《动能定理wy》PPT课件.ppt

理论力学 2 13 动能定理 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同 动能定理用能量法研究动力学问题 能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用 而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁 动能定理建立了与运动有关的物理量 动能和作用力的物理量 功之间的联系 这是一种能量传递的规律 不同于动量定理和动量矩定理 动能定理是标量形式 3 物体的动能是由于物体运动而具有的能量 是机械运动强弱的又一种度量 瞬时量 与速度方向无关的正标量 单位是J 柯尼希定理 对于任一质点系 为第i个质点相对质心C的速度 二 质点系的动能 13 动能定理 动能的计算 一 质点的动能 4 P为速度瞬心 1 平动刚体2 定轴转动刚体3 平面运动刚体 三 刚体的动能 13 动能定理 动能的计算 5 1 匀质杆 质量为m 长L 以角速度 绕O轴转动 动量 动量矩 动能 求解 13 动能定理 动能的计算 6 2 质量为m 半径为R的匀质圆盘 绕过质心且垂直于图面的O轴转动 动量 动量矩 动能 13 动能定理 动能的计算 7 P mvc mR 方向垂直OC 指向右方 注 这里求Jo时应用了平行轴定理 动量矩 动能 圆盘绕O轴转动 动量 13 动能定理 动能的计算 8 动量 动量矩 动能 轮做平面运动 纯滚动 13 动能定理 动能的计算 9 题 椭圆规由匀质的曲柄OA 规尺BD以及滑块B和D组成 如图所示 已知 规尺BD长2L 质量是2m1 两滑块的质量是m2 曲柄OA长L 质量是m1 曲柄以角速度 绕定轴O转动 例二 13 动能定理 动能的计算 10 1 曲柄作定轴转动 动能 13 动能定理 动能的计算 11 即BD杆角速度与OA角速度相同 13 动能定理 动能的计算 12 那么 滑块B D及杆BD的动能为 13 动能定理 动能的计算 13 长为l 重为P的均质杆OA由球铰链O固定 并以等角速度w绕铅直线转动 如图所示 如杆与铅直线的交角为a 求杆的动能 杆OA的动能是 例三 13 动能定理 动能的计算 14 力的功是力沿路程累积效应的度量 在一无限小位移中力所做的功称为元功 力的功是代数量 在国际单位制中 其单位为焦耳 13 动能定理 常见力的功 思考 dA dA 什么情况下会等 15 力在全路程上作的功为元功之和 即 则力从M1到M2过程作的功为 13 动能定理 常见力的功 16 即在任一路程上 合力的功等于各分力功的代数和 合力的功质点M受n个力作用 合力 则合力的功 13 动能定理 常见力的功 17 1 重力的功 对质点系 重力功为 质点系重力的功 等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积 而与各质点的路径无关 重力投影 13 动能定理 常见力的功 18 弹簧原长l0 在弹性极限内k 弹簧的刚度系数 表示使弹簧发生单位变形时所需的力 2 弹性力的功 13 动能定理 常见力的功 19 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关 而与质点运动的路径无关 13 动能定理 常见力的功 20 设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力 计算刚体转过一角度 时力所作的功 M点轨迹已知 3 作用于转动刚体上的力的功 力偶的功 13 动能定理 常见力的功 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功 21 若M 常量 则 注意 功的符号的确定 如果作用力偶M 且力偶的作用面垂直转轴 则 13 动能定理 常见力的功 22 4 作用于平面运动刚体上的力的功 力偶的功 13 动能定理 常见力的功 23 1 动滑动摩擦力的功 FN 常量时 W f FNS 与质点的路径有关 13 动能定理 常见力的功 5 摩擦力的功 24 正压力 摩擦力作用于瞬心C处 而瞬心的元位移 2 圆轮沿固定面作纯滚动时 滑动摩擦力的功 13 动能定理 常见力的功 25 6 质点系内力的功 只要A B两点间距离保持不变 内力的元功和就等于零 不变质点系的内力功之和等于零 13 动能定理 常见力的功 思考 对于运动的刚体 其上各质点之间内力的元功之和是多少 26 1 光滑固定面约束 2 固定铰支座 可动铰支座和向心轴承 7 理想约束反力的功 13 动能定理 常见力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束 27 3 刚体沿固定面作纯滚动4 联接刚体的光滑铰链 中间铰 13 动能定理 常见力的功 28 1 质点的动能定理 动能定理的积分形式 两边点乘以 有 13 动能定理 动能定理 29 质点系动能定理的微分形式 2 质点系的动能定理 13 动能定理 动能定理 式中T2 表示质点系终了位置的动能 T1 表示质点系起始位置的动能 W12 表示在此过程中所有力的功的总和 导数形式 30 质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的力在相应路程中所作功的和 