用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径.doc

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径 不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教. 根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分. 常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等. 对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式.而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论:途径1:放缩为类.例1.求证：证明：注1：此题若放缩为,则可证明.注2：此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“裂项法”求和的新数列，下面的几个例子并不一定是放缩为. 此类型的特征是：通项的结构常与正整数的幂有关.同类不等式还有： （从第三项起放缩为：=） 注3：若第三项放缩为，则可证明. （从第三项起放缩为） (n1) (从第二项起放缩为：，再累加可得) (n1)（从第一项起放缩为：，再累加得：左式1) (从第二项起放缩为： =，再累加得：左边-1时有：；求证：.证明：由导数易证，略.由的结论：取从而有：，从而原不等式成立.途径4:增大（减小）分子（分母 ）或被开方数放缩类.例5.求证： 证明： 例6.求证：证明：+得：原不等式成立. 注：此类型的放缩手法常见的有：增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数等.此类型的特征是：通项的结构常与正整数的分式、根式有关.同类不等式还有：2()1+2(从第一项起放缩为：2(,再累加可得) (由累加可得)途径5:利用二项式定理放缩类.例7.求证：（1+）（1+）（1+）（1+）证明一：原式（1+）（1+）（1+）（1+）2n+1（1+）=1+1+（1+）（1+）（1+）（1+） =2n+1原不等式成立.注1：证明二,证明三分别见例9,例10. 也可用对偶式进行放缩：设A=,B=显然AB,AAB=2n+1例8.求证：2（1+3 (n1)证明：=C+C+CC+C=2 =C+C+C=1+1+ 1+1+2+ =3-3 注2：此类型的特征是：不等式的结构常与二项式有关.同类不等式还有：22n+2 (n3);2 (n2);3(n+2)2 (n1)（1+）（1+）（1+）（1+） (n1)(从第一项起放缩为:)n(n+1) (n3)（）(1+(1+ (n1)法一：(=)（法二见途径6练习）途径6:利用均值不等式放缩类.例9.求证：（1+）（1+）（1+）（1+） (前面例7之证明二)证明二:左边= 右边同类不等式还有:(从第一项起放缩为:,再累加) (左右边)(1+(1+ (n1)（(1+=）途径7:利用数列单调性放缩类. 这是证明数列不等式的一大类方法,即构造一个新的数列,通过判断其单调性来证明不等式,很多有关数列的不等式都可以用此法进行证明.常见的构造方法是作差或作商.例10.求证：（1+）（1+）（1+）（1+） (前面例7之证明三)证明三:设 则 从而,所以原不等式成立.注:此例中的不等式是“积性的”,从而在构造新数列时作的是商;如果不等式是和性的,则应考虑作差.