广东省东莞市南开实验学校高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期期中数学 试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（）aibic1d12（5分）已知全集u=1，2，3，4，5，6，7，集合a=1，3，5，6，则ua=（）a1，3，5，6b2，3，7c2，4，7d2，5，73（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）a2b4c7d84（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a1b3c7d155（5分）设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件6（5分）根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到回归方程为=bx+a，则（）aa0，b0ba0，b0ca0，b0da0，b07（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）abcd8（5分）一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）abc6d79（5分）已知抛物线c：y2=x的焦点为f，a（x0，y0）是c上一点，af=|x0|，则x0=（）a1b2c4d810（5分）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）a（2，+）b（1，+）c（，2）d（，1）二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为12（5分）中x3的系数为（用数字作答）13（5分）若函数f（x）（xr）是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题【坐标系与参数方程】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，曲线c1与c2的参数方程分别为（t为参数）和（为参数），则曲线c1与c2的交点坐标为【几何证明选讲选做题】15已知o的割线pab交oa，b两点，割线pcd经过圆心，若pa=3，ab=4，po=5，则o的半径为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+）为奇函数，且f（）=0，其中ar，（0，）（1）求a，的值；（2）若f（）=，（，），求sin（+）的值17（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（）应收集多少位女生的样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”p（k2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：k2=18（14分）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，b1c的中点为o，且ao平面bb1c1c（1）证明：b1cab；（2）若acab1，cbb1=60，bc=1，求三棱柱abca1b1c1的高19（14分）在等差数列an中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=a，记tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求tn20（14分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p（如图）（）求点p的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆c过点p，且与直线l：y=x+交于a、b两点，若pab的面积为2，求c的标准方程21（14分）已知函数f（x）=exax（a为常数）的图象与y轴交于点a，曲线y=f（x）在点a处的切线斜率为1（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x0时，x2ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（x0，+）时，恒有xcex广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（）aibic1d1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果解答：解：复数i3+=i+=i+=1，故选：d点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）已知全集u=1，2，3，4，5，6，7，集合a=1，3，5，6，则ua=（）a1，3，5，6b2，3，7c2，4，7d2，5，7考点：补集及其运算 专题：集合分析：根据全集u以及a，求出a的补集即可解答：解：全集u=1，2，3，4，5，6，7，集合a=1，3，5，6，ua=2，4，7故选：c点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键3（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）a2b4c7d8考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值解答：解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数z=2x+y，zo=0，za=4，zb=7，zc=4，故2x+y的最大值是7，故选：c点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解4（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a1b3c7d15考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：算法的功能是求s=1+21+22+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的s值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求s=1+21+22+2k的值，跳出循环的k值为3，输出s=1+2+4=7故选：c点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键5（5分）设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解解答：解：因为a，b都是实数，由ab，不一定有a2b2，如23，但（2）2（3）2，所以“ab”是“a2b2”的不充分条件；反之，由a2b2也不一定得ab，如（3）2（2）2，但32，所以“ab”是“a2b2”的不必要条件故选d点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法6（5分）根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到回归方程为=bx+a，则（）aa0，b0ba0，b0ca0，b0da0，b0考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：利用公式求出b，a，即可得出结论解答：解：样本平均数=5.5，=0.25，=24.5，=17.5，b=1.4，a=0.25（1.4）5.5=7.95，故选：a点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题7（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出的最小值解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移的单位，所得图象是函数y=sin（2x+2），图象关于y轴对称，可得2=k+，即=，当k=1时，的最小正值是故选：c点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题8（5分）一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）abc6d7考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积解答：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：v正方体2v棱锥侧=故选：b点评：本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状9（5分）已知抛物线c：y2=x的焦点为f，a（x0，y0）是c上一点，af=|x0|，则x0=（）a1b2c4d8考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出解答：解：抛物线c：y2=x的焦点为f，a（x0，y0）是c上一点，af=|x0|，=x0+，解得x0=1故选：a点评：本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）a（2，+）b（1，+）c（，2）d（，1）考点：函数零点的判定定理 专题：综合题；导数的概念及应用分析：分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，由于而f（0）=10，x+时，f（x），可知：存在x00，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则必须极小值f（）0，解出即可解答：解：当a=0时，f（x）=3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a0时，令f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，0） 0（0，）（，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，）（，0）0（0，+） f（x） 0+ 0 