在理想约束的条件下 质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的主动力在相应路程中所作功的和 13 动能定理 动能定理 几点注意 积分形式表示 质点系由起始位置运动到终了位置 质点系动能的变化等于作用在质点系上的所有力 主动力 约束力 内力 外力 在此过程中的功的总和 微分形式 一般用于理论推导 积分形式 常用来求速度 角速度 位移等 导数形式 常用来求加速度 角加速度等 31 一 功率 力在单位时间内所作的功 它是衡量机器工作能力的一个重要指标 功率是代数量 并有瞬时性 作用力的功率 力矩的功率 功率的单位 瓦特 W 千瓦 kW W J s 13 动能定理 动能定理 32 由的两边同除以dt得 分析 起动阶段 加速 即制动阶段 减速 即稳定阶段 匀速 即 二 功率方程 13 动能定理 动能定理 33 机器稳定运行时 机械效率 是评定机器质量优劣的重要指标之一 一般情况下 三 机械效率 有效功率 有用功率与系统动能变化率dT dt之和 与输入功率之比称为机械效率 13 动能定理 动能定理 34 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示 OA杆质量是AB杆质量的两倍 各处摩擦不计 如机构在图示位置从静止释放 求当OA杆转到铅垂位置时 AB杆B端的速度 解 取整个系统为研究对象 13 动能定理 动能定理 例一 AB杆运动 35 13 动能定理 动能定理 36 卷扬机如图所示 鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉 已知鼓轮的半径为R1 质量为m1 质量分布在轮缘上 圆柱的半径为R2 质量为m1 质量均匀分布 设斜坡的倾角为 圆柱只滚不滑 系统从静止开始运动 求圆柱中心C经过路程s时的速度 13 动能定理 动能定理 例二 37 解 圆柱和鼓轮一起组成质点系 作用于该质点系的外力有 重力m1g和m2g 外力偶M 水平轴支反力FOx和FOy 斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs 应用动能定理进行求解 先计算力的功 13 动能定理 动能定理 38 因为点O没有位移 力FOx FOy和m1g所作的功等于零 圆柱沿斜面只滚不滑 边缘上任一点与地面只作瞬时接触 因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功 此系统只受理想约束 且内力作功为零 13 动能定理 动能定理 主动力所作的功计算如下 39 质点系的动能计算如下 式中J1 JC分别为鼓轮对于中心轴O 圆柱对于过质心C的轴的转动惯量 w1和w2分别为鼓轮和圆柱的角速度 即 13 动能定理 动能定理 40 由动能定理得 以代入 解得 于是 13 动能定理 动能定理 41 动力学普遍定理综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理 动量矩定理和动能定理 动量定理和动量矩定理是矢量形式 动能定理是标量形式 他们都可应用研究机械运动 而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法 动力学普遍定理的综合应用 大体上包括两方面的含义 一是能根据问题的已知条件和待求量 选择适当的定理求解 包括各种守恒情况的判断 相应守恒定理的应用 避开那些无关的未知量 直接求得需求的结果 二是对比较复杂的问题 能根据需要选用两 三个定理联合求解 13 动能定理 求解过程中 要正确进行运动分析 提供正确的运动学补充方程 42 物体A B 质量分别为mA mB 用弹簧相连 放在光滑水平面上 弹簧原长为l0 刚度系数为k 现将弹簧拉长到l后无初速释放 求当弹簧恢复原长时物体A B的速度 弹簧质量不计 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 例一 43 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 44 由质点系动量定理得 联立解之得 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 45 重150N的均质圆盘与重60N 长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接 系统由图示位置无初速地释放 求系统经过最低位置B 点时的速度及支座A的约束反力 解 1 取圆盘为研究对象 圆盘平动 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 例二 46 2 用动能定理求速度 取系统为研究对象 初始时T1 0 最低位置时 代入数据 得 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 47 3 用动量矩定理求杆的角加速度a 盘质心加速度 杆质心C的加速度 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 48 4 由质心运动定理求支座反力 以整个系统为研究对象 