逻辑代数基础22.ppt

第一章逻辑代数基础 1 1概述1 2逻辑代数中的三种基本运算1 3逻辑代数的基本公式和常用公式1 4逻辑代数的基本定理1 5逻辑函数及其表示方法1 6逻辑函数的公式化简法1 7逻辑函数的卡诺图化简法1 8具有无关项的逻辑函数及其化简 返回 1 1概述1 1 1模拟量和数字量 1 模拟量 其变化在时间上或数值上是连续的一类量 模拟信号 表示模拟量的信号 如热电偶在工作时输出的 能表示所测温度及其大小的电压信号 模拟电路 工作在模拟信号下的电子电路 即对模拟信号进行传输 处理的电子线路称为模拟电路 模拟信号在电路中常表现为连续变化的电压或电流 缺点 很难度量 容易受噪声的干扰 难以保存 优点 用精确的值表示事物 返回 真实的世界是模拟的 2 数字量 其变化在时间上和数量上都是离散的一类量 数字信号 表示数字量的信号 如电子表的秒信号 生产线上记录零件个数的记数信号等 数字电路 工作在数字信号下的电子电路 即对数字信号进行传输 处理的电子线路称为数字电路 数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流 精度高 抗干扰能力强 结构简单 容易制造 便于集成及系列化生产 可以抽象到系统级 寄存器级 门级 物理级 疯狂的数字音乐 CD MP3电影 MPEG RM DVD数字电视数字照相机数字摄影机手机 1 1 2数制和码制一 数制数制 是多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则的总称 表示数时 仅用一位数码往往不够用 必须用进位计数的方法组成多位数码 如十进制 每一位有0 9十个数码 进位规则为 逢十进一 如二进制 每一位有0 1两个数码 进位规则为 逢二进一 如十六进制 每一位有0 9 A F十六个数码 进位规则为 逢十六进一 基数 数制的基数 就是在该数制中可能用到的数码个数 位权 位的权数 在某一数制的数中 每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数 这个固定的数就是这一位的权数 权数是一个幂 十进制 数码为 0 9 基数是10 运算规律 逢十进一 即 9 1 10 十进制数的权展开式 103 102 101 100称为十进制的权 各数位的权是10的幂 同样的数码在不同的数位上代表的数值不同 任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和 称权展开式 即 5555 10 5 103 5 102 5 101 5 100 又如 209 04 10 2 102 0 101 9 100 0 10 1 4 10 2 二进制 数码为 0 1 基数是2 运算规律 逢二进一 即 1 1 10 二进制数的权展开式 如 101 01 2 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 5 25 10 加法规则 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10乘法规则 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 运算规则 各数位的权是 的幂 二进制数只有0和1两个数码 它的每一位都可以用电子元件来实现 且运算规则简单 相应的运算电路也容易实现 数码为 0 7 基数是8 运算规律 逢八进一 即 7 1 10 八进制数的权展开式 如 207 04 8 2 82 0 81 7 80 0 8 1 4 8 2 135 0625 10 八进制 十六进制 数码为 0 9 A F 基数是16 运算规律 逢十六进一 即 F 1 10 十六进制数的权展开式 如 D8 A 16 13 161 8 160 10 16 1 216 625 10 各数位的权是8的幂 各数位的权是16的幂 二 数制转换数制转换 将一种数制的数按照 等值原则 转换为另一种数制的数的过程 1 非十进制数 十进制数 系数乘权并相加 2 十进制数 非十进制数 整数部分 除基取余 逆序排列 小数部分 乘基取整 顺序排列 3 二进制数 十六进制数 四位并一位 整数部分 从小数点向左 每四位一组 每组用一位等值的十六进制数代替 小数部分 从小数点向右 每四位一组 每组用一位等值的十六进制数代替 4 十六进制数 二进制数 一位分四位 即每一位用等值的4位二进制数来代替 且位置不变 将二进制数按权展开 即可以转换为十进制数 1 二进制数转换为八进制数 将二进制数由小数点开始 整数部分向左 小数部分向右 每3位分成一组 不够3位补零 则每组二进制数便是一位八进制数 二进制数与八进制数的相互转换 1101010 01 00 0 152 2 8 2 八进制数转换为二进制数 将每位八进制数用3位二进制数表示 011111100 