第四章测量误差的模拟分析.doc

第四章 不确定度的统计模拟分析不确定度分析中，实验分析是不可缺少的环节，对于单项分量的实验分析为不确定度的合成提供原始数据，不确定度的综合实验分析则是不确定度理论合成结果的验证。因此，实验分析对于不确定度的分析具有不可替代的作用。实验分析需要有相应精度的实验设备和严格的实验条件，这是限制不确定度实验分析方法实现的关键因素。采用统计模拟分析则可很好的解决这一问题，借助于计算机，实现软件模拟实验，避开了硬件设备的限制。4.1 不确定度的统计模拟分析概述统计模拟方法（statistical simulation method）又称蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，是一种采用统计抽样理论近似地求解数学问题或物理问题的方法。不确定度的统计模拟分析是借助于计算机模拟实现测量的统计试验，模拟随机误差及误差传递实验，合成不确定度。模拟分析中，按各原始误差的随机分布，计算机模拟各项误差随机数，最终由数学模型给出的关系得到综合误差。不确定度的统计模拟分析避免了实验设备和实验条件的困扰，易于实现。相较于实际的实验分析，不确定度的模拟实验分析可信度可能更好一些。特别是对于一些函数关系复杂、难以按线性关系给出误差传递关系的场合，这是一个切实有效的方法。当模拟试实验次数相当多时，具有很好的可靠性。但由于要涉及大量的统计数据，运算繁杂、工作量大。4.2 不确定度统计模拟分析方法及其概率收敛性4.2.1 不确定度统计模拟分析方法概述设有测量方程式 以计算机模拟次测量的误差。则测量数据可写成 将其带入测量方程，得 该结果也可写为 式中，为真值，为m个测量数据，为由造成的测量结果y的误差。按统计学原理处理数据组，求得的标准差，即得标准不确定度=，其扩展不确定度则为。由测量数据，取算术平均值得 残差 由贝塞尔公式得标准差（即标准不确定度）为 =扩展不确定度 这应与不确定度合成关系 给出的结果一致。统计实验获取不确定度方法的实施的前提是必须获得确定的测量方程。这种统计实验很难在实际测量系统中实现（只可能在有限条件下实现），但借助于计算机则易于实现，这就是不确定度的统计模拟实验 。不确定度的统计模拟分析完全在计算机上进行，不涉及测量的硬件系统，因此也称为模拟实验分析。4.2.2统计模拟分析方法的理论基础 大数定律指出，若是N个独立的随机变量，它们有相同的分布，且有相同的有限数学期望=和方差=。则对于任意0，有： (4-1) 大数定律的另一形式是伯努利定理，设随机事件A的概率为P(A)，在N次独立试验中，事件A发生的频数为n，频率为，对于任意0，有： (4-2) 蒙特卡罗方法从总体抽取简单子样作抽样试验，根据简单子样的定义，为具有相同分布的随机变量，由式(4-1)、式(4-2)可知，当N足够大时， 依概率1收敛于E（Xi），而频率n/N依概率1收敛于P（A）。这就保证了使用蒙特卡罗方法的概率收敛性。大数定律是概率论中最基本的定律之一，实施条件十分宽松，因此这种方法的应用范围原则上说几乎不受什么条件限制。4.3 随机数的模拟方法实施不确定度统计模拟分析的基本工作之一是随机误差的模拟，因此随机数的生成则是其关键环节。任意分布随机数的生成都以均匀分布随机数为基础，均匀分布随机数生成方法有多种。实现一次不确定度的统计实验分析需几千至数万随机数，一次生成随机数的工作是大量的，选择简便、经济、可靠的随机数生成方法则具有关键性的意义。随机数的生成分为物理方法和程序生成法。物理方法是利用物理学原理制成随机数生成器，如常用的放射粒子计数器、电子管随机数发生器等。程序生成法是按一定的程序由计算机实现随机数的生成。这种方法生成的随机数是按确定性的算法计算出来的，所以他们不是真正的随机数，所列数列经过一定时间会出现周期性的重复，所以这样得到的随机数严格的说不是随机数，称为伪随机数。当计算方法设计得当，所得数列很接近随机数列，能经得起统计学检验。程序生成法方便、简单，速度快、占用内存小，所以是常用的方法。4.3.1生成（0，1）区间上均匀分布的随机数均匀分布随机数是生成任意随机数的基础。生成均匀分布的随机数的方法有多种，通常是利用递推公式产生。通常的方法是定出一个递推公式给定个初始值，既可由递推公式计算出第个随机数 递推公式具体形式有多种，以下给出两种具代表性的方法。1） 平方取中法取某一进位制的M位数，平方得，为2M位数，取中间M个数构成中位数；平方，取其中间M位数得；以此类推，得序列数，即为均匀分布的随机数列。2）同余法同余法是应用较广的方法，特别是乘同余法和混合同余法应用最广，乘同余法如下。乘同余法产生随机数的递推公式为 式中 乘因子； 模数。上式表示为以M为模的同余式，即为以M除所得余数。当给定，即可依上式得，再取就，既可得均匀分布的系列随机数。平方法用程序生成均匀分布的随机数方法如下。（1） 对于给定的一个M位数的初值（例如取0.31415926）进行平方，得到一个2M位数。实际上，由于机器字长的限制，尾数长度是有限制的，当的位数超出了机器尾数长度时，机器会自然舍掉多出的尾数，这样截去尾数就避免了任意数的平方的末位数只能出现0，1，4，5，6，9而不会出现2，3，7，8的系统偏倚性。