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x00，极小值f（）0，化为a24，a0，a2综上可知：a的取值范围是（，2）故选：c点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可解答：解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率p=故答案为：点评：本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件12（5分）中x3的系数为20（用数字作答）考点：二项式定理 专题：排列组合分析：由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出x3是展开式中的第几项，从而得出其系数解答：解：由题意，的展开式的通项公式是tr+1=x123r令123r=3得r=3所以中x3的系数为=20故答案为20点评：本题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，解答的关键是熟练掌握二项式的通项公式13（5分）若函数f（x）（xr）是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可解答：解：函数f（x）（xr）是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8）+f（8）=f（）+f（）=f（）f（）=故答案为：点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题【坐标系与参数方程】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，曲线c1与c2的参数方程分别为（t为参数）和（为参数），则曲线c1与c2的交点坐标为（1，1）考点：抛物线的参数方程；圆的参数方程 专题：坐标系和参数方程分析：把曲线c1与c2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线c1与c2的交点坐标解答：解：在平面直角坐标系xoy中，曲线c1与c2的普通方程分别为 y2=x，x2+y2=2解方程组 可得 ，故曲线c1与c2的交点坐标为（1，1），故答案为 （1，1）点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题【几何证明选讲选做题】15已知o的割线pab交oa，b两点，割线pcd经过圆心，若pa=3，ab=4，po=5，则o的半径为2考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：由于pab与pcd是圆的两条割线，且pa=3，ab=4，po=5，我们可以设圆的半径为r，然后根据切割线定理构造一个关于r的方程，解方程即可求解解答：解：设o的半径为r则pc=pooc=5rpd=po+od=5+r又pa=3，ab=4，pb=pa+ab=7由切割线定理易得：papb=pcpd即37=（5r）（5+r）解得r=2故答案：2点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+）为奇函数，且f（）=0，其中ar，（0，）（1）求a，的值；（2）若f（）=，（，），求sin（+）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质 专题：三角函数的求值分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cos，则的值可得（2）利用f（）=和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin，cos，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案解答：解：（1）f（）=（a+1）sin=0，（0，）sin0，a+1=0，即a=1f（x）为奇函数，f（0）=（a+2）cos=0，cos=0，=（2）由（1）知f（x）=（1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x（sin2x）=，f（）=sin=，sin=，（，），cos=，sin（+）=sincos+cossin=点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题综合运用了所学知识解决问题的能力17（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（）应收集多少位女生的样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”p（k2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：k2=考点：独立性检验；频率分布直方图 专题：应用题；概率与统计分析：（）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据；（）由频率分布直方图可得12（0.100+0.025）=0.75，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（）写出22列联表，求出k2，与临界值比较，即可得出结论解答：解：（）300=90，应收集90位女生的样本数据；（）由频率分布直方图可得12（0.100+0.025）=0.75，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75；（）由（）知，300位学生中有3000.75=225人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： 男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300k2=4.7623.841，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”点评：本题主要考查独立性检验等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题18（14分）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，b1c的中点为o，且ao平面bb1c1c（1）证明：b1cab；（2）若acab1，cbb1=60，bc=1，求三棱柱abca1b1c1的高考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）连接bc1，则o为b1c与bc1的交点，证明b1c平面abo，可得b1cab；（2）作odbc，垂足为d，连接ad，作ohad，垂足为h，证明cbb1为等边三角形，求出b1到平面abc的距离，即可求三棱柱abca1b1c1的高解答：（1）证明：连接bc1，则o为b1c与bc1的交点，侧面bb1c1c为菱形，bc1b1c，ao平面bb1c1c，aob1c，aobc1=o，b1c平面abo，ab平面abo，b1cab；（2）解：作odbc，垂足为d，连接ad，作ohad，垂足为h，bcao，bcod，aood=o，bc平面aod，ohbc，ohad，bcad=d，oh平面abc，cbb1=60，cbb1为等边三角形，bc=1，od=，acab1，oa=b1c=，由ohad=odoa，可得ad=，oh=，o为b1c的中点，b1到平面abc的距离为，三棱柱abca1b1c1的高点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（14分）在等差数列an中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=a，记tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求tn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出（）利用（）可得bn=a=n（n+1），因此tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）对n分奇偶讨论即可得出解答：解：（）a2是a1与a4的等比中项，在等差数列an中，公差d=2，即，化为，解得a1=2an=a1+（n1）d=2+（n1）2=2n（）bn=a=n（n+1），tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）当n=2k（kn*）时，b2kb2k1=2k（2k+1）（2k1）（2k1+1）=4ktn=（b2b1）+（b4b3）+（b2kb2k1）=4（1+2+k）=4=2k（k+1）=当n=2k1（kn*）时，tn=（b2b1）+（b4b3）+（b2k2b2k3）b2k1=n（n+1）=故tn=点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题20（14分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p（如图）（）求点p的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆c过点p，且与直线l：y=x+交于a、b两点，若pab的面积为2，求c的标准方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设切点p的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积s=再利用基本不等式求得s取得最小值，求得点p的坐标（）设椭圆的标准方程为 +=1，ab0，则 +=1把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，里哦也难怪韦达定理、弦长公式求出弦长ab以及点p到直线的距离d，再由pab的面积为s=abd=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程解答：解：（）设切点p的坐标为（x0，y0），且x00，y00则切线的斜率为，故切线方程为 yy0=（xx0），即x0x+y0y=4此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积s=再根据 +=42，可得当且仅当x0=y0=时，x0y