图，已知：BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE= 解：如图，连接CD，BD， AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，DF=DE，F=DEB=90，ADF=ADE，AE=AF，DG是BC的垂直平分线， CD=BD，在RtCDF和RtBDE中， Rt CDFRtBDE （HL）， BE=CF，AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，AB=6，AC=3， BE=（6-3）=故答案为：5如图，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=50BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则CEF的度数是 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC40，以及OBCOCB40，再利用翻折变换的性质，有EOEC，CEFFEO，进而求出。解： 连接BO， ABAC，AO是BAC的平分线，AO是BC的中垂线。BOCO。 BAC50，BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，OABOAC25。 等腰ABC中，ABAC，BAC50，ABCACB65。OBC652540。OBCOCB40。点C沿EF折叠后与点O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（18002400）250。6已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是_，QE与QF的数量关系式_；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明【分析】（1）证BFQAEQ即可；（2）证FBQDAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证AEQBDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ=90，在BFQ和AEQ中，BFQ=AEQ BQF=AQE AQ=BQBFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为：AEBF；QE=QF（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D， Q为AB中点， AQ=BQ， BFCP，AECP， BFAE， QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中，FBQ=QAD AQ=BQ BQF=AQDFBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP， EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE和BQD中，1=D，2=3，AQ=BQAQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP， FQ是斜边DE上的中线，QE=QF 7在RtABC中，ACB=90，A=30，点D是AB的中点，DEBC，垂足为点E，连接CD（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系解：（1）ACB=90，A=30，B=60，点D是AB的中点，DB=DC，DCB为等边三角形，DEBC，DE= BC；故答案为DE= BC（2）BF+BP=2 DE理由如下：线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，PDF=60，DP=DF，而CDB=60，CDB-PDB=PDF-PDB，CDP=BDF，在DCP和DBF中，DCDB CDPBDF DPDFDCPDBF（SAS），CP=BF，而CP=BC-BP，BF+BP=BC，DE= BC BC= DE BF+BP= DE（3）如图，与（2）一样可证明DCPDBF，CP=BF，而CP=BC+BP，BF-BP=BC，BF-BP= DE8分别以ABCD（CDA90）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，ABE，CDG，ADF（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出FDG=EAF，进而得出EAFGDF即可得出答案： 证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD， DAB+ADC=180。ABE，CDG，ADF都是等腰直角三角形， DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=ADF=BAE=45。GDF=GDC+CDA+ADF=90+CDA， EAF=360BAEDAFBAD=270（180CDA）=90+CDA。 FDG=EAF。 在EAF和GDF中，DF=AF，FDG=EAF DG=AE EAFGDF （SAS） 3分EF=FG，EFA=DFG，即GFD+GFA=EFA+GFA。（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出FDG=EAF，进而得出EAFGDF即可得出答案。GFEF，GF=EF成立； 理由：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，DAB+ADC=180，ABE，CDG，ADF都是等腰直角三角形， DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=ADF=BAE=45，BAE+DAF+EAF+ADF+FDC=180，EAF+CDF=45，CDF+GDF=45，FDG=EAF， 在EAF和GDF中， DFAFFDGFAEDGAE，EAFGDF（SAS），8分EF=FG，EFA=DFG，即GFD+GFA=EFA+GFA，GFE=90， GFEF10分9如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由（4）当t为何值时，DEF=90？