2.1.2指数函数及其性质知识点及例题解析.doc

指数函数及其性质知识点及例题解析要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点二、指数函数的图象及性质：y=ax0a1时图象图象性质定义域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0时，0ax1x0时，0ax0时，ax1 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。（2）当时，；当时。当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。（3）指数函数与的图象关于轴对称。类型一、指数函数的概念例1、函数是指数函数，求的值【解析】由是指数函数，可得解得，所以关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）类型二、函数的定义域、值域例2、 求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；【解析】(1)函数的定义域为R (对一切xR，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1， ， ， ， 值域为(0，1).(2) 定义域为R， 2x0， 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为).(3) 要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.【变式1】求下列函数的定义域：(1) (2) (3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1时，；0a1，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为aa+1，所以1.8a1时，当0a1.1-0.1；(3)0.90.30.70.4.(4)【变式2】利用函数的性质比较，【答案】【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小【答案】类型六、求解有关指数不等式例6已知，则x的取值范围是_解：，函数在上是增函数，解得x的取值范围是评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论【变式1】如果（，且），求的取值范围【解析】的取值范围是：当时，；当时，类型七、换元法求最值问题、求解指数式方程例7、已知-1x2,求函数f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1x2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12；当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。例8、函数在区间上有最大值14，则a的值是_分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围解：令，则，函数可化为，其对称轴为当时，即当时，, 解得或（舍去）；当时，即， 时，解得或（舍去）；a的值是3或评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等例9、解方