（试题 试卷 真题）暑期专题辅导材料四

暑期专题辅导材料四 一、教学进度 复 数复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8-10，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能简化运算的意识也应进一步加强二、学习指导 （一）复数的有关概念 （1）正确复数的实部与虚部对于复数 ，实部是 ，虚部是 注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：注意分清复数分类中的界限：设 ，则 为实数 为虚数 且 。 为纯虚数 且 （3）不能乱用复数相等的条件解题用复数相等的条件要注意：化为复数的标准形式 实部、虚部中的字母为实数，即 （4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定这就是说，复数的实质是有序实数对一些书上就是把实数对( )叫做复数的复数 用复平面内的点Z( )表示复平面内的点Z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 由于 =01 ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数但当 时， 是实数所以，纵轴去掉原点后称为虚轴由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点复数z=abi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写要学生注意（5）关于共轭复数的概念设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和5也是互为共轭复数当 时， 与 互为共轭虚数可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行（6）复数能否比较大小教材指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：(i)对于任意两个实数a， b来说，ab， a=b， ba这三种情形有且仅有一种成立；(ii)如果ab，bc，那么ac；(iii)如果ab，那么acbc；(iv)如果ab，c0，那么acbc（二）复数的向量表示：在复平面内以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ，由点Z（a，b）唯一确定因此 复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应常把复数z=a+bi说成点Z（a，b）或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数1、复数的模向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|Z|或|a+bi|Z|=|a+bi|=a+b 例 求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小解：|Z1|2=32+42=25 |Z2|2=（-1）2+22=5 |Z1|Z2|2、复数模的几何意义复数Z=a+bi，当b=0时zR |Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z（a，b）到原点的距离三、复数加法与减法复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，复数减法法则（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法则：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， R）把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推导这个法则（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）（ + i）=（ ）+（ ）i复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应四、复数的乘法与除法复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把 换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有：， ， ；三、典型例题例1 用复数表示下图中各题的阴影部分解：设复数 ，则：（1） （2） 且 （3） ，且 且 （4） ，且 例2 设 ， ， 若全集 ， ，那么 中所有 在复平面上对应的点的集合是什么图形？分析：解决复数在复平面上对应的几何图形问题，要熟练掌握两点：复数 在复平面上对应点Z（ ）； 的几何含意为 在复平面上对应点Z与原点的距离本题关键是求出 的取值范围，就可确定 在复平面上的图形解：由已知： ； ， 在复平面上对应的点Z的集合应是与原点距离大于1而不大于3的所有点 中的所有 在复平面上对应的点的集合是以原点为圆心，以1和3为半径的圆所夹的圆环，但不包括小圆的边界（如右图）例3 已知 ，求复数Z分析1：设 转化为实数问题解：设 ，依题意得 即 根据复数相等条件是 解得： 分析2：从已知条件中直接求出 ，进而求出 解：由已知可得 ，等式两边取模得 两边平方得 把 代入原方程可得 例4 设复数满足 ，求 的最大值和最小值。分析：仔细地观察、分析等式 ，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若 ，则 ，因此已知等式可化为 解：由已知等式得 即 ，它表示的以点P（4，3）为圆心，半径 的圆面。