《计算方法复习题》PPT课件.ppt

总复习 一 填空题 用复化梯形公式计算 用Simpson公式计算 条件是其代数精度至少为 10 解 将方程联立得 可验证 所以是三阶收敛 三 四 用LU分解法求下列方程组 解 1 求A的LU分解 五 方程组的系数矩阵为 问J迭代法当a为何值时收敛 下面方程组J迭代法与GS迭代法是否收敛 J迭代法 GS迭代法收敛 六 解 且 七 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高 解 因此 所以该积分公式具有3次代数精确度 八 用改进的Euler法求解下面的初值问题 解改进的Euler法 计算如下 九 已知求解 的公式如下 解求局部截断误差 即 此时公式为 方法阶至少为2 是2阶精度的 证明 越小 误差就越小 对吗 十一 设求积公式 为插值型求积公式 1 试确定其求积系数 2 试确定该公式的代数精度 3 利用该公式计算 的近似值 十二 解Newton迭代格式为 十三 用Newton迭代法求方程在0 5附近的根 求迭代公式的局部收敛速度 十四 用Seidel迭代法求解方程组 解 Seidel迭代格式为 因为系数矩阵严格对角占优 故Seidel方法对任意收敛 2范数为最小即 线性最小二乘拟合问题的提法 给定m 1对数据 xi yi i 0 1 2 m在选定的有限维维函数空间 中求p x 使偏差 如果函数p x 能使偏差达到最小 则称函数p x 为最小二乘解 由此确定线性组合的系数 就可以求出最小二乘解 显然Q是关于线性组合的系数的多元函数 它是关于a0 a1 a2 an的一个二次齐次多项式函数 故任意阶可导 又由于Q是正定的 从而必有最小值 最小值点可由驻点求出 它是关于a0 a1 a2 an的一个二次齐次多项式函数 故任意阶可导 又由于Q是正定的 从而必有最小值 最小值点可由驻点求出 即 我们称它为最小二乘问题的法方程组 引入向量 则它们都是向量空间Rm的向量 由内积的概念可知 显然内积满足交换律 将其表示成矩阵形式 这是法方程组的内积形式 构造一个 m 1 n 1 矩阵 则有 G的第j列就是向量 j 从而法方程组又可以写成 这是法方程组的矩阵形式 线性方程组的最小二乘解 线性方程组Ax b可能有解称为相容 也可能没有解称为不相容 对不相容的方程组 虽然没有解但它的最小二乘问题 却是有解的 因为它的法方程 始终有解 这些解称为原方程组Ax b的最小二乘解 例 它的法方程 最小二乘解为 近似解的误差估计 设的近似解为 则一般有 cond A 残向量 注意 对于病态方程组 不能用残向量的大小衡量近似解的精度 定义1 因为一般情况下 求解公式的每一步都存在误差 因此有 定义2 定义3 一 相对误差 相对误差限 绝对误差限 有效数字 用科学计数法 记 其中 若 即的截取按四舍五入规则 则称为有n位有效数字 精确到 有效数字与相对误差的关系 有效数字 相对误差限 已知x 有n位有效数字 则其相对误差限为 相对误差限 有效数字 已知x 的相对误差限可写为则 可见x 至少有n位有效数字 例 为使的相对误差小于0 001 至少应取几位有效数字 解 假设 取到n位有效数字 则其相对误差上限为 要保证其相对误差小于0 001 只要保证其上限满足 已知a1 3 则从以上不等式可解得n 6 log6 即