010110 374 26 8 二进制数与十六进制数的相互转换 111010100 011 000 0 1E8 6 16 101011110100 01110110 AF4 76 16 二进制数与十六进制数的相互转换 按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换 十进制数转换为二进制数 采用的方法 除2取余 乘2取整原理 将整数部分和小数部分分别进行转换 整数部分采用除2取余法 小数部分采用乘2取整法 转换后再合并 整数部分采用除2取余法 先得到的余数为低位 后得到的余数为高位 小数部分采用乘2取整法 先得到的整数为高位 后得到的整数为低位 所以 44 375 10 101100 011 2 三 码制1 代码 表示不同事物的代号 如运动员的编号 学生的学号等 用以表示十进制数码 字母 符号等信息的一定位数的二进制数称为二进制代码 2 码制 编制代码时所遵循的规则 3 BCD码 二 十进制代码 用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0 9十个数码 简称BCD码 4 几种常用的BCD码 恒权码 8421码 2421码 5211码等 变权码 余3码 余3循环码等 数字系统只能识别0和1 怎样才能表示更多的数码 符号 字母呢 用编码可以解决此问题 用一定位数的二进制数来表示十进制数码 字母 符号等信息称为编码 2421码的权值依次为2 4 2 1 余3码由8421码加0011得到 格雷 Gray 码是一种循环码 其特点是任何相邻的两个码字 仅有一位代码不同 其它位相同 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码 因各位的权值依次为8 4 2 1 故称8421BCD码 格雷码求法 某二进制数为 其对应的格雷码为 其中 最高位保留 其他各位 i 0 1 2 n 2 例 二进制数为10110 格雷码为 异或运算 相同为0相异为1 1 1 1 0 1 1 1 3算术运算和逻辑运算1 算术运算 从某些有相对大小的数 按照某些 规则 推演出另一些有相对大小的数的过程 二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相同 唯一的区别在于二进制数是 逢二进一 而不是十进制数的 逢十进一 在定点运算的情况下 二进制数可以用原码来表示 也可以用反码 补码等来表示 原码 反码 补码等被统称为机器数 数的大小被称为真值 原码 最高位为符号位 正数为0 负数为1 其余位为数值位 所有的数值位共同表示真值的绝对值 正数的反码 补码与原码完全相同 负数的反码 将原码的符号位不变 数值位逐位取反 则得到负数的反码 负数的补码 反码加1 则得到负数的补码 2 在数字电路中 输入信号是 条件 输出信号是 结果 因此输入 输出之间存在一定的因果关系 称其为逻辑关系 它可以用逻辑表达式 图形和真值表等来描述 3 二值逻辑 只有两种对立逻辑状态的逻辑关系 数字信号就是一种二值逻辑信号 用两个电平 高电平和低电平 分别来表示两个逻辑值 逻辑1和逻辑0 有两种逻辑体制 正逻辑体制规定 高电平为逻辑1 低电平为逻辑0 负逻辑体制规定 低电平为逻辑1 高电平为逻辑0 下图为采用正逻辑体制所表示的逻辑信号 4 逻辑运算 从某些事物的逻辑状态 按照某些 规则 推演出另一些事物的逻辑状态的过程 这些 规则 就是事物之间所存在的逻辑关系 最基本的逻辑关系有三种 与关系 或关系 非关系 如果用逻辑值1表示开关闭合 灯亮 用逻辑值0表示开关断开 灯灭 则可分别用 a b c 图来表示上述三种最基本的逻辑关系 1 2逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数又称布尔代数 是英国数学家乔治 布尔在1849年提出的描述客观事物逻辑关系的一种数学方法 与三种最基本的逻辑关系相对应 在逻辑代数中 也必存在着三种最基本的逻辑运算 它们分别是 与运算 或运算 非运算 返回 用于说明与 或 非的电路 返回 如果用逻辑值1表示开关闭合 灯亮 用逻辑值0表示开关断开 灯灭 则可分别用 a b c 图来表示与 或 非运算 用于说明与 或 非的真值表 与运算的真值表 或运算的真值表 非运算的真值表 这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表 用于说明与 或 非的逻辑函数 与运算的逻辑函数Y A B或Y A B 非运算的逻辑函数Y A或Y A 或运算的逻辑函数Y A B或Y A B 用于说明与 或 非的图形符号 返回 设 开关闭合 1 开关不闭合 0 灯亮 L 1灯不亮 L 0 与逻辑 只有当决定一件事情的条件全部具备之后 这件事情才会发生 1 与运算 与逻辑表达式 1 基本逻辑运算 或逻辑表达式 L A B 或逻辑 