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文档简介
用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径 不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教. 根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分. 常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等. 对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和,再证不等式;若不能或甚难求和,则可考虑使用放缩法证明不等式.而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论:途径1:放缩为类.例1.求证:证明:注1:此题若放缩为,则可证明.注2:此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“裂项法”求和的新数列,下面的几个例子并不一定是放缩为. 此类型的特征是:通项的结构常与正整数的幂有关.同类不等式还有: (从第三项起放缩为:=) 注3:若第三项放缩为,则可证明. (从第三项起放缩为) (n1) (从第二项起放缩为:,再累加可得) (n1)(从第一项起放缩为:,再累加得:左式1) (从第二项起放缩为: =,再累加得:左边-1时有:;求证:.证明:由导数易证,略.由的结论:取从而有:,从而原不等式成立.途径4:增大(减小)分子(分母 )或被开方数放缩类.例5.求证: 证明: 例6.求证:证明:+得:原不等式成立. 注:此类型的放缩手法常见的有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数等.此类型的特征是:通项的结构常与正整数的分式、根式有关.同类不等式还有:2()1+2(从第一项起放缩为:2(,再累加可得) (由累加可得)途径5:利用二项式定理放缩类.例7.求证:(1+)(1+)(1+)(1+)证明一:原式(1+)(1+)(1+)(1+)2n+1(1+)=1+1+(1+)(1+)(1+)(1+) =2n+1原不等式成立.注1:证明二,证明三分别见例9,例10. 也可用对偶式进行放缩:设A=,B=显然AB,AAB=2n+1例8.求证:2(1+3 (n1)证明:=C+C+CC+C=2 =C+C+C=1+1+ 1+1+2+ =3-3 注2:此类型的特征是:不等式的结构常与二项式有关.同类不等式还有:22n+2 (n3);2 (n2);3(n+2)2 (n1)(1+)(1+)(1+)(1+) (n1)(从第一项起放缩为:)n(n+1) (n3)()(1+(1+ (n1)法一:(=)(法二见途径6练习)途径6:利用均值不等式放缩类.例9.求证:(1+)(1+)(1+)(1+) (前面例7之证明二)证明二:左边= 右边同类不等式还有:(从第一项起放缩为:,再累加) (左右边)(1+(1+ (n1)((1+=)途径7:利用数列单调性放缩类. 这是证明数列不等式的一大类方法,即构造一个新的数列,通过判断其单调性来证明不等式,很多有关数列的不等式都可以用此法进行证明.常见的构造方法是作差或作商.例10.求证:(1+)(1+)(1+)(1+) (前面例7之证明三)证明三:设 则 从而,所以原不等式成立.注:此例中的不等式是“积性的”,从而在构造新数列时作的是商;如果不等式是和性的,则应考虑作差.
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