代入数据 得 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 49 本题应用了相对质心动量矩守恒定理 动能定理 动量矩定理 质心运动定理 比较复杂 请大家仔细分析求解过程中所应用的定理 可用对积分形式的动能定理求导计算a 但要注意需取杆AB在一般位置进行分析 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 50 解 取杆为研究对象 均质杆OA 重P 长l 如图所示 当绳子突然剪断的瞬时 求杆的角加速度及轴承O处的约束反力 由动量矩定理 例三 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 51 由质心运动定理 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 52 题 均质细杆长为l 质量为m 静止直立于光滑水平面上 当杆受微小干扰而倒下时 求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 例四 53 解 由于地面光滑 直杆沿水平方向不受力 倒下过程中质心将铅直下落 设杆左滑于任一角度 如图所示 p为杆的速度瞬心 由运动学知 杆的角速度与质心C的速度之间关系为 任意位置杆的动能为 初始动能为零 vC 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 54 由动能定理 即 此过程中只有重力作功 解出 思考 倒地瞬时A点的速度 当杆完全倒地此时 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 55 即 杆刚达到地面瞬时 由刚体平面运动微分方程 得 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 56 加速度矢量如图所示 点A的加速度为水平 由质心运动水平守恒知 应为铅垂 由运动学知 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 沿铅垂方向投影 得 57 代入动力学方程 解得 思考 本题应用了几个定理 本题难点是什么 如何求 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 58 例五 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 已知 一圆环以角速度 0绕铅垂轴O1O2自由转动 圆环的半径为R 对转轴的转动惯量为J 在圆环内的A点放一质量为m的小球 圆环内光滑 由于微小干扰 小球离开A点 求 当小球分别到达B点和C点时 圆环的角速度和小球的速度 59 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 60 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 61 说明 本例应用了 动量矩守恒定律 和 系统动能定理 使问题得到全部解决 请注意动量矩的计算与动能的计算 3 小球从A C 总功 W 2mgR 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 62 例六 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 已知 匀质杆长30 cm 重98 N 弹簧的刚性系数为4 9 N m 原长为20 cm 开始时杆置于水平位置 然后将其无初速释放 由于弹簧作用 杆绕O轴转动 OO1 40 cm 求 当杆转到铅垂位置时杆的角速度和轴承O处的反力 63 解 取研究对象 杆OA受力分析如图 1 求杆在铅垂位置的角速度 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 64 总功为 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 65 因此可得 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 66 再应用质心运动定理 有 其中弹簧力 可解出 思考 本题应用了几个定理 在x y轴方向投影 动力学普遍定理综合应用 13 动能定理 67 1 动能定理建立的是动能的变化与作用力的功之间的关系 动能定理不同于动量定理和动量矩定理 首先它是标量方程式 因此应用时不必定坐标 只要注意功的正负问题 由于动能总是正值 计算质点系的动能时只须将质点系中各质点及刚体的动能求算术和 其次在分析力的功时 不仅要分析外力的功 而且要注意内力的功 因为内力之功的和不一定等于零 对于一般常见力 如重力 弹性力 万有引力 摩擦力及力偶等 的功的计算要熟练掌握 本章小结 13 动能定理 68 2 同时要理解对刚体而言其内力的功的总和恒为零 对理想约束情况 约束力作功之和亦等于零 在此特别指出 轮子作纯滚动时 静滑动摩擦力的功等于零 因为接触点无相对滑动 计算质点系的动能 主要是掌握刚体平动 定轴转动与平面运动时动能的计算公式 对于一些较为复杂的运动 其动能可以利用柯尼