分式的乘除法.doc

分式的乘除法 一、学习要求(一)分式的有关概念1理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式2掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零3学会用运动、变化的观点分析问题(二)分式的基本性质1理解分式的基本性质，并会运用它将分式进行恒等变形2理解和掌握分式变形中的符号法则3明确分式约分、通分的概念和理论依据，掌握约分的方法4注意分式约分时分子或分母中的因式的符号变化；会确定几个分式的最简公分母(三)分式的乘除、乘方运算1使学生掌握分式乘除法的法则，并能灵活运用法则进行分式的乘除计算2使学生理解和掌握分式乘方的法则，能进行分式乘方运算和分式的乘除混合运算二、知识归纳(一)分式的概念1. 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母对于任意一个分式，分母都不能为零2对于分式的概念，要注意以下四点：(1)分式表示两个整式相除的商式；(2)分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；(3)判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断(4)分式有无意义的条件：在分式中， 当B0时，分式有意义；当分式有意义时，B0 当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0 当B0且A=0时，分式的值为零(二)分式的基本性质1分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为：，其中A、B、C是整式且BC0。注意：因为C是一个含有字母的代数式，其取值是任意实数，所以C就有等于0的可能性因此运用分式的基本性质时，要考查C的值是否为02分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即3通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做通分通分的关键是确定几个分式的公分母系数取几个分母的系数的最小公倍数，因式的次数取相同因式的最高次数4约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做约分约分的关键是确定分子与分母的公因式系数取分子、分母系数的最大公约数，因式的次数取分子、分母中相同因式的最低次数进行约分时，应注意以下几点：(1)当分式的分子与分母都是单项式时，可直接约分(2)当分式的分子与分母有多项式时，先进行因式分解，再进行约分(3)当分式的分子或分母的系数有负数时，可利用分式的基本性质，最多只让分式的前面出现符号(4)约分的结果应化为最简分式(三)分式的乘除与乘方运算1 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母用式子表示为2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 用式子表示为3. 乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示为4运算技巧：(1)进行分式的乘除、乘方运算时，分子、分母能约分的要先约分，便于计算(2)运算过程中，最好一步确定结果的符号，将单项式因式中的字母按26个英文字母的顺序排列，多项式的因式按某个字母的降幂顺序排列(3)运算的结果如能约分要约分，化为最简分式三、学习指导(一)学习分式概念时由于对概念理解不深不透，常常出现以下几种错误：1对字母认识不足造成的错误例1判断是不是分式?错解：因为中的分母含有字母，所以是分式解析：所谓字母是指用来表示数的(变量)字母，它的取值具有一般性，而是一个特定的数(常量)，具有特殊性因此，不是分式，而是整式2错误约分造成的错误例2判断是不是分式?错解：因为，而x是整式，所以不是分式解析：判定一个代数式是不是分式应在没有作任何变形的情况下对照、根据定义进行判定，不能化简后再判断由于符合分式的定义，所以是分式例3. 若分式无意义，求x的值.错解：约分，得，由分母x-3=0，解得x=3解析：当x=3时，分式无意义没错，但当x=-2时，分式的分母也是0，此时分式仍然没有意义，因此，漏掉了x=-2，造成漏解的原因是错误的约分3忽视分母不能为零而造成的错误例4当x为何值时，分式些的值为零?错解：由分子|x|-5=0，得x=5，故当x=5时，分式的值等于0解析：当x=5时，分母x2-6x+5=25-30+5=0，分式没有意义，而没有意义的分式就不可能再有为0的值了故x5；而当x=-5时，分母x2-6x+5=25+30+5=600故只有当x=-5时，分式的值为0可见，解答分式的值为零的问题时，一定要同时考虑分母的值不为0，再考虑分母的值为04错用“或”与“且”造成的错误例5要使分式有意义，x应满足的条件是( )Ax3： B x-1； Cx3或x-1；Dx3且x-1错解：由分母x2-2x-30，解得x3，x-1，故选C解析：“或”是选择关系，在A或B中，只要A、B有一个成立即可“且”是并列关系，在A且B中，不仅要求A成立，而且要求B也要成立在本题中，要使分母x2-2x-3不等于0，不仅x3，而且x-1，因此，应使用“且”字，故选D(二)在运用分式的基本性质和乘除运算时应注意以下几个方面的错误：1符号错误例6不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项的符号为正错解：解析：此题错误的原因是仅把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号正确的应该是：2运算顺序错误例7计算：错解：原式解析：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右正确的应该是：原式3错用分式基本性质例8不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数错解：原式解析：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以2，分母乘以3，分式的值改变了正确的应该是：原式4约分中的错误例9约分：错解：原式解析：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式正确的应该是：原式5结果不是最简分式例10计算：错解：原式解析：分式运算的结果必须化为最简分式，而上式的结果中分子、分母还有公因式，必须再化简正确的应该是：原式四、例题分析(一)分式的相关概念例1. x为什么值时，下列分式有意义？(1) (2) (3)解析：分母不等于零时，分式有意义。(1)由分母2x-90，解得有意义。(2)由分母x2-40，解得x2且x-2，所以当x2且x-2时，分式有意义。(3)因为分母x2+1不论x为什么值，它都大于零，所以x为全体实数时，分式都有意义。例2. x为什么值时，下列分式无意义？(1) (2) (3) (4)解析：分母等于零时，分式无意义。(1)由分母9+2x=0，解得，所以当时，分式无意义。(2)由分母，所以当x=81时，分式无意义。(3)由分母x2-9=0，解得x=3，所以当x=3时，分式无意义。(4)由分母|x-1|-2=0，解得x=3或x=-1，所以当x=3或x=-1时，分式无意义。例3. x取什么值时，下列分式的值等于零？(1) (2) (3)解析：分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零。(1)依题意，有x+10且|3x|-3=0，解得x=1，所以当x=1时，分式的值等于零。(2)由分子x2-4=0，解得x=2，当x=2时，分母x2-5x+6=22-52+6=0，分式无意义，因此x2；而当x=-2时，分母不为0，分式有意义，所以当x=-2时，分式的值为零。(3)由分子x-2=0，解得x=2，而当x=2时，分母2x-4=0，分式无意义，所以无论取什么数，分式的值都不为零。事实上，只要分式有意义，即x2时，分式(二)根据所给条件求分式的值例4. 若实数a、b满足：的值为_分析：本题可有两种解法，解法1：根据分式的基本性质，把求值式的分子和分母分别除以ab，再进行适当的变形，使之出现条件式，把条件式整体代入即可得解：解法2：对条件式进行变形，可得a2+b2=2ab，整体代入求值式即可。解法1：由 解法2：由 例5. 已知的值。解：设例6. 已知的值。分析：由已知条件取倒数可得的值，把求值式取倒数化成的代数式，进而求值。解：将已知条件的两边分别取倒数，得(1)+(2)+(3)，得把求值式取倒数，得(三)探索开放题例1. (1)已知x2-3x+1=0，求的值。 (2)若的值。分析：(1)中的两项恰有对称性，且互为相反数，由此联想到完全平方公式即 ，从而求得：(2)，只要求出的值，然后求倒数即可。解：(1)x2-3x+1=0，又x0，两边同除以x，得(2)解法一：由，两边平方，得又解法二：由，两边平方，得将所求分式的分子、分母都除以x2，得说明：求代数式的值的问题方法很多，要求同学们在解题中不断地归纳总结，