A20004017 中南大学 单铖吉 张国发 张婷.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20004017 所属学校（请填写完整的全名）： 中南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 单铖吉 2. 张国发 3. 张 婷 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 何伟 日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法分析摘要制动器试验台对所设计的路试进行模拟时会受到很多因素的影响，如时滞影响等。其中主要的因素是对实际车轮惯量的模拟误差。本文首先求出在指定载荷下的车轮的等效惯量，由于等效惯量由主轴与飞轮和电机两部分模拟，因此在飞轮个数、规格确定的情况下，电机所需模拟惯量就可确定，在此情况下设计了能量补偿模型对电流进行控制，同时指出该模型未考虑系统消耗能量的不足，并对模型进行了改进，且设计了一个以整个制动过程的能量相对误差为指标的评价模型。对问题一，按作用方向分，载荷有垂向、侧向、纵向和自相平衡四种类型，汽车平动中垂向载荷的作用远大于其余三种形式的载荷，故只考虑垂向载荷的作用。由能量等效关系可得到载荷对应的等效惯量为。对问题二，求出每个飞轮的转动惯量，从而得到可以组成的机械惯量有10、40.01、70.02、130.03、100.02、160.04、190.05、200.06共八种。在等效惯量为的情况下，由电动机能补偿的能量相应的惯量的范围得电动机需要补偿的惯量为11.99、18.02其中18.02的负号说明此时电动机的输出转矩方向与主轴的转矩方向相反。 对问题三，制动减速度为常数，则制动过程为一稳定过程，假设可观测数据为等效惯量、机械惯量、初速度和制动时间，根据能量守恒关系建立了匀减速制动模型，得到电动机的驱动电流为174.66A、-262.54A。对问题四，以整个制动过程相对能量差为主要的评价指标建立了能量相对差值评价模型，能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。利用三次样条插值法和追赶法求出每个时段上制动器消耗的能量和路试时制动器消耗的能量，利用MATLAB编程求解得出每个时间段相对能量误差，整个制动过程相对能量误差并绘制各时段相对能量误差图（见图1），可以看出每个时间段的相对能量误差最大不超过9%，主要集中在0.4%到3%之间，而整个制动过程相对能量误差为10.37%，由于整体相对误差较大说明该控制方法存在较大缺陷。对问题五，以能量补偿控制的方式建立了能量补偿模型。在不考虑系统的能量损耗情况下，将制动过程分为未补偿阶段、补偿阶段和补偿完毕阶段。对于补偿阶段，将该阶段分为若干个等距时段，近似认为一个时段中电动机的输出转矩为一恒定值。该模型关键在于确定补偿开始时间，补偿过程持续时间，补偿过程的控制方式。本文首先根据试验台上的飞轮转过的弧度与实际车轮转过的弧度相等为原则确定初始时间，然后根据能量转换关系求得依赖于前一段时间的瞬时转速、扭矩的电流控制方式，最后根据绘图比较的方式确定补偿持续时间。对问题六，在问题五的能量补偿模型上做了进一步的优化，主要是考虑了系统的能量损耗，以此建立能量补偿优化模型。系统的能量损耗近似认为是各种阻力引起的，本文提出了一种间接的求系统能量损耗的回归方法：将飞轮升到指定转速后断开电动机，不运行制动器，让飞轮在系统阻力作用下减速至0，在此过程中每隔一段时间记录一次数据，用SPSS软件对所得数据进行拟合求得转速方程进而求出系统能量损耗方程由此确定优化的电流控制方法。一、问题重述1.1 问题背景 汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。 为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。1.2 相关信息 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kgm2，基础惯量为10 kgm2，则可以组成10，20，30，160 kgm2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kgm2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kgm2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/Nm）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。