理论力学(第七版)哈工大.高等教育出版社.教学课件.ppt

理论力学 绪论 一 理论力学的研究对象和内容 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学 机械运动 平衡指物体相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态 平衡是机械运动的一种特殊形式 是指物体在空间的位置随时间的改变 理论力学研究内容 静力学研究物体的平衡规律 同时也研究力的一般性质及其合成法则 运动学研究物体运动的几何性质 而不考虑物体运动的原因 动力学研究物体的运动变化与其所受的力之间的关系 二 学习理论力学的目的 1 解决工程实际问题 2 为后续课打基础 静力学 引言 静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学 1 物体的受力分析 分析物体 包括物体系 受哪些力 每个力的作用位置和方向 并画出物体的受力图 2 力系的等效替换 或简化 用一个简单力系等效代替一个复杂力系 3 建立各种力系的平衡条件 研究作用在物体上的各种力系的平衡条件 并应用这些条件解决静力学实际问题 静力学解决的三个问题 力 物体间相互的机械作用 作用效果使物体的机械运动状态发生改变 力的三要素 大小 方向 作用点 力是矢量 力系 作用在物体上的一群力 可分为 平面汇交 共点 力系 平面平行力系 平面力偶系 平面任意力系 空间汇交 共点 力系 空间平行力系 空间力偶系 空间任意力系 平衡力系 满足平衡条件的力系称为平衡力系 静力学几个基本概念 刚体 在力的作用下 其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 第一章静力学公理和物体的受力分析 1 1静力学公理 公理1力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力 可以合成为一个合力 合力的作用点也在该点 合力的大小和方向 由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定 如图所示 公理2二力平衡条件 使刚体平衡的充分必要条件 最简单力系的平衡条件 亦可用力三角形求得合力矢 合力 大小与方向 矢量的和 作用在刚体上的两个力 使刚体保持平衡的必要和充分条件是 这两个力的大小相等 方向相反 且作用在同一直线上 公理3加减平衡力系原理 推理1力的可传性 作用在刚体上的力是滑动矢量 力的三要素为大小 方向和作用线 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系 并不改变原力系对刚体的作用 作用于刚体上某点的力 可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点 并不改变该力对刚体的作用 推理2三力平衡汇交定理 平衡时必与共线则三力必汇交O点 且共面 作用于刚体上三个相互平衡的力 若其中两个力的作用线汇交于一点 则此三力必在同一平面内 且第三个力的作用线通过汇交点 公理4作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在 同时消失 等值 反向 共线 作用在相互作用的两个物体上 若用F表示作用力 又用F 表示反作用力 则F F 在画物体受力图时要注意此公理的应用 公理5刚化原理 柔性体 受拉力平衡 刚化为刚体 仍平衡 反之不一定成立 因对刚体平衡的充分必要条件 对变形体是必要的但非充分的 刚体 受压平衡 柔性体 受压不能平衡 变形体在某一力系作用下处于平衡 如将此变形体刚化为刚体 其平衡状态保持不变 约束 对非自由体的位移起限制作用的物体 约束力 约束对非自由体的作用力 约束力 大小 待定 方向 与该约束所能阻碍的位移方向相反 作用点 接触处 1 2约束和约束力 自由体 位移不受限制的物体 非自由体 位移受到限制的物体 主动力 约束力以外的力 工程常见的约束 1 具有光滑接触面 线 点 的约束 光滑接触约束 光滑支承接触对非自由体的约束力 作用在接触处 方向沿接触处的公法线并指向受力物体 故称为法向约束力 用表示 2 由柔软的绳索 胶带或链条等构成的约束 柔索只能受拉力 又称张力 用表示 柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体 胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向 为拉力 3 光滑铰链约束 径向轴承 圆柱铰链 固定铰链支座等 1 径向轴承 向心轴承 约束特点 轴在轴承孔内 轴为非自由体 轴承孔为约束 约束力 当不计摩擦时 轴与孔在接触为光滑接触约束 法向约束力 约束力作用在接触处 沿径向指向轴心 当外界载荷不同时 接触点会变 则约束力的大小与方向均有改变 可用二个通过轴心的正交分力表示 2 光滑圆柱铰链 约束特点 由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成 如剪刀 光滑圆柱铰链约束 F 约束力 光滑圆柱铰链 亦为孔与轴的配合问题 与轴承一样 可用两个正交分力表示 其中有作用反作用关系 一般不必分析销钉受力 当要分析时 必须把销钉单独取出 3 固定铰链支座 约束特点 由上面构件1或2之一与地面或机架固定而成 约束力 与圆柱铰链相同 以上三种约束 经向轴承 光滑圆柱铰链 固定铰链支座 其约束特性相同 均为轴与孔的配合问题 都可称作光滑圆柱铰链 Fy Fx 固定铰链支座 返回首页 4 其它类型约束 1 滚动支座 约束特点 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成 约束力 构件受到 光滑面的约束力 F F 滚动支座 返回首页 2 球铰链 约束特点 通过球与球壳将构件连接 构件可以绕球心任意转动 但构件与球心不能有任何移动 约束力 当忽略摩擦时 球与球座亦是光滑约束问题 约束力通过接触点 并指向球心 是一个不能预先确定的空间力 可用三个正交分力表示 3 止推轴承 约束特点 止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制 