当决定一件事情的几个条件中 只要有一个或一个以上条件具备 这件事情就发生 2 或运算 3 非运算 非逻辑表达式 非逻辑 某事情发生与否 仅取决于一个条件 而且是对该条件的否定 即条件具备时事情不发生 条件不具备时事情才发生 实际的逻辑问题虽然比与 或 非复杂得多 但都可以用与 或 非的组合来实现 最常见的复合逻辑运算有与非 或非 与或非 异或 同或等 复合逻辑的图形符号和运算符号 返回 2 其他常用逻辑运算 2 或非 由或运算和非运算组合而成 1 与非 由与运算和非运算组合而成 3 异或 异或是一种二变量逻辑运算 当两个变量取值相同时 逻辑函数值为0 当两个变量取值不同时 逻辑函数值为1 异或的逻辑表达式为 逻辑函数及其相等概念 1 逻辑表达式 由逻辑变量和与 或 非3种运算符连接起来所构成的式子 在逻辑表达式中 等式右边的字母A B C D等称为输入逻辑变量 等式左边的字母Y称为输出逻辑变量 字母上面没有非运算符的叫做原变量 有非运算符的叫做反变量 2 逻辑函数 如果对应于输入逻辑变量A B C 的每一组确定值 输出逻辑变量Y就有唯一确定的值 则称Y是A B C 的逻辑函数 记为 注意 与普通代数不同的是 在逻辑代数中 不管是变量还是函数 其取值都只能是0或1 并且这里的0和1只表示两种不同的状态 没有数量的含义 3 逻辑函数相等的概念 设有两个逻辑函数 它们的变量都是A B C 如果对应于变量A B C 的任何一组变量取值 Y1和Y2的值都相同 则称Y1和Y2是相等的 记为Y1 Y2 若两个逻辑函数相等 则它们的真值表一定相同 反之 若两个函数的真值表完全相同 则这两个函数一定相等 因此 要证明两个逻辑函数是否相等 只要分别列出它们的真值表 看看它们的真值表是否相同即可 证明等式 4 常量之间的关系 1 3逻辑代数的基本公式和常用公式1 3 1基本公式 布尔恒等式 1 变量与常量间的运算规则 0 1律 0 A 01 A A0 A A1 A 1 1 0 0 12 重叠律 A A AA A A3 互补律 A A 0A A 14 交换律 A B B AA B B A5 结合律 A B C A B CA B C A B C6 分配律 A B C A B A CA B C A B A C 7 反演律 A B A B A B A B 8 还原律 A A 分别令A 0及A 1代入这些公式 即可证明它们的正确性 1 3 2若干常用公式1A A B A2A A B A B3A B A B A4A A B A5A B A C B C A B A C6A A B A B A A B A 1 4逻辑代数的基本定理 1 4 1代入定理对于任何一个逻辑等式 以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后 等式依然成立 在对复杂的逻辑式进行运算时 仍需遵守与普通代数一样的运算优先顺序 即先算括号里的内容 其次算乘法 最后算加法 例如 在反演律中用BC去代替等式中的B 则新的等式仍成立 1 4 2反演定理将一个逻辑函数L进行下列变换 0 1 1 0 原变量 反变量 反变量 原变量 所得新函数表达式叫做L的反函数 用L表示 利用反演定理 可以非常方便地求得一个函数的反函数 例求以下函数的反函数 在应用反演定理求反函数时 要注意以下两点 1 保持运算的优先顺序不变 必要时加括号表明 2 变换中 几个变量 一个以上 的公共非号保持不变 1 4 3对偶定理将一个逻辑函数L进行下列变换 0 1 1 0所得新函数表达式叫做L的对偶式 用L 表示 对偶规则的基本内容是 如果两个逻辑函数表达式相等 它们的对偶式也一定相等 1 5逻辑函数及其表示方法 图1 5 1举重裁判电路图1 5 2图1 5 1电路的逻辑图图1 5 3 例1 5 3 的逻辑图图1 5 4 例1 5 4 的逻辑图 返回 图1 5 1举重裁判电路 返回 图1 5 2图1 5 1电路的逻辑图 返回 图1 5 3 例1 5 3 的逻辑图 返回 图1 5 4 例1 5 4 的逻辑图 返回 1 5 1逻辑函数一般地说 若输入逻辑变量A B C 的取值确定以后 输出逻辑变量L的值也唯一地确定了 就称L是A B C的逻辑函数 写作 L f A B C 逻辑函数与普通代数中的函数相比较 有两个突出的特点 1 逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1 2 函数和变量之间的关系是由 与 或 非 三种基本运算决定的 1 5 2逻辑函数的表示方法常用的逻辑函数表示方法有逻辑真值表 简称真值表 逻辑函数式 也称逻辑式或函数式 逻辑图 卡诺图等 解 第一步 设置自变量和因变量 第二步 状态赋值 对于自变量A B C设 同意为逻辑 1 不同意为逻辑 0 对于因变量L设 事情通过为逻辑 1 没通过为逻辑 0 一 逻辑真值表将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来 