线性方程组求解的数值方法.doc

线性方程组求解的数值方法摘要：线性代数方程组的数值求解具有重要意义，不仅有些实际模型会直接提出这类问题，还有很多是由求解其他类型的问题导出的。因此正确的求解线性方程组就显得必要了。数值求解线性代数方程组的方法依其主要特点分为直接法和迭代法两大类。对于中小规模的问题直接法通常有一定的优越性，而迭代法则是一个更广阔的领域。下面将介绍三种数值算法Cramer法则、Gauss列主元消去法、Jacobi迭代法，通过举例说明各种算法的特点。关键词：线性方程组，数值算法下面将通过解这个线性方程组说明这三种数值解法一、Cramer法则克莱姆法则（Cramers Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。如果线性方程组的系数行列式，则这个方程组有唯一解，其解为：其中是把D中的第j列元素换成常数项所得的行列式，求解过程，在matlab命令窗口键入： A=10 -7 0;-3 2 6;5 -1 5; d=det(A); d1=det(7 -7 0;4 2 6;6 -1 5)d1 = 0 d2=det(10 7 0;-3 4 6;5 6 5)d2 = 155 d3=det(10 -7 7;-3 2 4;5 -1 6)d3 = -155 x1=d1/dx1 = 0 x2=d2/dx2 = -1 x3=d3/dx3 = 1Cramer法则只适用于变量和方程数目相等且系数行列式不等于零的线性方程组，对于其他一般的线性方程组则需要更完备的算法来实现。二、Gauss消去法记线性方程组为Ax=b, 其中A，x=, b=记其增广矩阵为设主元，记，用乘增广矩阵的第1行，再分别与第i行相加，得，其中i,j=2,3,n i=2,3,n又设主元乘矩阵的第二行，再与第i行相加(i=3,4,n)，得。经过n-1步消去后，增广矩阵最终变为一个上三角矩阵。求解过程，首先建立M文件：function x=Gauss(a,b)n,m=size(a);nb=length(b);det=1;x=zeros(n,1);for k=1:n-1 amax=0; for i=k:n if abs(a(i,k)amax amax=abs(a(i,k);r=i; end end if amaxk for j=k:n z=a(k,j);a(k,j)=a(r,j);a(r,j)=z; end z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det; end for i=k+1:n m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k);enddet=det*a(n,n);for k=n:-1:1 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);end在matlab命令窗口键入： a=10,-7,0;-3,2,6;5,-1,5; b=7;4;6; x=Gauss(A,b)x = 0.0000 -1.00001.0000Gauss消去法的本质是矩阵的分解，在每步用来消去其他元素的称为该步的主元素。而事实证明主元素的选择不同得到的计算结果也是不一样的，因此Gauss消去法在计算机上作为数值算法实际使用时，主元素的选取极其重要。三、Jacobi迭代法将线性方程组Ax=b（设）化成等价方程组： 采用迭代格式 求解过程，首先建立M文件：function x,n=jacobi(A,b,x0,eps,varargin)if nargin=3 eps= 1.0e-6; M = 5;elseif nargin=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！); return; endend在matlab命令窗口键入： A=10,-7,0;-3,2,6;5,-1,5; b=7;4;6; x0=0;0;0; x,n=Jacobi(A,b,x0)Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！x = 4.5518 1.4975 -0.1145n = 5为了比较相同迭代次数下初值不同所得结果能有怎样变化，下面改变初值，取初值近似于实际结果观察得到的值 x0=0;-1.00000002;1.00001; x,n=Jacobi(A,b,x0)Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！x = -0.0000 -1.0000 1.0000n = 5此时得到的结果跟前面所用方法得到的结果相同。在确定初值的前提下，改变迭代次数，观察得到的结果迭代次数为20次： x,n=Jacobi(A,b,x0)Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！x = -0.0031 -1.0055 1.0017n =20迭代次数为30次 x,n=Jacobi(A,b,x0)Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！x = -0.0882 -1.1842 1.0362n = 30由此可以看出当初值确定时，迭代次数越多得到的结果偏差越大，即是说迭代次数太多导致方程组的系数矩阵不收敛了。通过Jacobi迭代法的计算，可以看出影响迭代收敛的因素有迭代初值、迭代矩阵。除了以上三种算法，Gauss-Seidel迭代法也是计算线性方程组的一种常用方法，他与Jacobi迭代法基本类似，它们区别在于Jacobi迭代中，每次迭代式只用到前一次的迭代值，而在Gauss-Seidel迭代中，每次迭代充分利用最新的迭代值，一旦一个分量的新值被求出，就立即用于后续分量的迭代计算，而不必等到所以分量的新值求出以后。Gauss-Seidel迭代法的迭代格式作为，它比Jacobi迭代法更加精确。当用这两种迭代法收敛速度都较慢时，则通常采用超松弛迭代法SOR，它是Gauss-Seidel方法的加速。在这些常用的解决线性方程组的算法中，没有绝对的哪种算法优越于其他算法，要