约束力 比径向轴承多一个轴向的约束反力 亦有三个正交分力 2 柔索约束 张力 球铰链 空间三正交分力 止推轴承 空间三正交分力 4 滚动支座 光滑面 3 光滑铰链 1 光滑面约束 法向约束力 1 3物体的受力分析和受力图 在受力图上应画出所有力 主动力和约束力 被动力 画受力图步骤 3 按约束性质画出所有约束 被动 力 1 取所要研究物体为研究对象 隔离体 画出其简图 2 画出所有主动力 例1 1 解 1 画出简图 2 画出主动力 3 画出约束力 碾子重为 拉力为 处光滑接触 画出碾子的受力图 例1 2 解 1 取屋架 2 画出主动力 3 画出约束力 画出简图 屋架受均布风力 N m 屋架重为 画出屋架的受力图 例1 3 解 取杆 其为二力构件 简称二力杆 其受力图如图 b 水平均质梁重为 电动机重为 不计杆的自重 画出杆和梁的受力图 图 a 二力构件 二力杆 只在两个力作用下平衡的构件称为二力构件 取梁 其受力图如图 c 若这样画 梁的受力图又如何改动 杆的受力图能否画为图 d 所示 例1 4 不计三铰拱桥的自重与摩擦 画出左 右拱的受力图与系统整体受力图 解 右拱为二力构件 其受力图如图 b 所示 系统整体受力图如图 d 所示 取左拱 其受力图如图 c 所示 考虑到左拱三个力作用下平衡 也可按三力平衡汇交定理画出左拱的受力图 如图 e 所示 此时整体受力图如图 f 所示 讨论 若左 右两拱都考虑自重 如何画出各受力图 如图 g h i 例1 5 不计自重的梯子放在光滑水平地面上 画出梯子 梯子左右两部分与整个系统受力图 图 a 解 绳子受力图如图 b 所示 梯子左边部分受力图如图 c 所示 梯子右边部分受力图如图 d 所示 整体受力图如图 e 所示 提问 左右两部分梯子在A处 绳子对左右两部分梯子均有力作用 为什么在整体受力图没有画出 作业 1 1 a d e i j 1 2 a d e f h 第二章平面汇交力系与平面力偶系 一 多个汇交力的合成 力多边形规则 2 1平面汇交力系合成与平衡的几何法 力多边形 平衡条件 二 平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的力多边形自行封闭 已知 AC CB P 10kN 各杆自重不计 求 CD杆及铰链A的受力 解 CD为二力杆 取AB杆 画受力图 用几何法 画封闭力三角形 按比例量得 例2 1 或 一 力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 2 2平面汇交力系合成与平衡的解析法 二 平面汇交力系合成的解析法 因为 由合矢量投影定理 得合力投影定理 则 合力的大小为 方向为 作用点为力的汇交点 三 平面汇交力系的平衡方程 平衡条件 平衡方程 求 此力系的合力 解 用解析法 例2 2 已知 图示平面共点力系 已知 求 系统平衡时 杆AB BC受力 例2 3 系统如图 不计杆 轮自重 忽略滑轮大小 P 20kN 解 AB BC杆为二力杆 取滑轮B 或点B 画受力图 用解析法 建图示坐标系 例2 4 求 平衡时 压块C对工件与地面的压力 AB杆受力 已知 F 3kN l 1500mm h 200mm 忽略自重 解 AB BC杆为二力杆 取销钉B 用解析法 得 2 3平面力对点之矩的概念和计算 一 平面力对点之矩 力矩 力矩作用面 O称为矩心 O到力的作用线的垂直距离h称为力臂 力对点之矩是一个代数量 它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积 它的正负 力使物体绕矩心逆时针转向时为证 反之为负 常用单位Nm或kNm 二 汇交力系的合力矩定理 即 平面汇交力系 三 力矩与合力矩的解析表达式 例2 5 求 解 按合力矩定理 已知 F 1400N 直接按定义 例2 6 求 解 由合力矩定理 得 已知 q l 合力及合力作用线位置 取微元如图 2 4平面力偶理论 一 力偶和力偶矩 1 力偶 由两个等值 反向 不共线的 平行 力组成的力系称为力偶 记作 两个要素 a 大小 力与力偶臂乘积 b 方向 转动方向 力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 2 力偶矩 二 力偶与力偶矩的性质 1 力偶在任意坐标轴上的投影等于零 2 力偶对任意点取矩都等于力偶矩 不因矩心的改变而改变 3 只要保持力偶矩不变 力偶可在其作用面内任意移转 且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短 对刚体的作用效果不变 4 力偶没有合力 力偶只能由力偶来平衡 已知 任选一段距离d 三 平面力偶系的合成和平衡条件 平面力偶系平衡的充要条件M 0 有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是 所有各力偶矩的代数和等于零 例2 7 求 光滑螺柱AB所受水平力 已知 解得 解 由力偶只能由力偶平衡的性质 其受力图为 例2 8 求 平衡时的及铰链O B处的约束力 解 1 取轮 由力偶只能由力偶平衡的性质 画受力图 解得 已知 2 取杆BC 画受力图 解得 作业 书2 5 2 12 2 13 第三章平面任意力系 平面任意力系实例 1 力的平移定理 3 1平面任意力系向作用面内一点简化 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B 但必须同时附加一个力偶 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩 2 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 主矢与简化中心无关 而主矩一般与简化中心有关 主矢 主矩 如何求出主矢 主矩 主矢大小 方向 作用点 作用于简化中心上 主矩 平面固定端约束 3 平面任意力系的简化结果分析 其中 合力矩定理 若为O1点 如何 主矢 主矩 最后结果 说明 合力 合力 合力作用线过简化中心 合力作用线距简化中心 合力偶 平衡 与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关 