数学建模试卷(答案).doc

数学建模考试卷（半开卷）第一学期 成绩 学号 专业 班级 姓名 一二三四五六 合计分数101020202020100一、怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。（10分）（1）估计一批电饭煲的寿命；（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。解：（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。 （2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。二、学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分别分配各宿舍的委员数。（10分）1.Hamilton方法2.Q值方法3.其它方法或你自己提出的方法解：1.Hamilton方法:宿舍学生人数按比例分配参照惯例A2352.353B3333.333C4324.324总计10001010 2.Q值法: 先按比例计算结果将整数部分的9席分配， 再用Q值法分配第十席： Q3最大，第十席分配给C宿舍，即：。 3.略 三、人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g(t)的增长率与注射速率r成正比，与人体血液容积V成反比，而由于人体组织的吸收作用，g(t)的减少率与g(t)本身成正比。分别在以下假设下建立模型，并讨论稳定情况。（20分）（1）人体血液容积V不变；（2）由于排泄等因数V的增加有极限值，即，其中均为常数。解：（1）V为常数时：基本模型为： 为常数 令： 平衡解： 平衡点是稳定的。 （2） 令： 平衡点： 平衡点是稳定的。 四、某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于手工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）收入达3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。（20分）解：此问题为3人合作对策。 定义特征函数： s11,21,31,2,3v(s)1234v(s-1)0000v(s)-v(s-1)1234s1223w(s)1/31/61/61/3w(s)v(s)-v(s-1)1/31/31/24/3计算j 1： s21,22,31,2,3v(s)0204v(s-2)0103v(s)-v(s-2)0101s1223w(s)1/31/61/61/3w(s)v(s)-v(s-2)01/601/3计算j 2： s31,32,31,2,3v(s)0304v(s-3)0102v(s)-v(s-3)0202s1223w(s)1/31/61/61/3w(s)v(s)-v(s-3)01/302/3计算j 3： 分配向量为： 即：甲应分得25000元，乙应分得5000元，丙应分得10000元。# 五、雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析法给出速度v的表达式。（20分）解：解法一：设 量纲： 量纲矩阵： 有m-r = 4-3=1个基本解。 即： 为无量纲常数。# 解法二：设 为无量纲常数。 则： 比较方程两边： 解出： 即： # 六、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。T. A. McMahon收集了各种赛艇19641970年四次2000米比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，即，其中t为比赛成绩，n为桨手数量。试用以下数据对T. A. McMahon的模型进行检验，并完成模型。（20分） 解：设 、为待定常数 艇种（n）2000米成绩t(min)1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇种（n）2000米成绩t(min)XY1234平均单人7.167.257.287.177.210.0000 1.9755 -1.0397 0.0974 双人6.876.926.956.776.880.6931 1.9286 -0.3466 0.0505 四人6.336.426.486.136.321.3863 1.8437 0.3466 -0.0