高等数学2知识点总复习.ppt

高等数学总复习 知识点1 数量积 向量积 夹角余弦 知识点1 数量积 向量积 夹角余弦 解 解 知识点2 平面及其方程 三种形式 平面的点法式方程 平面的一般方程 平面的截距式方程 两平面夹角余弦公式 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 向量平行的充要条件 解 化简得 所求平面方程为 知识点3 空间直线及其方程 空间直线的一般方程 直线的参数方程 直线的对称式方程 两直线的夹角公式 平面 垂直 平行 夹角公式 直线 机动目录上页下页返回结束 知识点3 空间直线及面线间的关系方程 例 求直线 与平面 的交点 提示 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为 1 2 2 机动目录上页下页返回结束 解 所求直线方程 方法2 设 练习 设有直线 与 则L1与L2的夹角为 注 L1和L2的方向向量分别为和 知识点4 二元函数的定义域与极限 例6求的定义域 解 所求定义域为 例7求极限 解 其中 求极限 知识点5 二元函数求偏导数 多元复合函数链式法则 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 例 解 机动目录上页下页返回结束 例 设F x y 具有连续偏导数 解利用偏导数公式 确定的隐函数 则 已知方程 机动目录上页下页返回结束 故 多元函数连续 可导 可微的关系 A 充分条件而非必要条件 B 必要条件而非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件又非必要条件 A 连续 偏导数存在 B 连续 偏导数不存在 C 不连续 偏导数存在 D 不连续 偏导数不存在 偏导数存在 又当 x y 沿y kx趋向于 0 0 时 随着k的不同 该极限值也不同 所以极限不存在 f x y 在 0 0 不连续 解 解 解 令 记 同理有 于是 解 令 练习 设 求 解 令 则 知识点6 多元函数微分学的几何应用 1 曲线切线方程 2 曲线的法平面 3 切平面方程 4 曲面的法线方程为 解 切平面方程为 法线方程为 5 方向导数与梯度 归纳 求曲线的切线及法平面 关键 抓住切向量 求曲面的切平面及法线 关键 抓住法向量 机动目录上页下页返回结束 求函数的方向导数和梯度 一 方向导数 设函数z f x y 在点P0 x0 y0 的某一邻域U P0 内有定义 l是xOy平面上以P0 x0 y0 为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el cos cos 存在 则称此极限为函数f x y 在点P0沿方向l的方向导数 记为 取P x0 tcos y0 tcos U P0 如果极限 方向导数 一 方向导数 设函数z f x y 在点P0 x0 y0 的某一邻域U P0 内有定义 l是xOy平面上以P0 x0 y0 为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el cos cos 方向导数 方向导数就是函数f x y 在点P0 x0 y0 处沿方向l的变化率 一 方向导数 设函数z f x y 在点P0 x0 y0 的某一邻域U P0 内有定义 l是xOy平面上以P0 x0 y0 为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el cos cos 方向导数 如果函数z f x y 在点P0 x0 y0 可微分 那么函数在该点沿任一方向l el cos cos 的方向导数都存在 且有 定理 方向导数的计算 讨论 函数f x y 在点P沿x轴正向和负向 沿y轴正向和负向的方向导数如何 提示 函数f x y 在点P0沿方向l el cos cos 的方向导数 例求f x y z xy2 z3 xyz在点 1 1 2 沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60 解 与l同向的单位向量为 因为函数可微分 且 所以 fx 1 1 2 y2 yz 1 1 2 1 fy 1 1 2 2xy xz 1 1 2 0 fz 1 1 2 3z2 xy 1 1 2 11 二 梯度 梯度的定义 函数z f x y 在点P0 x0 y0 的梯度 gradf x0 y0 fx x0 y0 i fy x0 y0 j 梯度与方向导数 如果函数f x y 在点P0 x0 y0 可微分 el cos cos 是与方向l同方向的单位向量 则 gradf x0 y0 el gradf x0 y0 cos gradf x0 y0 el 函数在一点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 二 梯度 梯度的定义 函数z f x y 在点P0 x0 y0 的梯度 gradf x0 y0 fx x0 y0 i fy x0 y0 j 梯度与方向导数 gradf x0 y0 cos gradf x0 y0 el 如果函数f x y 在点P0 x0 