例3 1 已知 求 合力作用线方程 解 1 向O点简化 求主矢和主矩 方向余弦 主矩 大小 2 求合力及其作用线位置 3 求合力作用线方程 即 有 平面任意力系平衡的充要条件是 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零 即 3 2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 因为 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的解析条件是 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零 以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零 1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡方程的三种形式 一般式 二矩式 两个取矩点连线 不得与投影轴垂直 三矩式 三个取矩点 不得共线 2 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系的方程为两个 有两种形式 各力不得与投影轴垂直 两点连线不得与各力平行 例3 2 例2 1 已知 AC CB l F 10kN 求 铰链A和DC杆受力 用平面任意力系方法求解 解 取AB梁 画受力图 解得 F 例3 3 已知 尺寸如图 求 轴承A B处的约束力 解 取起重机 画受力图 解得 例3 4 已知 求 支座A B处的约束力 解 取AB梁 画受力图 解得 解得 解得 例3 5 已知 求 固定端A处约束力 解 取T型刚架 画受力图 其中 解得 解得 解得 解 取AB梁 画受力图 解得 1 FAx 15kN 又可否列下面的方程 能否从理论上保证三组方程求得的结果相同 2 3 可否列下面的方程 作业书3 2 3 4 3 6 b 3 3物体系的平衡 静定和超静定问题 1 静定和超静定问题在静力平衡问题中 若未知量的数目等于独立平衡方程的数目 则全部未知量都能由静力平衡方程求出 这类问题称为静定问题 如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目 则由静力平衡方程就不能求出全部未知量 这类问题称为超静定问题 2 物体系统的平衡由多个处于平衡的物体组成的系统 称为物体系统的平衡 例3 7 求 力偶矩M的大小 轴承O处的约束力 连杆AB受力 冲头给导轨的侧压力 解 取冲头B 画受力图 解得 解得 取轮 画受力图 解得 解得 解得 例3 8 已知 F 20kN q 10kN m L 1m 求 A B处的约束力 解 取CD梁 画受力图 解得FB 45 77kN 解得 解得 解得 取整体 画受力图 例3 9 已知 P1 P2 P 2P1 r R 2r 求 物C匀速上升时 作用于轮I上的力偶矩M 轴承A B处的约束力 解 取塔轮及重物C 画受力图 解得 由 解得 解得 解得 取轮I 画受力图 解得 解得 解得 例3 10 已知 P 60kN P2 10kN P1 20kN 风载F 10kN 尺寸如图 求 A B处的约束力 解 取整体 画受力图 解得 解得 取吊车梁 画受力图 解得 取右边刚架 画受力图 解得 解得 对整体图 例3 11 已知 DC CE CA CB 2L R 2r L P 各构件自重不计 求 A E支座处约束力及BD杆受力 解 取整体 画受力图 解得 解得 解得 取DCE杆 画受力图 解得 拉 例3 12 已知 P a 各杆重不计 求 B铰处约束反力 解 取整体 画受力图 解得 取DEF杆 画受力图 得 得 得 得 取ADB杆 画受力图 作业书3 10 3 21 第四章空间力系 直接投影法 1 力在直角坐标轴上的投影 4 1空间汇交力系 间接 二次 投影法 2 空间汇交力系的合力与平衡条件 合矢量 力 投影定理 空间汇交力系的合力 空间汇交力系平衡的充分必要条件是 称为空间汇交力系的平衡方程 4 2 该力系的合力等于零 即由式 4 1 方向余弦 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和 合力的作用线通过汇交点 空间汇交力系平衡的充要条件 该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零 解 画受力图如图 列平衡方程 结果 例4 3 求 三根杆所受力 已知 P 1000N 各杆重不计 解 各杆均为二力杆 取球铰O 画受力图建坐标系如图 由 1 力对点的矩以矢量表示 力矩矢 4 2力对点的矩和力对轴的矩 4 3 3 作用面 力矩作用面 2 方向 转动方向 1 大小 力F与力臂的乘积 三要素 力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为 又 4 5 2 力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行 力与轴在同一平面内 力对该轴的矩为零 4 6 3 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知 力 力在三根轴上的分力 力作用点的坐标x y z 求 力对x y z轴的矩 0 Fy z Fz y 比较 4 5 4 7 4 8 4 9 式可得 即 力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影 等于力对该轴的矩 4 3空间力偶 1 力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 空间力偶的三要素 1 大小 力与力偶臂的乘积 3 作用面 力偶作用面 2 方向 转动方向 4 3空间力偶 力偶矩矢 4 10 2 空间力偶等效定理作用在同一刚体上的两个空间力偶 如果其力偶矩矢相等 则它们彼此等效 力偶矩相等的力偶等效 力偶矩矢是自由矢量 自由矢量 搬来搬去 滑来滑去 3 力偶系的合成与平衡条件 有 为合力偶矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和 