列成表格 即可得到真值表 例三个人表决一件事情 结果按 少数服从多数 的原则决定 试建立该逻辑函数的真值表 第三步 根据题义及上述规定 列出函数的真值表 二 逻辑函数式把输出与输入之间的逻辑关系写成与 或 非等运算的组合式 即逻辑代数式 就得到了所需的逻辑函数式 如下图1 5 1电路中 根据对电路功能的要求和与 或的逻辑定义 B和C中至少有个合上 可以表示为 B C 同时还要求合上A 则应写作A B C 因此 得到输出的逻辑函数式为Y A B C 三 逻辑图逻辑图 由逻辑符号及它们之间的连线所构成的图形 将逻辑函数中各变量之间的与 或 非等逻辑关系用图形符号 逻辑符号 表示出来 就可以画出表示函数关系的逻辑图 如将逻辑函数式Y A B C 中的代数运算符号用逻辑运算的图形符号代替 就可得到下图所示的逻辑图 四 各种表示方法间的互相转换 经常用到的转换方式有以下几种 1 从真值表写出逻辑函数式 方法 找出真值表中使逻辑函数Y 1的那些输入变量取值的组合 每组输入变量取值的组合对应一个乘积项 其中取值为1的写入原变量 取值为0的写入反变量 将这些乘积项相加2 从逻辑式列出真值表 方法 将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式中求出函数值 列成表 即可得到真值表 3 从逻辑式画出逻辑图 方法 用图形符号 逻辑符号 代替逻辑式中的运算符号 就可画出逻辑图 4 从逻辑图写出逻辑式 方法 从输入端到输出端逐级写出每个图形符号所对应的逻辑式 就可得到对应的逻辑式 例2写出如图所示逻辑图的函数表达式 解 可用两个非门 两个与门和一个或门组成 解 例1画出下列函数的逻辑图 1 5 3逻辑函数的两种标准形式 一 最小项和最大项1 最小项 在n变量逻辑函数中 若m为包含n个因子的乘积项 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次 则称m为该组变量的最小项 最小项的几个重要性质 1 在输入变量的任何取值下 必有且仅有一个最小项的值为1 2 全体最小项之和为1 3 任意两个最小项的乘积为0 4 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子 2 最大项 在n变量逻辑函数中 若M为n个变量之和 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次 则称M为该组变量的最大项 最大项的几个重要性质 1 在输入变量的任何取值下 必有且仅有一个最大项的值为0 2 全体最大项之和为0 3 任意两个最大项的乘积为1 4 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和 最大项与最小项之间有如下关系 Mi mi 二 逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和 称为最小项表达式 例1将以下逻辑函数转换成最小项表达式 解 m7 m6 m3 m1 例2将下列逻辑函数转换成最小项表达式 解 m7 m6 m3 m5 m 3 5 6 7 三 逻辑函数的最大项之积形式任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最大项之积 称为最大项表达式 如果已知逻辑函数为Y mi时 定能将Y化成编号为i以外的那些最大项和乘积 即 变换依据 1 全部最小项之和为1 2 Mi与mi互为反变量 1 6逻辑函数的公式化简法 1 6 1逻辑函数的最简形式一 逻辑函数式的几种常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的 可以有多种形式 并且能互相转换 例如 其中 与 或表达式是逻辑函数的最基本表达形式 究竟应该将函数式变换成什么形式 要视所用门电路的功能类型而定 二 逻辑函数的最简标准 1 与项最少 即表达式中 号最少 2 每个与项中的变量数最少 即表达式中 号最少 1 6 2常用的公式化简法公式化简法的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子 以求得函数式的最简形式 常用的公式化简法有 并项法 吸收法 消项法 消因子法 配项法等 并项法 运用公式 将两项合并为一项 消去一个变量 吸收法 运用吸收律A AB A 消去多余的与项 如 消因子法 配项法 在化简逻辑函数时 要灵活运用上述方法 才能将逻辑函数化为最简 1 7逻辑函数的卡诺图化简法 图1 7 1二到五变量最小项的卡诺图 a 两变量 A B 最小项的卡诺图 b 三变量 A B C 最小项的卡诺图 c 四变量 A B C D 最小项的卡诺图 d 五变量 A B C D E 最小项的卡诺图图1 7 2例1 7 