y0 可微分 el cos cos 是与方向l同方向的单位向量 则 例求grad 解这里f x y 因为 所以grad 例设f x y z x3 xy2 z 求gradf 1 1 0 解gradf fx fy fz 3x2 y2 2xy 1 于是gradf 1 1 0 2 2 1 函数在此点沿方向 2 2 1 增加率最大 其值为3 机动目录上页下页返回结束 函数在此点沿方向 2 2 1 减少率最大 其值为 3 说明 使偏导数都为0的点称为驻点 例如 定理1 必要条件 函数 偏导数 但驻点不一定是极值点 有驻点 0 0 但在该点不取极值 且在该点取得极值 则有 存在 知识点7 多元函数的极值及其求法 例 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 机动目录上页下页返回结束 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 机动目录上页下页返回结束 解 则 2x 3y y 2z 知识点8 二重积分的性质与计算 性质 当为常数时 性质 性质 对区域具有可加性 性质4 若在D上 则有 性质5 性质6 二重积分的计算 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 机动目录上页下页返回结束 先确定积分次序 先看被积函数 再看被积区域D 先积后定限 限内画条线 先交为下限 后交上限写 解 积分区域如图 则 2 极坐标系情形 若积分区域为 机动目录上页下页返回结束 则 例 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 机动目录上页下页返回结束 三重积分的计算方法 方法1 先一后二 投影法 方法2 先二后一 截面法 方法3 三次积分 机动目录上页下页返回结束 1 直角坐标情形 2 不同坐标系的三重积分 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁 或 变量可分离 围成 机动目录上页下页返回结束 其中 其中 其中 为由 例 计算三重积分 所围 解 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体 机动目录上页下页返回结束 知识点9 重积分的应用 1 平面区域的面积 2 曲面的面积 例 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解 曲面在xoy面上投影为 则 出的面积A 机动目录上页下页返回结束 知识点10 两类曲线积分及格林公式 例16 解 例17 解 第二类曲线积分几种特殊情形的计算 曲线积分 第一类 对弧长 第二类 对坐标 1 统一积分变量 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 2 确定积分上下限 第一类 下小上大 第二类 下始上终 机动目录上页下页返回结束 两类曲线积分之间的联系 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理 设D是单连通域 在D内 具有一阶连续偏导数 1 沿D中任意光滑闭曲线L 有 2 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在D内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分 即 机动目录上页下页返回结束 定理证明采用 解 例 计算曲线积分 其中 为螺旋 的一段弧 解 线 机动目录上页下页返回结束 例 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解 令 设L所围区域为D 由格林公式知 机动目录上页下页返回结束 在D内作圆周 取逆时 针方向 对区域 应用格 记L和l 所围的区域为 林公式 得 机动目录上页下页返回结束 例 验证 是某个函数的全微分 并求 出这个函数 证 设 则 由定理2可知 存在函数u x y 使 机动目录上页下页返回结束 知识点11 两类曲面积分及高斯公式 则 则 则 两类曲面积分之间的联系 知识点 常数项级数的收敛与发散条件收敛与绝对收敛 结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数 敛散性不变 结论 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 比较判别法 可作为参考的级数 几何级数 P 级数 包括调和级数 比值判别法 根式判别法 例求下列幂级数的收敛域 2 和函数的运算性质 幂级数求和与函数展开成幂级数 求和 2 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 1 初等变换法 先求部分和极限 再分解 裂项相消法 最后套用收敛的等比级数的求和公式等方法 在收敛区间内 机动目录上页下页返回结束 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式 3 函数的幂级