如同右图 称为空间力偶系的平衡方程 简写为 4 11 空间力偶系平衡的充分必要条件是 合力偶矩矢等于零 即 有 合力偶矩矢的大小和方向余弦 例4 5 求 工件所受合力偶矩在轴上的投影 已知 在工件四个面上同时钻5个孔 每个孔所受切削力偶矩均为80N m 解 把力偶用力偶矩矢表示 平行移到点A 求 轴承A B处的约束力 例4 6 解 取整体 受力图如图b所示 由力偶系平衡方程 解得 4 4空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩 1 空间任意力系向一点的简化 其中 各 各 一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系 称为空间力偶系的主矩 称为力系的主矢 空间力偶系的合力偶矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系 有 空间汇交力系的合力 最后结果为一合力 合力作用线距简化中心为 2 空间任意力系的简化结果分析 最后结果 当时 合力矩定理 合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和 2 合力偶 当时 最后结果为一个合力偶 此时与简化中心无关 力螺旋中心轴过简化中心 当成角且既不平行也不垂直时 力螺旋中心轴距简化中心为 4 平衡 当时 空间力系为平衡力系 4 5空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件 该力系的主矢 主矩分别为零 1 空间任意力系的平衡方程 4 12 空间平行力系的平衡方程 4 13 空间任意力系平衡的充要条件 所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零 以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零 2 空间约束类型举例 例4 7 解 研究对象 小车 受力 列平衡方程 结果 3 空间力系平衡问题举例 例4 8 列平衡方程 4 6重心 1 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理 有 对x轴用合力矩定理 有 再对x轴用合力矩定理 则计算重心坐标的公式为 4 14 对均质物体 均质板状物体 有 称为重心或形心公式 2 确定重心的悬挂法与称重法 1 悬挂法 图a中左右两部分的重量是否一定相等 2 称重法 则 有 整理后 得 若汽车左右不对称 如何测出重心距左 或右 轮的距离 例4 12 求 其重心坐标 已知 均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示 则 其面积与坐标分别为 例4 13 求 其重心坐标 由 而 由对称性 有 小半圆 半径为 面积为 小圆 半径为 面积为 为负值 已知 等厚均质偏心块的 得 作业书4 11 4 19 书4 6 4 7 第五章摩擦 静滑动摩擦力的特点 1方向 沿接触处的公切线 2大小 与相对滑动趋势反向 2大小 对多数材料 通常情况下 动滑动摩擦的特点 1方向 沿接触处的公切线 与相对滑动趋势反向 1摩擦角 全约束力 物体处于临界平衡状态时 全约束力和法线间的夹角 摩擦角和自锁现象 5 2 摩擦角 全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数 摩擦锥 角 2自锁现象 3测定摩擦系数的一种简易方法 斜面与螺纹自锁条件 斜面自锁条件 螺纹自锁条件 仍为平衡问题 平衡方程照用 求解步骤与前面基本相同 几个新特点 2严格区分物体处于临界 非临界状态 3因 问题的解有时在一个范围内 1画受力图时 必须考虑摩擦力 物块处于非静止状态 向上 而 画物块受力图 1 2 3 解得 1 2 3 为使物块静止 若 物块有向下滑动趋势时 利用三角公式与 得 例5 3 解得 解 例5 4 设鼓轮被制动处于平衡状态 对鼓轮 对闸杆 且 而 解得 2 能保持木箱平衡的最大拉力 例5 5 解得 而 木箱平衡 2 设木箱将要滑动时拉力为 又 解得 设木箱有翻动趋势时拉力为 解得 能保持木箱平衡的最大拉力为 对此题 先解答完 2 自然有 1 对图 得 得 得 a 对图 对图 得 对图 得 解得 对图 e 又 联立解得 则抽屉不被卡住 画两杆受力图 a b 对图 对图 又 设时 系统有顺时针方向转动趋势 画两杆受力图 对图 c 解得 又 解得 系统平衡时 对图 d 取楔块 或用三角公式 注意 有 则 第六章点的运动学 6 1矢量法 矢端曲线 速度矢径矢端曲线切线 加速度速度矢端曲线切线 直角坐标与矢径坐标之间的关系 运动方程 6 2直角坐标法 速度 加速度 例6 1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动 其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接 而规尺A B两端分别在相互垂直的滑槽中运动 求 M点的运动方程 轨迹 速度 加速度 解 点M作曲线运动 取坐标系xoy 运动方程 消去t 得轨迹 求 x x t y y t 已知 速度 求 x x t y y t 已知 加速度 例6 2正弦机构如图所示 曲柄OM长为r 绕O轴匀速转动 它与水平线间的夹角为其中 为t 0的夹角 为一常数 已知动杆上A B两点间距离为b 求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度 求 A B点运动方程 B点速度 加速度 已知 解 A B点都作直线运动 取ox轴如图所示 运动方程 求 A B点运动方程 B点速度 加速度 已知 B点的速度和加速度 周期运动 求 A B点运动方程 B点速度 加速度 已知 例6 3如图所示 当液压减振器工作时 它的活塞在套筒内作直线往复运动 设活塞的加速度 v为活塞的速度 k为比例常数 初速度为v0 求活塞的运动规律 解 1活塞作直线运动 取坐标轴Ox如图 6 3自然法 副法线单位矢量 切向单位向量 主法线单位矢量 3速度 4加速度 代入 则 切向加速度 法向加速度 