请说明理由。（1）证明：在RtABC中，C=90A=30，AB=AC=60=30cm。CD=4t，AE=2t，又在RtCDF中，C=30，DF=1/2CD=2t。DF=AE。（2）能。DFAB，DF=AE，四边形AEFD是平行四边形。当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即604t=2t，解得：t=10。当t=10时，AEFD是菱形。（3）如图1EDF=90，DEBC，则AD=2AE，即604t=22t，解得：t=15/2。（4）如图2，DEF=90，DEAC，则AE=2AD，即2t =2x(60-4t)x2t=260-4t，解得：t=12。综上所述，当t=或12时，DEF为直角三角形【同类题】如图，Rt ABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ.（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上.（1）t=1或；（2）；（3）证明见解析. 试题分析：（1）分两种情况讨论：当BPQBAC时，当BPQBC A时，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可.（2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据ACQCMP，得出，代入计算即可.（3）过P作PDAC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，过点M作EFAC分别交BC，BA于E，F两点，证明四边形PDQB是平行四边形，则点M是PQ和BD的中点，进而由得到点E为BC的中点，由得到点F为BA的中点，因此，PQ中点在ABC的中位线上.试题解析：（1）当BPQBAC时，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm， ，解得t=1；当BPQBCA时，解得.t=1或时，BPQ与ABC相似.（2）如答图，过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM且ACQ=PMC=90，ACQCMP.，解得：.（3）如答图，过P作PDAC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，则，PD=BQ且PDBQ.四边形PDQB是平行四边形.点M是PQ和BD的中点.过点M作EFAC分别交BC，BA于E，F两点，则，即点E为BC的中点.同理，点F为BA的中点. PQ中点在ABC的中位线上.10已知:ABBD, EDBD, AC=CE, BC=DE。 （1） 试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论. （2） 若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变, 结论AC1C2E还成立吗?请说明理由。 图1 图2 图3（3） 若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变, 结论AC1C2E还成立吗?请说明理由。分析根据全等三角形的判定与性质，可得ACB与E的关系，根据直角三角形的性质，可得E与DCE的关系，根据角的和差，可得答案解答解：ACCE，理由如下：ABBD，EDBD，B=D在ABC和CDE中， AB=CD B=D BC=DEABCCDE （SAS），ACB=EE+ECD=90，ACB+ECD=90ACB+ECD+ACE=180，ACE=90，ACCE；将CD沿CB方向平移得到图2、图3的情况，其他条件不变，结论AC1C2E还成立，理由同上点评本题考查了平移的性质：平移不改变图形的形状、大小，又利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质【同类题】（1）如图所示，已知ACAB，DBAB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论；（2）已知ACAB，DBAB，CEDE，CE=DE， 求证：AC=BE。解：（1）CE和DE大小相等，并且互相垂直，ACAB，DB AB，A=B= 90，在CAE与EBD中， AC=BE，A=B，AE= BD，CAEEBD（SAS），CE=DE，C=DEB，又C+CEA=90，DEB+CEA= 90，CED=180-90=90， 即CEDE；（2）ACAB，DBAB，A=B=90，又DBAB，CEDE，D+DEB=90，CEA+DEB=90，D=CEA，在CAE与EBD中，A=B，CEA=EDB，CE=ED，CAEEBD（AAS） ，AC=BE。【同类题】（1）如图1，已知ACAB，DBAB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论（2）如图2，等腰RtABC中，ACB=90直线DE经过ABC内部，ADDE于点D，BEDE于点E，试猜想线段AD、BE、DE之间满足什么关系？证明你的结论（1）CE=DE，CEDE理由如下：ACAB，DBAB，A=B=90，在ACE和BED中，ACBE AB90 AEBDACEBED（SAS），CE=DE，C=BED，C+AEC=90，BED+AEC=90，CED=180-90=90，CEDE；（2）AD=BE+DE理由如下：等腰RtABC，ACB=90，AC=BC，ACD+BCE=90ADDE于点D，ACD+CAD=90，CAD=BCE，ADDE于点D，BEDE于点E，ADC=BEC=90，在ACD和CBE中，AD=CE，CD=BE，CE=CD+DE， AD=BE+DECADBCE ADCBEC90 ACBCACDCBE（SAS），【同类题】如图（1），已知ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由（2）若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由（1）ACCE理由：如图一，ABBD，EDBD，B=D=90，又AB=CD，BC=DE， ABCCDE，A=DCE，A+ACB=90，DCE+ACB=90，ACCE；（2）不变理由：如图二，ABBD，EDBD，B=D=90，又AB=C2D，BC1=DE，ABC1C2DE，A=EC2D，又A+AC1B=90，EC2D+AC1B=90，AME=90， AC1EC211在ABC中，AB=AC，P是ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ，CP； （1） 如图1，试说明BQ=CP；（2） 若将点P在ABC外，如图2，其它条件不变，结论依然成立吗？