如图可知 时， 有最大值 ； 时 有最小值 小结：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解。例5 复数 ， ， ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。分析1：利用 或者 求点D对应的复数。解法1：设复数 ， ， 所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为 （ ）则 解得 故点D对应的复数 分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解解法2：设复数 ， ， 所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为 （ ）因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心 点O也是B与D点的中点，于是由 故D对应的复数为 例6 已知 ， （ ）分别对应向量 ， （O为原点），若向量 对应的复数为纯虚数，求 的值。分析： 对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出 对应的复数，再利用复数为纯虚数的条件求解即得。解：设向量 对应复数 为纯虚数， 即 例7 ，求 对应的点的轨迹方程解： ，则 又 ，故有 对应点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆小结：由减法的几何意义知 表示复平面上两点 ， 间的距离当 ，表示复数 对应的点的轨迹是以 对应的点为圆心，半径为 的圆当 ，表示以复数 ， 的对应点为端点的线段的垂直平分线当 （ ），则表示以复数 ， 的对应点为焦点的椭圆当 （ ），则表示以复数 ， 的对应点为焦点的双曲线 例8计算 。 解法1：原式 解法2：原式 小结：一定要熟记 ， ， ， 等。例9 复数 等于（ ）A B C D 分析： 可利用 与 形式非常接近，可考虑 ，利用 的性质去简化计算解： 应选B注意：要记住1的立方根，1， ， ，以及它们的性质，对解答有关问题非常有益例10 求 分析1：可将复数式进行乘、除运算化为最简形式，才取模解法1：原式 分析2：积或商的模可利用模的性质 ， （ ）进行运算解法2：原式 小结：比较解法1和解法2，可以看到后一种解法好解此类问题应选用后种解法例11 已知 是纯虚数，求 在复平面内对应点的轨迹分析：利用Z为纯虚数 来解解： 是纯虚数， （且 ， ） ， 设 （ ）则 （ ） 的对应点的轨迹以（ ，0）为圆心， 为半径的圆，并去掉点（0，0）和点（1，0）例12 若 ， ，试求 解： ， 又知 ， 设 （ ），则 ， 即 ，由复数相等定义 解得 故 小结：下面这些共轭复数运算式，对于解答有关共轭复数问题十分重要，应掌握好设 （ ）的共轭复数为 ，则： ； ； ； ； ； ； （ ）； （ ）例13 （1）已知 ， ，求证： （2）已知 ， ，且 求证： ， 中至少有一个是1证明：（1） （2） ， 即 变形为 ， 或 ，可得 ，或 ， ， 中至少有一个是1巩固练习 求z0+z1+z2+zn1的值2已知：z1，z2为非零复数，且|z1+z2|=|z1z2|A、B是否可以比较大小？若可以比较，试说明大小关系4设z=x+yi（x、yR），且|z|=1，求证zA1当z1A1，z2A2时，求|z1z2|的最大值与最小值7已知、为实系数二次方程ax2+bx+c=0的两根，为虚数，8已知x，y，s，t都是实数，且x+yi=（s+ti）n求证 x2+y2=（s2+t2）n（nN）9已知关于x的实系数方程z22pz+q=0（p0）的两虚根z1，z2在复平面内的对应点为F1、F2，求以F1、F2为两焦点，且经过原点的椭圆的普通方程（1）|z1+A|z2+A|=|A|2；11设sin+sin+sin=cos+cos+cos=0，求证：cos3+cos3+cos3=3cos（+）；sin3+sin3+sin3=3sin（+）取值范围13设a0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a（1）若|z|=1；（2）若|z|=r（r0，r1）；（3）若|z|0，且argz=15复平面内的两点A、B分别对应复数、，并且|2+i|=1，+（1+i）=0求AOB面积的最大值和最小值 练习参考答案或提示1复数z0，z1，z2，zn1的对应点均匀分布在以原点为圆 的合力为0又B=|z1|2+|z2|2R，故A与B可以比较大小=|z1z2|20， BA4 |z|=1，x2+y2=1，|x|+|y|1 y=|x+2i|+|（4x）+i|x+2i+4xi|=|4+3i|=5，当且仅当x+2i=k（4x+i）（k0）时，等号成立6A1=z|z+3i|=2，zC，它表示以O1（0，3）为圆心、2为半径的圆，A2=w|w6|=4，C，它表示以O2（6，0）为圆心、4为半径的圆8x2+y2=|x+yi|2=|（s+ti）n|2=|s+ti|2n=（|s+ti|2）n=（s2+t2）n9设z1=a+bi（a，bR），则z2=abi因此z1+z2=2a=2p，z1z2=a2+b2=q两边取模，即得|z1+A|z2+A|=|A|211从已知等式，联想到单位圆上三点A、B、C对应的复数为z1=cos+isin，z2=cos+isin，z3=cos+isin，可知ABC的重心坐标为因此重心与外心重合，推知ABC为等边三角形，所以 +=3+2=3=32从而有cos（+）=cos3=cos3=cos3，sin（+）=sin3=sin3=sin3 cos3+cos3+