曲线匀变速运动运动 常数 例6 4列车沿半径为R 800m的圆弧轨道作匀速运动 如初速度为零 经过2min后 速度到达54km h 求列车起点和未点的加速度 已知 R 800m 常数 解 1列车作曲线加速运动 取弧坐标如上图 解 由点M的运动方程 得 例6 5已知点的运动方程为x 2sin4tm y 2cos4tm z 4tm 求 点运动轨迹的曲率半径 例6 6半径为R的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 称为纯滚动 设轮子转角 如图所示 求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程 并求该点的速度 切向加速度及法向加速度 求 M点的运动方程 速度和加速度 解 M点作曲线运动 取直角坐标系如图 求 M点的运动方程 速度和加速度 第七章刚体的简单运动 刚体的平行移动 3速度和加速度分布 刚体平移 点的运动 2运动方程 7 2刚体绕定轴的转动 2运动方程 转轴 两点连线 3 角速度和角加速度 角速度 角加速度 匀速转动 匀变速转动 7 3转动刚体内各点的速度和加速度 2速度 3加速度 1点的运动方程 4速度与加速度分布图 7 轮系的传动比 齿轮传动 啮合条件 传动比 带轮传动 7 5以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度 1角速度矢量和角加速度矢量 角速度矢量 角加速度矢量 2绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度 速度 加速度 M点切向加速度 M点法向加速度 例7 1刚体绕定轴转动 已知转轴通过坐标原点O 角速度矢为 解 1角速度矢量 2M点相对于转轴上一点M0的矢径 例7 2某定轴转动的刚体通过点M0 2 1 3 其角速度矢 的方向余弦为0 6 0 48 0 64 角速度的大小 25rad s 求 刚体上点M 10 7 11 的速度 第八章点的合成运动 问题的提出 1 求相对运动2 求合成运动 运动的相对性 合成运动 相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成的运动 沿直线轨道滚动的圆轮 轮缘上A点的运动 对于地面上的观察者 是旋轮线轨迹 对站在轮心上的观察者是圆 A点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动的合成 6 1点的绝对运动 相对运动和牵连运动 8 1相对运动 牵连运动 绝对运动 三种运动 动点对于定参考系的运动 称为绝对运动 动点对于动参考系的运动 称为相对运动 动参考系对于定参考系的运动 称为牵连运动 两套参考坐标系 动坐标系 固定在相对于地球运动的参考体上的坐标系 以O x y z 表示 定坐标系 固结在地球上的坐标系 以Oxyz表示 一个动点 不考虑质量而运动的几何点 在动参考系上与动点相重合的那一点 牵连点 的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度 牵连速度 牵连加速度 相对轨迹 相对速度 相对加速度 动点在相对运动中的速度 动点在相对运动中的加速度 动点在相对运动中的轨迹 绝对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 相对运动 曲线运动 螺旋运动 动点 车刀刀尖动系 工件 实例一 车刀的运动分析 实例二回转仪的运动分析 动点 点动系 框架CAD 相对运动 圆周运动 牵连运动 定轴转动 绝对运动 空间曲线运动 动点 M 动系 O x y 速度合成定理的推导 M 为牵连点 8 2点的速度合成定理 导数上加 表示相对导数 得 点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和 例8 4刨床的急回机构如图所示 曲柄OA的一端A与滑块与铰链连接 当曲柄OA以匀角速度 绕固定轴O转动时 滑块在摇杆O1B上滑动 并带动杆O1B绕定轴O1摆动 设曲柄长为OA r 两轴间距离OO1 l 求 曲柄在水平位置时摇杆的角速度 运动分析 绝对运动 绕O点的圆周运动 相对运动 沿O1B的直线运动 牵连运动 绕O1轴定轴转动 例8 5如图所示半径为R 偏心距为e的凸轮 以角速度 绕O轴转动 杆AB能在滑槽中上下平移 杆的端点A始终与凸轮接触 且OAB成一直线 求 在图示位置时 杆AB的速度 解 1 动点 AB杆上A 动系 凸轮 牵连运动 定轴运动 轴O 相对运动 圆周运动 半径R 2 绝对运动 直线运动 AB 已知 求 矿砂相对于传送带B的速度 例8 6矿砂从传送带A落入到另一传送带B上 如图所示 站在地面上观察矿砂下落的速度为 方向与铅直线成300角 已知传送带B水平传动速度 解 1 动点 矿砂M 动系 传送带B 已知 例8 7圆盘半径为R 以角速度 1绕水平轴CD转动 支承CD的框架又以角速度 2绕铅直的AB轴转动 如图所示 圆盘垂直于CD 圆心在CD与AB的交点O处 求 当连线OM在水平位置时 圆盘边缘上的点M的绝对速度 解 1 动点 M点 动系 框架BACD 已知 作业 8 58 78 9 点的加速度合成定理 先分析k 对时间的导数 因为 因为 得 有 点的加速度合成定理 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度 相对加速度与科氏加速度的矢量和 其中科氏加速度 大小 方向垂直于和 指向按右手法则确定 当牵连运动为平移时 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和 此时有 求 气体微团在点C的绝对加速度 例8 8空气压缩机的工作轮以角速度 绕垂直于图面的O轴匀速转动 空气的相对速度v1沿弯曲的叶片匀速流动 如图所示 如曲线AB在点C的曲率半径为 通过点C的法线与半径间所夹的角为 CO r 解 1 动点 气体微团C 动系 Ox y 相对运动 曲线运动 AB 牵连运动 定轴转动 O轴 绝对运动 未知 例8 9求例8 4中摇杆O1B在下图所示位置时的角加速度 解 1动点 滑块A 动系 O1B杆 绝对运动 圆周运动 2速度 