（2） 判断是否小于1，如果1时，则右移的小数点直至1时为止，然后，截去整数部分，保留小数部分，把保留的小数部分作为（0，1）区间上的均匀分布的随机数，这样截去首位避免了小于1的数的平方有对小数目偏倚的现象。（3） 以为初值，重复（1）、（2）过程产生。这一过程一直重复下去就可以产生（0，1）区间上的随机数序列。程序的流程图见图41。开始输入参数为0？令输入数为0.314159265将输入数据取平方结果小于0？将结果乘10去除整数部分小数部分作为返回结果结束NNYY图41 程序randu1流程图4.3.2 生成（0，1）正态分布随机数的方法 正态分布随机数的生成常在均匀分布随机数的基础上实现，也有多种生成方法。1） 利用中心极限定理设为独立的（0 1）区间上均匀分布的随机数，由中心极限定理 为服从标准正态分布N(0 1)的随机数。2）坐标变换法如下。 取两个独立的（0，1）区间上均匀分布的随机数，作变换： 则，是两个独立的标准正态分布N（0，1）的随机数。生成任意正态分布随机数的程序的流程图见图4-2。开始根据输入参数生成第一组输出数据根据输入参数生成第二组输出数据结束图42 程序randu2流程图4.3.3 误差随机数的生成由生成的随机数，按下式转换既可生成误差随机数 式中，为该误差的标准不确定度 为该误差的系统偏移 4.3.4 随机数的统计检验所产生的数列是否符合随机数列，须作出判断，即要进行统计检验。统计检验包括数据的独立性和均匀分布检验，有多种统计检验方法，可参阅数理统计学方面的相应内容。4.4 不确定度的统计模拟分析的实施方法不确定度的统计模拟分析不涉及测量的实际系统，仅利用计算机实现分析。须作如下几部分工作：1）建立测量的数学模型（测量方程）；2）分析误差因素，给出各误差分量的分布规律、不确定度；3）选择随机数生成程序，生成随机数；4）编制数学模型的计算程序；5）编制计算结果的处理程序，求取总不确定度；6）分析模拟实验结果。 实施的具体步骤如下：（1）选择适当程序生成法生成（01）区间均匀分布的随机数列（i=1，2， n）；（2）按各误差分量相应的分布选择适当的程序生成法生成的模拟随机数（=1，2，）；（3）计算各分量（=1，2，）的误差值 式中 的随机误差； 的标准差； 的标准不确定度，=。（4）计算各分量测量值（包含误差的量值） 式中，的真值。（5）将各分量值带入测量的数学模型，计算得到含误差的结果 （6）重复上述步骤，计算得到含误差的系列测量结果 （7）按贝塞尔公式计算测量结果的标准差 （8）给出的自由度 （9）计算测量结果的扩展不确定度 式中 t分布系数，按自由度与置信概率由t分布表查得； 测量结果的标准不确定度。4.5 不确定度的统计模拟分析的应用4.5.1 实施不确定度统计模拟分析的前提实现不确定度统计模拟分析须确定如下前提。1）测量系统具有确定的测量的函数关系，或模拟给出的函数关系；2）已知各误差分量的分布及不确定度分量的确切数值；3）不确定度合成按统计方法实施。4.5.2 不确定度统计模拟分析的局限性不确定度统计模拟分析是以统计学为基础实施的，为获得可靠的结果，需要进行大量的模拟实验，涉及大量的数据，计算工作量十分庞大。借助计算机能实现这一工作，但仍感繁琐，需要花费大量时间和精力。因此该方法只适合用于测量系统函数关系十分复杂，难以给出明晰的误差关系，因而无法给出不确定度合成关系的场合。4.5.3 不确定度统计模拟分析的适用性不确定度合成的是建立在统计学的基础上的，是将各原始误差分量视为随机分量，相互间具有随机抵偿性，据此各不确定度合成按方差合成法则合成，即按平方合成法合成。对于系统误差分量，将其视为随机母体的子样，则考察其在总体环境中的相互作用的情形应与随机误差的相同。由计算机产生的随机数用作服从某种分布的误差的随机取值，因此能很好的模拟随机误差。对于未知的系统误差，特定的系统误差应看成是随机母体分布的子样，按上述随机数描述其分布也是有效的。因此，统计实模拟方法同样适用于未知系统误差的合成分析，且更接近实际，这是在实际测量系统中难以实现的。因而并不如通常的认识那样，统计试验方法仅适用于随机误差，实际上统计试验分析完全可以适用于系统误差分量。可见不确定度统计模拟分析可给出完整的不确定度的描述。4.6 不确定度统计模拟分析结果的评价4.6.1统计模拟分析结果评价的尺度不确定度统计模拟分析所得最终结果的可信赖程度的评价应符合相关标准，即应与前述对于不确定度的评价与表述方法一致。给出标准不确定度或扩展不确定度。对于标准差应给出其自由度，对于扩展不确定度应给出其自由度、置信概率（或置信系数）4.6.2 统计模拟分析结果的自由度由统计模拟分析得到的不确定度易于按定义得到。设模拟实验次数为n，则所得不确定度的自由度应为 当很大时，接近。但考虑到各分量的不确定性，该值要小得多。4.6.3 统计模拟分析结果的可信赖程度若统计模拟分析给出标准差（标准不确定度），则可认为（）为随机变量，具有不确定性，其不确定性可由其标准差表达，依据前述结果应有 按3评定的不确定性有3可以看出，一般值是显著的，是不可忽视的。例如设=100，则=0.071；设=500，则=0.032；设=1000，则=0.022；设=2000，则=0.016。可见，即便=2000，其标准差=0.016也是不可忽视的。按3评定的不确定性有3=3（0.016）=0.048其不确定性仍对所给结