试说明理由。证明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB=CAP；在BQA和CPA中，AQAP QABCAP ABAC，BQACPA（SAS）；BQ=CP（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：QAP=BAC，QAP+PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC；在QAB和PAC中，AQAP QABPAC ABAC，QABPAC（SAS），BQ=CP 12 如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM=PN（1） 延长MP交CN于点E（如图2），求证：BPMCPE；求证：PM=PN=； （2） 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变.此时PM=PN=还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3） 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PM=PN=还成立吗？不必说明理由. (1)证明 如图2，BM直线a于点M，CN直线a于点N，BMN=CNM=90， BM/CN，MBP=ECP，又P为BC边中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE， kBPMCPE，PM=PE，PM =ME，在RtMNE中，PN =ME，PM=PN；(2)成立，如图3， 证明延长MP与NC的延长线相交于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BMN+CNM=180， BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE，PM=PE， PM =ME，则在RtMNE中，PN =ME，PM=PN。(3)四边形MBCN是矩形13如图（1），在等边ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1各单位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的DQA大小有无变化？请证明你的结论（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的DQA大小变化了吗？若无变化，请证明若有变化，请直接写出DQA的度数解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，理由是：ABC是等边三角形，CAB=C=ABP=60，AB=BC，在BDC和APB中，AB=BC C=ABP BP=DC，BDCAPB（SAS），BD=AP（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的DQA大小无变化，理由：BDCAPB，CBD=BAP，DQA=DBA+BAP=DBA+CBD=ABC=60，即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的DQA大小无变化，始终是60（3）蜗牛爬行过程中的DQA大小无变化，理由是：根据题意得：BP=CD，BC=AC，CP=AD，ABC是等边三角形，AC=AB，CAB=ACB=60，ACP+ACB=180，DAB+CAB=180，ACP=BAD，在ABD和ACP中，AB=AC BAD=ACP BP=DC，ABDACP（SAS），CAP=ABD，AQD=ABD+BAQ=CAP+QAB=180-CAB=180-60=120，即蜗牛爬行过程中的DQA无变化，等于12014（2013重庆模拟）如图，P为正方形ABCD边BC上一点，F在AP上，且AF=AD，EFAP交CD于点E，G为CB延长线上一点，BG=DE（1）求证：PAG=BAP+DAP；（2）若DE=2，AB=4，求AP的长 【分析】（1）连接AE，先由HL证明RtADERtAFE，得出DAE=FAE=DAP，再证明ADEABG，得出DAE=BAG，即可得出结论；（2）设CP=x，作EHAD交AB于H，连接EF；先证明EH是梯形ADCP的中位线，得出EH=（4+x），再证明AEP=90，由直角三角形斜边上的中线性质得出EH=AP，在直角三角形ABP中，根据勾股定理求出x，即可得出AP【解】（1）证明：连接AE，如图所示：四边形ABCD是正方形，D=ABC=90，AD=AB，ABG=90，EFAP，AFE=90，在RtADE和RtAFE中，AE=AE AD=AF，RtADERtAFE（HL），DE=EF，DAE=FAE=DAP，在ADE和ABG中，AD=AB ADE=ABG DE=BGADEABG（SAS），DAE=BAG=DAP，PAG=BAP+BAG=BAP+DAP；（2）解：设CP=x，作EHAD交AB于H，连接EF；则H是AP的中点，EH是梯形ADCP的中位线，EH=（4+x），由（1）RtADERtAFE，AED=AEF，同理：CEP=FEP，AEP=90，EH=AP，AP=4+x，在RtABP中，PB=4x，根据勾股定理得：AB2+PB2=AP2，即42+（4x）2=（4+x）2，解得：x=1，AP=5 15（2013庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的