相对运动 直线运动 O1B 牵连运动 定轴转动 O1轴 3加速度 沿轴投影 求 图示位置时 杆BD的角速度和角加速度 解 1动点 滑块A 动系 BC杆 绝对运动 圆周运动 O点 相对运动 直线运动 BC 牵连运动 平动 2速度 0 r w 大小 方向 3加速度 沿y轴投影 例8 11如图所示凸轮机构中 凸轮以匀角速度 绕水平O轴转动 带动直杆AB沿铅直线上 下运动 且O A B共线 凸轮上与点A接触的点为A 图示瞬时凸轮上点A 曲率半径为 A 点A 的法线与OA夹角为 OA l 求 该瞬时AB的速度及加速度 绝对运动 直线运动 AB 相对运动 曲线运动 凸轮外边缘 牵连运动 定轴转动 O轴 1动点 AB杆上 动系 凸轮O 2速度 3加速度 沿轴投影 例8 12圆盘半径R 50mm 以匀角速度 1绕水平轴CD转动 同时框架和CD轴一起以匀角速度 2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动 如图所示 如 1 5rad s 2 3rad s 求 圆盘上1和2两点的绝对加速度 解 1动点 圆盘上点1 动系 框架CAD 绝对运动 未知相对运动 圆周运动 O点 牵连运动 定轴转动 AB轴 2速度 略 3加速度 点1的牵连加速度与相对加速度在同一直线上 于是得 点 的牵连加速度 相对加速度大小为 科氏加速度大小为 各方向如图 于是得 作业 书8 178 238 26 第8章点的合成运动习题课 一 点的合成运动的基本概念 1 合成运动物体或点相对某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成 称这种运动为合成运动 2 参考系 1 把固结在地球上的坐标系称为定参考系 简称定系 习惯上由Oxyz坐标系表示 2 把固结在相对地球作某种运动的参考体上的坐标系称为动参考系 简称动系 习惯上由坐标系表示 3 三种运动 绝对运动 相对运动 牵连运动 1 动点相对于定参考系的运动为绝对运动 2 动点相对于动参考系的运动为相对运动 3 动参考系相对于定参考系的运动为牵连运动 4 绝对速度 绝对加速度 相对速度 相对加速度 牵连速度 牵连加速度 1 动点在绝对运动中的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度 2 动点在相对运动中的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度 3 在动参考系上与动点相重合的那一点 牵连点 的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度 二 点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和 其矢量表达式为 即动点的绝对速度可由牵连速度和相对速度所构成的平行四边形的对角线来确定 三 点的加速度合成定理 1 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时 动点的绝对加速度等于其牵连加速度和相对加速度的矢量和 即 2 牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度等于其牵连加速度 相对加速度和科氏加速度的矢量和 即 其中科氏加速度 大小 特殊情况 如果 则可将相对速度顺着角速度的转向转90角 即可得到的科氏加速度指向 如的大小为 第九章刚体的平面运动 9 1刚体平面运动的概述和运动分解 1 平面运动 在运动中 刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离 这种运动称为平面运动 2 运动方程 3运动分析 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动 其中平移的速度和加速度与基点的选择有关 而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关 平面运动 随的平移 绕点的转动 平移坐标系 9 2求平面图形内各点速度的基点法 1基点法 动点 M 绝对运动 待求 牵连运动 平移 动系 平移坐标系 相对运动 绕点的圆周运动 任意A B两点 其中 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和 例9 1椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动 如图所示 AB l 求 B端的速度以及尺AB的角速度 解 1AB作平面运动 基点 A 例9 2图所示平面机构中 AB BD l 300mm 在图示位置时 BD AE 杆AB的角速度为 5rad s 求 此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度 解 1BD作平面运动 基点 B 例9 3图所示的行星轮系中 大齿轮 固定 半径为r1 行星齿轮 沿轮 只滚而不滑动 半径为r2 系杆OA角速度为 求 轮 的角速度 及其上B C两点的速度 解 1轮 作平面运动 基点 A 2速度投影定理 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等 沿AB连线方向上投影 由 例9 4图所示的平面机构中 曲柄OA长100mm 以角速度 2rad s转动 连杆AB带动摇杆CD 并拖动轮E沿水平面纯滚动 求 此瞬时点E的速度 已知 CD 3CB 图示位置时A B E三点恰在一水平线上 且CD ED 解 1AB作平面运动 基点 A 2CD作定轴转动 转动轴 C 3DE作平面运动 作业 9 4 9 6 9 3求平面图形内各点速度的瞬心法 一般情况下 在每一瞬时 平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点 称为瞬时速度中心 简称速度瞬心 1定理 基点 A 平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度 基点 C 2平面图形内各点的速度分布 3速度瞬心的确定方法 瞬时平移 瞬心在无穷远处 