1.3 求解问题（1）设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。（2）飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kgm2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？（3）建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。（4）对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。（5）按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。（6）第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二、问题分析 模拟试验的目标是使试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。一般情况下机械惯量与等效转动惯量不相等。这个问题的一种解决方法是让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，即在不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差的情况下，以能量误差为主要的评价指标，找出一个较好的电流控制方法。三、模型假设1、载荷为垂向载荷；2、在一个很小的时段内，电动机的输出转矩为一恒定值；3、在一个很小的时段内，角加速度为一恒定值；4、车辆在制动过程中作匀减速运动，预测的补偿时间小于实际制动时间。四、变量及符号的说明：车轮在制动时所承受的载荷；：飞轮的等效转动惯量；：飞轮的初始角速度；：飞轮在t时刻的角速度；：制动器的制动力矩；：飞轮的转动惯量；：电机补偿由于机械惯量不足而缺少的转动惯量，即；：电动机的扭矩；：相对能量误差；：电动机的驱动电流；五、模型的建立、求解及评价5.1 问题一的求解 按作用方式分，载荷有以下四种：垂向、纵向、侧向和自相平衡四种方式。为了便于问题的分析和求解，根据题意先对载荷、转动惯量和等效惯量作如下定义：载荷：不考虑由于轨面部平、钢轨接缝等线路原因以及车辆本身状态不良引起的垂向动载荷，只考虑结构自重、载重和整备重量产生的垂向静载荷G。故可得车轮的等效质量,其中g取9.8N/kg;转动惯量：刚体转动惯性大小的量度，称为刚体对给定轴的转动惯量。等效惯量：路试车辆的指定车轮在制动时承受的载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量称为等效转动惯量，用表示。车轮载荷在车辆平动时具有的能量为： 主轴和飞轮绕定轴转动的转动动能为：其中分别为车轮的线速度和角速度，且，其中r为车轮的半径。根据假设3和题意可以认为，载荷在车辆平动时具有的能量等于主轴等机构转动时具有的能量，即： 由以上分析得等效惯量为 (1)已知车辆单个前轮的滚动半径r=0.286 m，制动时承受的载荷G=6230 N，代入(1)式得等效转动惯量为： 5.2 问题二的求解 惯量是制动器惯性台架试验中的重要试验参数，惯量模拟精度直接影响试验结果的准确度。最直接的惯量模拟方法是机械模拟，即在主轴上安装惯性飞轮，使其惯量与车辆折算到轮边的惯量一致，通过电动机驱动旋转来模拟汽车行驶动能。但是，机械惯量必然存在级差，对试验过程中各种损耗引起的惯量误差不能有效补偿，难以满足新型台架的精度要求，这就需要依靠电动机惯量模拟来实现。这部分惯量是电动机在制动过程中根据不同控制策略进行补偿的。飞轮提供的惯量所占比例越大，电动机补偿的惯量就越少，电机容量要求越低。电动机能补偿的能量相应的惯量的范围限定了飞轮的组合。假设飞轮的质量是连续分布的，对任一飞轮由公式：可推得飞轮的转动惯量为：其中分别为飞轮的外径和内径。 已知各飞轮的外径和内径相同，分别为，厚度为，钢材的密度为，则第个飞轮的质量为第个飞轮的转动惯量为由已知数据R=0.5m，r=0.1m，=7810 kg/m3 得，。已知基础惯量为10 kgm2，其组成的机械惯量有10、40.01、70.02、130.03、100.02、160.04、190.05、200.06共八种。