1的卡诺图图1 7 3例1 7 2的卡诺图图1 7 4最小项相邻的几种情况 a b 两个最小项相邻 c d 四个最小项相邻 e 八个最小项相邻图1 7 5例1 7 3的卡诺图图1 7 6例1 7 4的卡诺图 返回 图1 7 1二到五变量最小项的卡诺图 a 两变量 A B 最小项的卡诺图 b 三变量 A B C 最小项的卡诺图 c 四变量 A B C D 最小项的卡诺图 d 五变量 A B C D E 最小项的卡诺图 返回 图1 7 2例1 7 1的卡诺图 返回 图1 7 3例1 7 2的卡诺图 返回 图1 7 4最小项相邻的几种情况 a b 两个最小项相邻 c d 四个最小项相邻 e 八个最小项相邻 返回 图1 7 5例1 7 3的卡诺图 返回 图1 7 6例1 7 4的卡诺图 返回 一 表示最小项的卡诺图 1 相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量互为反变量 其余变量均相同 则称这两个最小项为逻辑相邻 简称相邻项 例如 最小项ABC和就是相邻最小项 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中 可以合并为一项 同时消去互为反变量的那个量 如 1 7 1逻辑函数的卡诺图表示法 2 卡诺图 最小项的定义 n个变量的逻辑函数中 包含全部变量的乘积项称为最小项 n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个 用小方格来表示最小项 一个小方格代表一个最小项 然后将这些最小项按照相邻性排列起来 即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性 3 卡诺图的结构 1 二变量卡诺图 2 三变量卡诺图 3 四变量卡诺图 仔细观察可以发现 卡诺图具有很强的相邻性 1 直观相邻性 只要小方格在几何位置上相邻 不管上下左右 它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的 2 对边相邻性 即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性 二 用卡诺图表示逻辑函数 1 从真值表到卡诺图 2 从逻辑表达式到卡诺图 1 如果表达式为最小项表达式 则可直接填入卡诺图 2 如表达式不是最小项表达式 但是 与 或表达式 可将其先化成最小项表达式 再填入卡诺图 也可直接填入 填入的方法 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1 在其余的位置上填入0 就得到了表示该逻辑函数的卡诺图 1 7 2用卡诺图化简逻辑函数 卡诺图化简逻辑函数的基本原理 具有相邻性的最小项可以合并 并消去不同的因子 一 合并最小项的规则 1 2个相邻的最小项结合 可以消去1个取值不同的变量而合并为l项 合并后的结果中只剩下公共因子 2 4个相邻的最小项结合 可以消去2个取值不同的变量而合并为l项 合并后的结果中只包含公共因子 3 8个相邻的最小项结合 可以消去3个取值不同的变量而合并为l项 合并后的结果中只包含公共因子 总之 2n个相邻的最小项结合 可以消去n个取值不同的变量而合并为l项 合并后的结果中只包含这些最小项的公共因子 用卡诺图合并最小项的原则 画圈的原则 1 尽量画大圈 但每个圈内只能含有2n n 0 1 2 3 个相邻项 要特别注意对边相邻性和四角相邻性 2 圈的个数尽量少 3 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过 即不能漏下取值为1的最小项 4 在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格 否则该包围圈是多余的 二 卡诺图化简法的步骤 1 将逻辑函数化简为最小项之和的形式 2 画出表示该逻辑函数的卡诺图 3 合并相邻的最小项 即根据前述原则画圈 4 写出化简后的表达式 每一个圈写一个最简与项 规则是 取值为l的变量用原变量表示 取值为0的变量用反变量表示 将这些变量相与 然后将所有与项进行逻辑加 即得最简与 或表达式 例1用卡诺图化简逻辑函数 L A B C D m 0 2 3 4 6 7 10 11 13 14 15 解 1 由表达式画出卡诺图 2 画包围圈 合并最小项 得简化的与 或表达式 例2某逻辑函数的真值表如表3所示 用卡诺图化简该逻辑函数 解 1 由真值表画出卡诺图 2 画包围圈合并最小项 有两种画圈的方法 a 写出表达式 b 写出表达式 通过这个例子可以看出 一个逻辑函数的真值表是唯一的 卡诺图也是唯一的 但化简结果有时不是唯一的 三 卡诺图化简逻辑函数的另一种方法 圈0法 例4 9已知逻辑函数的卡诺图如图所示 分别用 圈1法 和 圈0法 写出其最简与 或式 解