且不垂直于 如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑动 如图 则图形与固定面的接触点就是瞬心I 确定速度瞬心位置的方法 确定速度瞬心位置方法小结 例9 5用瞬心法求解 解 AB作平面运动 速度瞬心为点C 例9 6矿石轧碎机的活动夹板长600mm 由曲柄OE借连杆组带动 使它绕A轴摆动 如图所示 曲柄OE长100mm 角速度为10rad s 连杆组由杆BG GD和GE组成 杆BG和GD各长500mm 求 当机构在图示位置时 夹板AB的角速度 解 1杆GE作平面运动 瞬心为C1 2杆BG作平面运动 瞬心为C2 9 4用基点法求平面图形内各点的加速度 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 A 基点 Ax y 平移动参考系 例9 7如图所示 在外啮合行星齿轮机构中 系杆以匀角速度 1绕O1转动 大齿轮 固定 行星轮 半径为r 在轮 上只滚不滑 设A和B是轮缘 上的两点 点A在O1O的延长线上 而点B在垂直于O1O的半径上 求 点A和B的加速度 解 1轮 作平面运动 瞬心为C 2选基点为 求 车轮上速度瞬心的加速度 例9 8车轮沿直线滚动 已知车轮半径为R 中心O的速度为 加速度为 车轮与地面接触无相对滑动 解 1车轮作平面运动 瞬心为C 3选 为基点 9 5运动学综合应用举例 1 运动学综合应用 机构运动学分析 2 已知运动机构未知运动机构 3 连接点运动学分析 求 该瞬时杆OA的角速度与角加速度 例9 9图示平面机构 滑块B可沿杆OA滑动 杆BE与BD分别与滑块B铰接 BD杆可沿水平轨道运动 滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动 杆BE长为 图示瞬时杆OA铅直 且与杆BE夹角为 解 1杆BE作平面运动 瞬心在O点 取E为基点 沿BE方向投影 绝对运动 直线运动 BD 相对运动 直线运动 OA 牵连运动 定轴转动 轴O 动点 滑块B动系 OA杆 沿BD方向投影 沿BD方向投影 作业 9 8 9 15 9 18 9 24 动力学 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系 第10章质点动力学的基本方程第11章动量定理第12章动量矩定理第13章动能定理第14章达朗贝尔原理第15章虚位移原理 动力学的研究对象 质点和质点系 刚体是特殊质点系 动力学内容 第十章质点动力学的基本方程 10 1动力学的基本定律 第一定律 惯性定律 不受力作用的质点 将保持静止或作匀速直线运动 力的单位 牛 顿 第三定律 作用与反作用定律 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等 方向相反 沿着同一直线 且同时分别作用在这两个物体上 10 2质点的运动微分方程 1 在直角坐标轴上的投影 3 质点动力学的两类基本问题 第一类问题 已知运动求力 第二类问题 已知力求运动 混合问题 第一类与第二类问题的混合 2 在自然轴上的投影 有 由 例10 1曲柄连杆机构如图所示 曲柄OA以匀角速度转动 OA r AB l 当比较小时 以O为坐标原点 滑块B的运动方程可近似写为 如滑块的质量为m 忽略摩擦及连杆AB的质量 试求当 连杆AB所受的力 解 研究滑块 其中 有 得 这属于动力学第一类问题 当 得 求 质点的运动轨迹 例10 2质量为m的质点带有电荷e 以速度v0进入强度按E Acoskt变化的均匀电场中 初速度方向与电场强度垂直 如图所示 质点在电场中受力作用 已知常数A k 忽略质点的重力 试求质点的运动轨迹 已知 求 质点的运动轨迹 已知 解 由 积分 得运动方程 消去t 得轨迹方程 这是第二类基本问题 求 质点的运动轨迹 已知 例10 3一圆锥摆 如图所示 质量m 0 1kg的小球系于长l 0 3m的绳上 绳的另一端系在固定点O 并与铅直线成角 如小球在水平面内作匀速圆周运动 求小球的速度v与绳的张力 已知 求 已知 求 这是混合问题 其中 解得 已知 匀速转动时小球掉下 求 转速n 例10 4粉碎机滚筒半径为 绕通过中心的水平轴匀速转动 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升 为了使小球获得粉碎矿石的能量 铁球应在时才掉下来 求滚筒每分钟的转数n 解 研究铁球 已知 匀速转动 时小球掉下 求 转速n 第十一章动量定理 即 11 1动量与冲量 1 动量 单位 质点系的动量 质心 质点的动量 单位 N s 2 冲量 常力的冲量 变力的元冲量 在 内的冲量 11 2动量定理 1 质点的动量定理 或 称为质点动量定理的微分形式 即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量 在 内 速度由 有 称为质点动量定理的积分形式 即在某一时间间隔内 质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量 2 质点系的动量定理 外力 内力 内力性质 1 2 3 质点 质点系 得 或 称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和 称为质点系动量定理的积分形式 即在某一时间间隔内 质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和 动量定理微分形式的投影式 动量定理积分形式的投影式 3 质点系动量守恒定律 若 则 恒矢量 若 则 恒量 例11 1电动机外壳固定在水平基础上 定子和外壳的质量为 转子质量为 定子和机壳质心 转子质心 角速度为常量 求基础的水平及铅直约束力 得 解 由 方向 动约束力 静约束力 附加动约束力 本题的附加动约束力为 方向 电机不转时 称静约束力 电机转动时的约束力称动约束力 上面给出的是动约束力 11 3质心运动定理 1 质心 内力不影响质心的运动 只有外力才能改变质心的运动 2 质心运动定理 由 得 或 称为质心运动定理 即 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和 