由以上分析得电动机需要补偿的惯量、等效惯量和机械惯量存在如下关系 (2)由电动机能补偿的能量相应的惯量的范围-30, 30 以及载荷对应的等效惯量51.999解得需要补偿的惯量分别为11.99、18.02。5.3 问题三模型的建立及求解5.3.1匀减速制动模型的建立 制动器是用来减低机械速度或者使机械停止的装置。根据被制动对象的运动，机械制动可分为水平制动和垂直制动。本文中试验台制动器采用的是水平制动，所谓水平制动是指被制动的对象是沿水平方向运动, 如车辆在水平路面上行驶时的制动。制动时, 制动器的负载是机械中各部分旋转直线运动的惯性动能。 在制动减速度恒定的情况下，设制动器的制动力矩为(近似认为制动过程中恒定不变)，负载的等效转动惯量为，转轴的转速为，制动时间为，则有 （3）其中，从而得 （4） 在时间段内，制动器消耗的能量可表示为，设初始时间为，制动结束时间为，则从到得时间内制动器消耗的能量为 （5）制动力矩 （6）由（2）、（6）式得 （7）将（7）式代入（5）式得则制动器消耗的能量即制动器的负载中部分由飞轮模拟，部分由电机补充。令 （8）由（6）式与（3）式得 （9）因此，只要控制电机使其输出力矩便可实现对水平制动时制动器负载的模拟。将（2）式代入（9）式得 （10）刚开始制动时由能量关系其中为初始速度，质量 ,得 （11）再将（10）式代入（9）式得由假设4，试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数为1.5 A/Nm。则可得制动减速度恒定时电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型： （12）5.3.2 模型求解 在问题一中得到等效的转动惯量为，在问题二中根据机械惯量的定义和等效的转动惯量之间的关系得到两个电动机需要补偿的转动惯量数据 11.99、18.02，其相对应的机械惯量分别为，又已知时间，载荷，初始速度。当时，将以上数据代入（12）式得驱动电流。同理，当时，驱动电流。5.4 问题四模型的建立及求解5.4.1 能量相对差值评价模型的建立 由于制动器性能的复杂性，很难确定电动机驱动电流与时间之间的严格的函数关系，对电流的控制方法直接影响到制动器综合性能的测试。因此，对控制方法制定一个合理的评价方案尤为重要。本模型在不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差的情况下，以能量的相对误差为指标对本实验结果进行评价。由恒减速制动模型的推导过程有角速度与转速n的关系为，故有 （13）在时间段内，近似认为角速度是匀加速或匀减速变化的，即为一常数。在进行汽车试验台模拟路况时，每隔，对飞轮的扭矩和转速进行测量，设测量次数为,那么在第个时段电动机需要补偿的扭矩所产生的能量为 （14） 试验台模拟路况时，机械惯量为一恒值，在第个内，飞轮转动动能的变化量为 （15）制动器所消耗的能量为 （16）将式（13）（14）（15）和式（16）联合起来求解得到试验台模拟路况时，在第时段消耗的总能量得表达式式中，电机补偿由于机械惯量不足而缺少的转动惯量； 飞轮的机械惯量； 第个时刻时飞轮的角速度； 第个时刻时飞轮的角速度； 在路试情况中，制动器在第时段消耗的总能量为式中，为等效的转动惯量。 各时段的相对能量误差为：为了检验和评价某种方法的好坏，本文提出一种能量相对差值评价模型： (17)5.4.2 模型的求解5.4.2.1 用三次样条插值及追赶法求解角加速度的离散值以t为横坐标n为纵坐标可以一系列的数据点（），时段长度为10ms。由于角加速度变化的连续性，采用三次样条函数中的三转角方程来求解。构造函数(a，b为测试的起止时间点)，在每个小区间上是三次多项式，其中为时间节点，对应各时间点上的函数值，且成立，则是三次样条插值函数。取自然边界条件，即，设在节点处的值为，即角加速度的离散点值，则三转角方程为： （18）其中， （19）由边界条件得两端的方程为 （20）将(17)(18) (19)合并成矩阵形式为，简记Am=g （21） 用追赶法解(19)式求：求解Am=g等价于求解三角方程组(1)Ly=g，求y，(2)Um=y，求m。其中L，U为矩阵A分解的两个三角阵的乘积，L为下三角矩阵，U为单位上三角阵。5.4.2.2 算法框架求解角加速度离散值的算法步骤如下：第1步 输入初始数据及h和k；第2步 i从0到k-l计算；第3步 i从1到k-1由公式(18)计算；第4步 由公式(19)(20)计算和；第5步把矩阵A记成只含元素，的对角占优的三角线矩阵；第6步 计算的递推公式，；第7步 解Ly=g ，；第8步 解Ux=y ，。