多杆复合摆的运动研究.doc

具有质量的多杆复合摆运动研究宫华胜 机械茅以升班 20090873摘要：本文首先建立了双杆复合摆的拉格朗日运动方程，通过拉普拉斯变换方程求解出其运动的解析方程，运用“科学计算与模拟平台”模拟出了在摆副比较小的条件下的运动，并在此基础上推广出了更多杆的复合摆的微幅运动方程，并对三杆复合摆进行了求解模拟。关键词：多杆复合摆 欧拉-拉格朗日方程 拉普拉斯变换方程前言： 在很多多杆复合摆的研究中，大多是求解到摆角的微分方程便截止，用其它软件直接模拟，虽同样可看到良好的模拟效果，但并不能让人了解到其本质，即方程本身的变化规律。本文在前人研究的基础上，对多杆复合摆进行了更深一层的研究，求解出了每个摆随时间变化的解析解，还推广到了两个以上的复合摆的运动，并给出了运动方程及求解过程，最终得到多摆运动的解析方程，以便更好地用“科学计算与模拟平台”进行模拟。 一、双杆复合摆1、 双杆复合摆运动方程的建立双杆摆运动示意图如图一，其中每根杆的长度、质量都相等，分别为都为、，第一与第二根杆与竖直方向的夹角分别为记为和，重力加速度。杆绕O轴的转动惯量 杆动能 杆在面做平面运动，其绕质心的转动惯量 图一 双复合摆 在任意位置， 杆质心坐标 ， 动能为 重力势能为 则系统的总动能为 由于双摆为在平衡位置的微幅振动，故可以考虑。杆的质心坐标为 ，重力势能为则系统的重力势能为 综上可得双摆系统的拉格朗日函数为 则可求得 , , 由拉格朗日方程 得 -（1）同理，对于可求得 -（2）2、 双杆复合摆运动方程的求解 本文采用拉普拉斯积分变换来求解和的具体解析式，可设和拉氏变换为和，并且由于本文研究的是多杆复合摆的微振动下的运动，但是为了更好的模拟及展示其运动过程，在此将其运动摆角放大，虽然摆角放大，但是在模拟环境下摆仍然会按照微幅摆动的运动规律运动。所以，规定初始值为 ， ； ， 令，则将初始值和变换公式带入（1）、（2）式中得，求解可得：和分别有四个一级极点且分别相等，为 ， ， ，则再由拉普拉斯逆变换 其中，是的留数 ，为其一级级数， 为一级级数，为第个级数。从而可以得到， 即+ + +综上可得初始值为 ， ； ， 时的和关于时间的解析式： 同样，若规定不同的初始值，会得到不同的和。模拟效果如图： ， ； ， 图二 双复合摆DTP模拟二、多杆复合摆运动1、多杆复合摆方程的建立多杆系统的总动能： 总势能： 同样，可得拉格朗日函数：且由带入拉格朗日方程中，可得个摆关于与竖直方向的夹角的微分方程组：其中，,为常矩阵，2、多杆复合摆运动方程的求解首先规定初始值，的初始值为，的初始值为，其中，则可以得到拉普拉斯变换 其中，将拉普拉斯变换式带入微分方程中可得普拉斯变换方程组： 由此可求得在相应的初值下的普拉斯变换方程组的一个特解：我们可以经过处理使每个特解的分母相同，故他们具有相同的一级极点，设为并且按顺序，相邻的奇偶数极点的模相等。再将所得到的特解经过拉普拉斯逆变换 ： 于是，最终可求得每个摆角关于时间的具体解析方程，便可以直接用“科学计算与模拟平台”进行模拟。在此，当，初始值为 ， ； ， ； ， 时，对三杆复合摆的微幅运动进行了求解模拟，求得的各摆角拉普拉斯变换为：其中，一级极点为，由拉普拉斯逆变换可得各摆角关于时间的解析解： + + + +模拟效果如图： ， ； ， ； ， 图三 三杆复合摆DTP模拟 三、结论 本文建立了多杆复合摆的在平衡位置做微振动的运动方程，用拉格朗日函数法和拉普拉斯积分变换法求解出了每个摆的运动解析方程，并通过“科学计算与模拟平台”进行了模拟，取得很好的效果；同时，本文还给出了两杆以上的复合摆的运动方程和求解过程，具有很大的推广意义。参考文献：1 振动理论与工程应用 李惠彬 编著. -北京理工大学出版社，2006.92 期刊论文 新型混沌振动发生机构开发与研究 张伯俊 石传龙 程卿 魏键 -天津职业技术师范学院学报 2000,10(4)3 期刊论文 基于Matlab软件的双摆系统混