委员名额分配公平性问题.doc

数学建模第一次作业委员分配的公平性问题摘要：遇到人员分配的问题，我们第一个反应很自然就会想到人多一方分的多，人少一方自然就少。但粗略的分配很容易导致不公平的出现，本文就是讨论人员分配的公平性问题。依据题中给出的信息、条件，首先用10个名额建立以下四个模型：（1），建立最初等的“比例加惯例模型”；（2），利用书中的结论，相对不公平度，与Q值的定义建立“Q值法模型”；（3），利用书中信息给出的dHondt法，这主要是对人员总数的自然数求商值，运用了有关数列的知识，建立“dHondt法模型”；（4），经过查找资料，得到最小方差的理论，用比例分配的方差大小表示差异大小，以此建立“最小方差模型”。 然后，将名额增至15人后代回上述模型进行检验，发现结论都相差不大。得出应将四个模型综合考虑较为合理。即：先用比例法确定基础，然后用dHondt法或最小方差法分配，再用Q值法调整。最后对此模型进行了推广，在事关政府、大型企业部门招聘或删减人员问题时，需要寻求一定的公平性。用这个模型得到的结果具有一定的参考价值，但它的缺点正是考虑因素太少。 关键词： 公平 比例加惯例 Q值 dHondt法 最小方差法 一、问题的重述无论是在日常生活还是工作当中，我们经常能碰到有关人员调配是否公平的问题。例如，有这样一个关于选学生委员的问题。学校有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。再进一步讨论：如果人数增至15人，用之前使用的方法还公不公平。二、问题分析分析几个数据，可以知道A,B,C宿舍的人数都不是整百，是无规律不成比例的。而所谓分配问题，自然必须满足两个基本原则：（1）均衡分派原则（2）分派比例原则。所以，在模型1中，我先建立一个简单的“比例加惯例模型”简单分析。接着，在模型2中，再用Q值法进一步讨论。然后，在模型3中，用书中给出的dHondt计算后进行比较。 最后，在模型4中，运用经济学中的最小方差法进行分配。 三、模型假设与符号说明3.1 模型的假设 （1）各个宿舍相互独立互不影响，且始终人数保持不变(无搬入搬出现象)； （2）分配时严格遵循制定的方案； （3）几个委员无等级差别3.2 符号说明 席位与总人数的比例系数总人数席位数方差系数最小方差系数四、模型的建立与求解4.1模型：比例加惯例方案首先，假设人数都是以整百出现的，如A：300人，B：300人，C：400人，则比例为理想状况3：3：4，那么分配人数只按比例分别分配为3人，3人，4人。而且一定是最公平的。但这是理想情况，给出的数据为一般情况，比例为：。这样出现了小数，此时按照惯例进行调整。即剩下的名额分给比例中小数最大的那个组。在这里即为A。为了方便观察，建立如下表格：系别人数 人数的比例（%）10个委员分配比例分配人数按惯例分配人数A23523.52.353B33333.33.333C40043.24.324总和1000100.010.0010表1 按比例加惯例的分配方案4.2模型：Q值法首先，按照模型1中的比例算法将9席分配完毕。然后，给出的定义： （1）即当总席位增加1席时，应将这席分给Q值最大的一方。这种分配方法就称之为Q值法。最后，得如下表格：宿舍学生人数10个名额分配比例分配各方Q值分配结果A2352.3592042B3333.3392403C4324.3293315总和100010-10表2 Q值法分配方案4.3模型 dHondt方法：首先，定义dHondt方法：则直接按书中要求，一次随自然数列求商，将所得商数从小到大取前十个，原理即：如当取一人时，他所能代表的人数，如取5人时，商为每个人在该群体中所能代表的个数。分别统计各宿舍入围个数，即是最终委员会名额分配结果。将A,B,C各宿舍的人数用正整数相除，其商数如表三：12345A235117.578.358.75B333166.511183.25C43221614410886.4表3 dHondt法计算将所得商数从大到小取前十个（10为席位数），即表中有下划线的十个。所以如下表为此法的分配方案：宿舍学生人数分配人数A2352B3333C4325总和100010表4 dHondt法分配方案4.4模型 最小方差法首先介绍最初等的最小方差原则的资源（席位）公平分配整数规划模型：，其中为整数， （3）最小方差原则是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大，特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数差异不要太大。模型简化后，可直接用比例分配的方差大小表示差异大小，方差小，则说明分配合理，反之，则是不合理。但是由于这里的约束条件太少，在公平分配问题中使用时，容易出现席位增加，总个数增加反而最后名额减少的不合理现象。所以进行了一些修改：要求Z最小也就是求最小，即所以基于最小方差原则的资源（席位）公平分配整数规划模型(4)的求解过程可按如下步骤进行：步骤一、二同模型；步骤三 计算 （4） 并从小到大排序；步骤三 计算 赋给Di值最小的前m个单位个席位，赋给其他单位个席位，如下表为分配结果：宿舍学生人数10个名额分配比例分配各方Di值分配结果A2352.35163.192B3333.33159.563C4324.32120.965总和10001010表5 最小方差法分配方案 五，模型的检验、评价与推广5.1 模型的检验： 如果将人数增至为15人，结合10人时的情况，以此检验各个模型的公平性：（1） 模型：比例加惯例法宿舍学生人数学生人数比例（%）10个名额分配15个名额分配比例分配惯例分配比例分配惯例分配A23523.52.3533.534B33333.33.3334.995C43243.24.3246.486总和100010010101515 （2）模型：Q值法宿舍学生人数10个名额分配15个名额分配比例分配各方Q值分配结果比例分配各方Q值(1)各方Q值(2)分配结 果A2352.35920423.53460246024B3333.33924034.99554436965C4324.32933156.48444344436总和100010-1015-15（3）模型：dHondt法宿舍学生人数10个名额分配15个名额分配A23523B33335C43257总和10001015（4）模型：最小方差法宿舍学生人数10个名额分配15个名额分配比例分配各方di值分配结果比例分配各方di值分配结果A2352.35163.1923.53-73.364B3333.33159.5634.99-2705C4324.32120.9656.48-3.846总和100010-1015-15 综上分析可得，增至为15个名额时，1，2，4模型的结果是一样的，仅3模型的分别为：3，5，7人。这里可以参照Q值法原理里的“相对不公平度”检验一下。即：对A相对不公平度： ，； （5）对B相对不公平度： ，； （6）但这种方法在某种程度上已经默认，Q值法是最公平的。但不妨可以做个参照。总的来说：可以用dHondt法或最小方差法计算得结果后，再用Q值法进行检验，综合考虑，以便调整。5.2 模型的优缺点分析 此问题考虑的因素过少，实际问题中不可能如此单一，尤其是个人的客观因素，如果模型要进行推广，必须要进一步分析并加入其他模型。 而且，其实后三种模型的前半部分都是以第一个模型：比例法作为基础后分析的，难免受影响。5.3 模型的推广公平分配的问题是关乎国家大局，人民情绪的重要问题。多年以来，许多机构都在努