数学分析课本华师大三版习题集与答案.doc

第二章 数列极限习题1数列极限概念1、设=，n=1，2，a=0。（1）对下列分别求出极限定义中相应的N： =0.1，=0.01，=0.001；（2）对，可找到相应的N，这是否证明了趋于0？应该怎样做才对；（3）对给定的是否只能找到一个N？2、按N定义证明：（1）=1；（2）；（3）； （4）sin=0；（5）=0（a0）。3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。4、证明：若= a，则对任一正整数k，有= a。5、试用定义证明：（1）数列不以1为极限；（2）数列发散。6、证明定理2.1，并应用它证明数列的极限是1。7、证明：若= a，则|= |a|。当且仅当a为何值时反之也成立？8、按N定义证明：（1）=0； （2）=0； （3）=1，其中 n为偶数，=，n为奇数。2收敛数列的性质1、求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2、设= a，= b，且aN时有0，0，则=1。3数列极限存在的条件1、利用= e求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）。2、试问下面的解题方法是否正确：求。解：设=及= a。由于= 2，两边取极限（n）得a = 2 a，所以a = 0。3、证明下列数列极限存在并求其值：（1）设=，=，n=1，2，；（2）设=（c0），=，n=1，2，；（3）=（c0），n=1，2，。4、利用为递增数列的结论，证明为递增数列。5、应用柯西收敛准则，证明以下数列收敛：（1）=；（2）=。6、证明：若单调数列含有一个收敛子列，则收敛：7、证明：若0，且=l1，则=0。8、证明：若为递增（递减）有界数列，则 =sup（inf）。又问逆命题成立否？9、利用不等式-（n+1）（b-a），ba0证明：为递减数列，并由此推出为有界数列。10、证明：|e-|。提示：利用上题可知e；又易证），作出其等差中项=与等比中项，一般地令，n=1，2，。证明：与皆存在且相等。12、设为有界数列，记 =sup，=inf，。证明：（1）对任何正整数n，；（2）为递减有界数列，为递增有界数列，且对任何正整数n，m有；（3）设和分别是和的极限，则；（4）收敛的充要条件是=。总练习题1、求下列数列的极限：（1）；（2）；（3）。2、证明：（1）=0（|q|0（n=1，2，），则= a。4、应用上题的结论证明下列各题：（1）=0；（2）=1（a0）； （3）=1； （4）=0；（5）= e； （6）=1；（7）若= a（0），则= a； （8）若（-）= d，则= d。5、证明：若为递增数列，为递减数列，且（-）=0，则与都存在且相等。6、设数列满足：存在正数M，对一切n有 M。证明：数列与都收敛。7、设a0，0，=，n=1，2，。证明：数列收敛，且其极限为。8、设0，记 =，=，n=2，3，。证明：数列与的极限都存在且等于。9、按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件，并用它证明下列数列是发散的：（1）=；（2）=；（3）=。10、设= a，= b。记 = max，= min，n=1，2，。证明：（1）= max a ，b ；（2）= min a ，b 。提示：参考第一章总练习题1。习题答案1数列极限概念3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列；（4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。2收敛数列的性质1、（1）；（2）0；（3）；（4）；（5）10；（6）2。4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。8、（1）0（提示：先证明）；（2）1（提示：）；（3）0（提示：先证明0）；（4）（提示：记，则）。3数列极限存在的条件1、（1）；（2）e；（3）e；（4）；1。3、（1）2；（2）；（3）0。总练习题1、（1）3；（2）0；（3）0。典型习题解答1、（1第2（1）题）按N定义证明：=1证明：由于|-1|=N时，|N时，|- a|N时，n+knN，所以|-a|，故= a。3、（2第1（4）题）。解：=。4、（2第2题）设= a，= b，且aN时有 0，根据两个已知极限分别存在的、，当n时，|- a|，从而时，|- b| b -=（a + b）。取N = max，当nN时，必有（a + b）N时有2时，1-1，且=1。故由迫敛性定理知，=1。6、（3第3（1）题）证明下列数列设=，=，n=1，2，；极限存在并求其值。证明：已知=2，设2，则=1（2），于是是递增且有上界的数列。由单调有界定理知极限存在。设其为a ，对等式=两边取极限有=