质心运动守恒定律 若 则常矢量 若 则常矢量 在直角坐标轴上的投影式为 在自然轴上的投影式为 例11 4均质曲柄AB长为r 质量为m1 假设受力偶作用以不变的角速度 转动 并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D 如图所示 滑槽 连杆 活塞总质量为m2 质心在点C 在活塞上作用一恒力F 不计摩擦及滑块B的质量 求 作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx 显然 最大水平约束力为 应用质心运动定理 解得 解 如图所示 作业 书11 4 11 6 11 7 11 11 第十二章动量矩定理 12 1质点和质点系的动量矩 1 质点的动量矩 对点O的动量矩 对z轴的动量矩 单位 kg m2 s 2 质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 等于对点O的矩 2 刚体绕定轴转动 转动惯量 即 12 2动量矩定理 1 质点的动量矩定理 设O为定点 有 其中 O为定点 投影式 因此 得 称为质点系的动量矩定理 质点系对某定点O的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和 2 质点系的动量矩定理 由于 投影式 内力不能改变质点系的动量矩 解 由 得 例12 2 已知 不计摩擦 求 1 2 O处约束力 3 绳索张力 由 得 2 由质心运动定理 3 研究 4 研究 3 动量矩守恒定律 若 则常矢量 若 则常量 求 剪断绳后 角时的 例12 3 两小球质量皆为 初始角速度 时 时 由 得 解 作业 12 2 12 3 12 4 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 主动力 约束力 即 或 或 例12 4 已知 求 解 摆动的周期 例12 5物理摆 复摆 已知求微小 解 微小摆动时 即 通解为 称角振幅 称初相位 由初始条件确定 周期 例12 6 已知 动滑动摩擦系数 求制动所需时间 解 例12 7 已知求 解 因 得 12 4刚体对轴的转动惯量 单位 kg m2 1 简单形状物体的转动惯量计算 1 均质细直杆对一端的转动惯量 由 得 2 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3 均质圆板对中心轴的转动惯量 式中 或 2 回转半径 惯性半径 或 3 平行轴定理 即 刚体对于任一轴的转动惯量 等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积 证明 因为 有 得 要求记住三个转动惯量 1 均质圆盘对盘心轴的转动惯量 2 均质细直杆对一端的转动惯量 3 均质细直杆对中心轴的转动惯量 则 4 组合法 解 解 其中 由 得 5 实验法 例 求对轴的转动惯量 将曲柄悬挂在轴O上 作微幅摆动 由 其中已知 可测得 从而求得 解 6 查表法 均质物体的转动惯量 薄壁圆筒 细直杆 体积 惯性半径 转动惯量 简图 物体的形状 薄壁空心球 空心圆柱 圆柱 圆环 圆锥体 实心球 矩形薄板 长方体 椭圆形薄板 作业 书12 9 12 11 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 1 对质心的动量矩 因 有 其中 即 质点系相对质心的动量矩 无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同 对任一点O的动量矩 2相对质心的动量矩定理 由于 即 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对质心的主矩 得 或 或 12 6刚体的平面运动微分方程 以上各组均称为刚体平面运动微分方程 应用时一般用投影式 例12 10半径为r 质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动 如图所示 设轮的惯性半径为 作用于轮的力偶矩为M 求轮心的加速度 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f 问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动 解 其中 得 纯滚动的条件 即 例12 11均质圆轮半径为r质量为m 受到轻微扰动后 在半径为R的圆弧上往复滚动 如图所示 设表面足够粗糙 使圆轮在滚动时无滑动 求 质心C的运动规律 由于 解 其解为 式中 运动方程为 得 得 由时 作业 12 14 12 16 第十三章动能定理 功是代数量 13 1力的功 常力在直线运动中的功 单位J 焦耳 1J 1N m 元功 即 变力在曲线运动中的功 记 则 力在路程上的功为 1 重力的功 质点系 由 重力的功只与始 末位置有关 与路径无关 得 003 5 swf 2 弹性力的功 弹簧刚度系数k N m 弹性力 弹性力的功为 因 式中 得 即 弹性力的功也与路径无关 3 定轴转动刚物体上作用力的功 则 若常量 由 得 从角转动到角过程中力的功为 作用在点的力的元功为 力系全部力的元功之和为 4 平面运动刚体上力系的功 其中 由两端乘dt 有 其中 为力系主失 为力系对质心的主矩 当质心由 转角由时 力系的功为 即 平面运动刚体上力系的功 等于刚体上所受各力作功的代数和 也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和 说明 1 对任何运动的刚体 上述结论都适用 2 C点不是质心 而是刚体上任意一点时 上述结论也成立 3 计算力系的主矢 主矩时 可以不包含不作功的力 13 2质点和质点系的动能 2 质点系的动能 1 质点的动能 单位 J 焦耳 1 平移刚体的动能 2 定轴转动刚体的动能 即 即 即 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和 得 速度瞬心为P 3 平面运动刚体的动能 上面结论也适用于刚体的任意运动 由于 13 3动能定理 1 质点的动能定理 因此 得 上式称为质点