阶和二阶常系数线性差分方程.ppt

2 14 20201 48PM 7 6一阶和二阶常系数线性差分方程 1 一阶常系数线性差分方程 2 二阶常系数线性差分方程 2 14 20201 48PM 1 一阶常系数线性差分方程 第7章微分方程与差分方程 的方程称为一阶常系数线性差分方程 形如 为已知函数 其中 为未知函数 当 时 方程 1 称为非齐次的 当 时 方程 1 称为齐次的 2 14 20201 48PM 一阶常系数线性差分方程的解法 第7章微分方程与差分方程 1 齐次方程的解法 设已知 中得 这种解法称为迭代法 将依次代人 一般地 可以验证 满足差分方程 因此是差分方程的解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 2 一般解法 即 若是方程 1 的一个特解 它与方程 1 相减得 由前面知 令 即是对应齐次方程的解 也是齐次方程的解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 而是非齐次方程的一个特解 因此是 是齐次方程的通解 故是 由通解的定义知 非齐次方程的解 而且含有任意常数 非齐次方程 1 的通解 非齐次方程 通解 齐次方程的通解 非齐次方程的特解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 代人方程中得 特解 设是此方程的一个特解 称为特征方程 因此是它的通解 首先求齐次方程的通解 其根 称为特征根 故是此齐次方程的一个 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 方程转化为 再求非齐次方程的特解 代人方程得 利用迭代法 设给定初值 依次将 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 因此猜想方程的解为 当时 当时 可以验证在这两种情况下均为方程的解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 的特解 当时 利用待定系数法 设方程具有形式 取 代人方程得 所以方程的特解为 又因对应的齐次方程的通解为 故此方程的通解为 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 当时 取 对应的齐次方程的通解为 通解为 将代人方程得 此时方程的特解为 而当时 故此方程的 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例1求差分方程的通解 解 代人式得通解 由题意 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 的特解 方程转化为 利用待定系数法 设方程具有形如 当时 取 即 代人方程得 于是 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 当时 通解为 当时 通解为 取 取 自己推出 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例2求差分方程的通解 解 代人式得通解 由题意 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 的特解 方程转化为 设方程具有形如 当时 取 代人方程 得到方程的特解 将 比较同次系数 确定出 对于是一般的次多项 式的情况可类似求解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 当时 取 此时将 代人方程 得到方程的特解 比较同次系数 确定出 这种情况下 方程的左端为 方程为 可将化成的形式 求出它的一个特解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例3求差分方程的通解 解 比较系数得 设 代人原方程 原方程的特解为 对应齐次方程的通解为 故原方程的通解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例4求差分方程的通解 解 而 方程转化为 通解为 故 所以 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例5在农业生产中 种植先于产出及产 品的出售一个适当的时期 时期该产品的价 格决定着生产者在下一时期愿意在市场上 提供的产量 还决定着本期该产品的需 求量 因此有 求价格随时间变化的规律 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 解假设在每一时期中价格总是确定在 市场出清的水平上 即 得差分方程 因此得到 由于 所以 故方程是形如 2 的方程 按求解 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 于是 对应的齐次方程的通解为 当时 通解为 方程的特解为 所求问题的 初始价格 代人通解得 则满足初始条件的特解为 2 14 20201 48PM 2 二阶常系数线性差分方程 第7章微分方程与差分方程 的差分方程称为二阶常系数线性差分方程 形如 当时 方程 4 称为非齐次的 当时 称其为方程 4 对应的齐次方程 方程 2 14 20201 48PM 二阶常系数线性差分方程的通解 第7章微分方程与差分方程 对应的齐次方程的通解 非齐次方程的特解 1 二阶常系数线性齐次差分方程的通解 设为一特解 5 得 代人方程 称其为 5 的特征方程 其根 称为特征根 2 14 20201 48PM 根据特征根的情况确定方程通解的形式 第7章微分方程与差分方程 特征根 通解 实数 其中 为任意常数 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 方程 4 为 当时 方程得 设方程 6 具有形式为的特解 方程有特解 函数时的特解 2 方程 4 中取某些特殊形式的 利用待定系数法求出 取 即 代人 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 方程有特解 取 即 代人方程得 当且时 方程有特解 取 即 代人方程得 当且时 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 事实上 6 的左端为 于是方程转化为 方程 当时 所以 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例6求差分方程的 解 特征方程 故原方程的通解为 通解及时的特解 对应的齐次方程的通解为 因为 所以特解为 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 故所求特解为 代人初始条件 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 方程 7 49 为 当时 代人方程得 设方程 7 具有形式为的特解 方程有特解 取 即 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 当时 代人方程得特解为 取 即 当时 代人方程得特解为 取 即 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 方程 4 为 设方程 7 具有形式为 当时 取 的特解 其中为待定系数 当且时 取 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 方程化为 对且的情况 可得方程 8 的特解 取 就以上各种情况 分别将所设特解代人方 程 比较同次项的系数 确定出 再将化为的形式 若 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例7求差分方程的 解 特征方程 通解 对应的齐次方程的通解为 因为 有特解形式 代人方程得 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 故原方程的通解为 比较同次项系数得 原方程的一个特解为 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 例8求差分方程的 解 特征方程 通解 对应的齐次方程的通解为 因为 有特解形式 代人方程得 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 故原方程的通解为 比较同次项系数得 原方程的一个特解为 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 内容小结 1 一阶常系数线性差分方程 通解 当时 通解 当时 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 通解 当时 通解 当时 特解形式为 当时 特解形式为 当时 2 14 20201 48PM 第7章微分方程与差分方程 2 二阶常系数线性差分方程 特征方程 特征根 1 二阶常系数线性齐次差分方程 2 14 20201 48PM 通解 第7章微分方程与差分方程 实数 其中 为任意常数 2 14