连续型概率分布.ppt

1 第六章连续型随机变量的概率分布 学习目标1 理解均匀分布的概念 2 领会正态分布的重要性 3 找出正态分布的问题并学会如何解决这样的问题 4 确定何时使用指数分布函数以及解决商务中的问题 并知道怎样解决 2 案例讨论 1 分析本案例每个段落都告诉了我们哪些信息 2 通过阅读这个案例的第三段你受到哪些启发 3 通过阅读这个案例你的最大收获是什么 3 习题 1 P178 63 P188 222 P188 194 P194 38 4 第一节连续型概率分布的基本问题 一 概率密度函数的定义概率密度函数 pr0babilitydensityfunction 提供任何一个特定值f x 的函数值 而不直接给出随机变量取某些特定值的概率 5 二 连续型随机变量概率密度函数的性质1 对于所有的值 2 图形下的整个面积等于1 6 对应于某一给定区间 图形以下的面积给出了连续型随机变量在该区间内取值时的概率 常见的连续型概率分布有 均匀分布正态分布指数分布 7 第二节均匀概率分布 一 均匀概率分布的定义均匀概率分布 Uniformprobabilitydistribution 也称为矩形分布 rectangulardistribution 是随机变量在等高度的每一区间上取值的概率都相同概率分布 8 二 均匀分布的概率密度函数 9 三 均匀分布函数的概率 10 四 均匀分布期望值和方差 11 案例分析 背景 东方航空公司统计人员经过长期观察发现 该公司一个航班从北京飞到上海所需的时间大约在120分钟到140分钟左右 现将飞行时间作为随机变量 并假定可以从120分钟到140分钟区间内的任意值 问题 1 现在该统计人员想了解飞行时间在120 130分钟的概率是多少 2 它们的期望值和方差各为多少 12 分析 由于随机变量可以在120 140分钟区间取任意值 所以这是一个连续型随机变量 如果我们可以得到足够的实际飞行数据 从而有结论 在120 140分钟的区间内在任意1分钟区间内的概率与飞行时间在其他任意1分钟内的概率相同 13 上面关于飞行时间随机变量的概率密度函数 14 图6 1飞行时间的均匀概率密度函数图 15 根据计算均匀分布函数的概率公式有 16 图6 2飞行时间在120与130分钟之间的概率的面积 17 期望值和方差分别为 18 统计分析 计算结果表明 该航空公司的航班从北京飞往上海所花费的时间在120 130分钟之间的概率是0 5 其期望值和标准差分别为130分钟和5 77分钟 问题延伸 上述信息会给该航空公司相关工作人员哪些方面的决策提供帮助呢 19 第三节正态概率分布 一 正态概率分布的概念正态概率分布 Normalprobabilitydistribution 随机变量的概率密度函数由均值和标准差决定 其图形呈钟形的一种概率分布 由于正态分布是由数学家及天文学家卡尔 高斯 德国人 1777 1855 所发现 因此 正态概率分布有时也称为高斯分布或误差正态曲线 正态概率分布是一种最重要的描述连续型随机变量的概率分布 20 图6 3正态概率分布的钟形曲线 21 二 正态概率密度函数 提醒修改教科书P179公式 22 三 正态概率分布的性质 23 24 25 26 27 28 29 30 图6 4任何正态概率分布曲线下的面积 31 四 标准正态概率分布 一 标准正态概率分布的定义 32 二 利用标准正态概率分布表计算概率标准正态概率分布曲线下面的面积已经被求出 并且被编制成表见附录B中的表1 见P452 机械版 33 例6 1 计算 1 在表6 1的最左边一栏找到1 0 2 在表6 1的最上面一行找到0 00 3 在表的行和列交叉部分 主体部分 找到1 0和0 00的交点数值是0 3413 34 例6 2 计算 分析 1 的值在和之间的概率是0 3413 2 正态概率分布是对称的 因此 的值在0 00和 1 00之间的概率与在0 00和1 00之间的概率相等 35 所以 的值在 1 00和1 00之间的概率是 36 三 任何正态概率分布的计算 当我们知道具有任何均值的正态分布而要回答概率问题时 要经过以下两步 1 将所求问题的分布转化为标准正态分布 标准化公式 37 2 查标准正态分布表 求出概率 例6 7 已知某一样本的均值是10 标准差为2 求随机变量在10和14之间取值的概率是多少 分析 根据上述公式有 当时 当时 38 上述转化结果说明 随机变量x在10和14之间取值的概率等于标准正态分布z在0和2之间取值的概率 其含义为 我们所要求的概率是随机变量x在其均值和大于均值2个标准差之间取值的概率 39 查表 当z 2时的概率为0 4772 所以 x在10和14之间取值的概率是0 4772 40 第三节二项概率的正态逼近 当二项分布的子试验次数不断增大时 用手工或计算器计算概率函数就很困难 这时 我们可以用正态分布函数去近似求解二项分布的概率值 41 一 正态曲线的确定令 我们用以上公式确定正态曲线 42 二 用正态分布函数近似求解二项分布的概率值的准则 一 二 检验正态曲线是否是二项分布的很好近似 43 三 连续性的修正由一个离散型分布到连续型分布分布的转换并不是完全一致的 由于对于连续型概率分布 随机变量取任何单个数值的概率都是0 所以 在转换过程中 必须根据问题进行的修正 这一修正称为连续性修正 correctionforcontinuity 44 案例 背景 连城公司历史数据表明 该公司发票的差错率为10 研究人员随机抽取100张发票作为样本 想知道其中有12张发票含有错误的概率 45 分析 根据用正态分布曲线近似计算二项分布概率的准则有 说明正态分布是二项分布的一个很好近似 46 经过连续性修正后 将用转换成标准正态分布来近似计算二项分布的概率 47 查表1 P452 有 曲线以下在10 12 5之间的面积0 2967 曲线以下在10 11 5之间的面积0 1915 因此 在11 5 12 5之间的面积是0 2967 0 1915 0 1052 48 统计分析 计算结果表明 在该公司随机抽取的100张发票中 有12张含有错误的概率为0 1052 问题延伸 研究人员针对发票差错问题 将对该公司给出一种怎样的判断呢 49 第四节指数概率分布 一 指数分布的定义指数概率分布 Exponentialprobabilitydistribution 是一种描述随机事件之间发生的时间间隔或空间间隔的连续型概率分布 50 二 指数分布的特点1 它是一个连续型分布 2 它有一个家庭族 3 它是右拖尾的 4 x的值由0到无穷 5 它的顶点总在x 0处 6 随着x的增大 曲线稳步递减 51 三 指数概率密度函数 指数分布可以由一个参数来定 每一个特定的值就会确定一个不同的指数分布 这样就存在一个指数家庭 52 四 指数分布的概率 53 五 指数分布的期望值和标准差 54 案例背景 在大连码头 给一辆卡车装货所需要的时间服从指数概率分布 根据以往记录 该码头给一辆卡车装货所需要的平均时间为15分钟 55 问题 1 工作人员想知道给一辆卡车装货所