5.4.2.3 计算结果、分析和评价 由追赶法经MATLAB编程算出各时段的相对能量误差（该误差是指在一个时段（10ms）上，所设计的路试的制动器与相对应的实验台上制动器在该时段消耗的能量之差与该时段路试时制动器消耗的能量之比），并绘制各时段相对能量误差图如下：图1 各时段相对能量误差图 从图中可以看出，各时段的相对能量误差最大不超过9%，大多集中在0.4%3%之间。根据(17)式，可求得整个模拟过程的总的相对能量误差，根据图1及总的能量相对误差值可以看出，该结果误差较大，因此该控制方法不是一个好的方案。5.5 问题五模型的建立及求解5.5.1 能量补偿模型的建立 在多数情况下，机械惯量常存在级差。因此，在制动过程中，就需要电动机补充由于机械惯量不足而缺少的能量。制动中，电动机根据不同的控制策略(如转速控制方式、转矩控制方式和能量补偿法)补偿能量。飞轮提供的能量所占比例越大，电动机补偿能量越少，电机容量要求越低。本文采用能量补偿法补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，并将模拟制动过程分为未开始补偿阶段、补偿阶段和补偿完毕阶段三个阶段。未开始补偿阶段，当电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速时，由于主轴和飞轮的惯量与车轮的惯量之差很小，此时不用电动机补充能量；补偿阶段，未开始补偿阶段结束后，转轴和飞轮的转速下降较快，此时需要电动机补充能量；补偿完毕阶段即是制动稳定阶段。设补偿阶段的总时间为，将补偿时间分为若干个等距时段。 制动过程中，由于制动力矩不变，所以，对于补偿阶段的时段，减速度可以由等效惯量和侧量的制动力矩得出，故主轴的转速为在该时段中，电动机应补偿的能量为等效惯量对应的能量与飞轮存储的能量，故得对于这一时段，由于很小，可以近似认为电动机在该时段的制动过程中输出的转矩为恒定值，则电动机在这一时段中输出的能量为由以上分析可得，在该时段中电动机的转矩为其中，。则下一阶段的控制电流为 （22）恒力矩制动时，纯机械惯量台架作匀减速运动，制动速度曲线为一直线，如图2中直线AB，图2图2中，为补偿阶段的开始时间，为补偿阶段的总用时，为预测的制动时间。直线AB与两坐标轴围成区域的面积即机械惯量试验转过的弧度。对于采用能量补偿法的试验台，其制动过程由能量未开始补偿阶段(AC)、补偿阶段(CE)和补偿完毕阶段(EB)组成，3段曲线下的面积之和应与直线A 下的面积相等。同一次制动过程中，安装的机械惯量和施加的制动力矩都是固定的，在没有外力作用的情况下，飞轮的减速度保持恒定。则直线 C平行于BE，且在安装的机械惯量小于纯机械惯量试验时，直线A C的斜率大于直线AB斜率；安装的机械惯量大于纯机械惯量试验时，AC斜率小于直线AB的斜率。于是，ADC相似于BDE，即要保证直线AB下的面积与A C、CE和EB 3线段下的面积之和相等，必须使D点为AB的中点，即ADC全等于ABDE，由此可得补偿起始时间为：式中， 为估计制动时间。 控制电动机在制动过程中输出的电流按（22）式变化便可以实现对补偿电流的控制。对于补偿阶段的时间，如图3所示，线段比线段更接近线段，此时，由此说明，补偿阶段的时间是越长越好。但由于当补偿时间与补偿起始时间之和大于实际制动时间时会出现补偿不完全的现象，因此补偿时间应该在允许条件下尽量越短越好。基于以上分析，应存在一个合适的取值范围。图35.5.2 该控制方法的分析及评价 采用补偿能量作为结束条件时，不论电动机加载力矩是否有偏差，控制器都会控制电动机按既定规律持续工作，知道补偿的能量达到要求的能量值，因而可以消除忧郁力矩加载精度带来的影响，从而可以提高模拟的精确度。但如果加载力矩偏小过多，且在模型的建立过程中，没有考虑系统损耗及风阻等因素的影响，所以在该情况下会有较大的误差。5.6 问题六模型的建立及求解5.6.1能量补偿优化模型如前所述，能量补偿模型并未考虑系统损耗所引起的误差，而在制动过程中，风阻和轴承摩擦等阻力所引起的能量损耗需要电动机额外做功补偿，这样，电动机在制动过程中的总功W为补偿惯量对应的能量与系统损耗能量之和： （23）式中为系统损耗能量。 根据（23）式及能量补偿模型可得： 至于系统阻力损耗的能量可有一种间接的能量损耗回归方法进行分析。首先将飞轮升速到最高速度，切断驱动电动机电源，此时制动器不运行，飞轮会在系统摩擦等阻力作用