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工程中的数值分析开放性考试题 目：工程中的数值分析分 院：建筑与土木工程系班 级：14土木工程本一姓 名：陈凯学 号成日期：2016年12月14日温州大学瓯江学院教务部二一二年十一月制1.1 二分法的和算法及Excel实现原理:设函数f(x)在a,b上连续,且f(a)f(b)0由闭区间上连续函数的性质及定理2-1可知,方程(2.2)在区间(a,b)内至少有一个实根.二分法的基本思想是:逐步二分区间a,b,通过判断两端点函数值的符号,进一步缩小有根区间,将有根区间的长度缩小到充分小,从而求出满足精度要求的根的近似值.算法:给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算f(c).(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2) 若f(a)f(c)0,则令b=c;(3) 若f(c)f(b)0,则令a=c.(4) 判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.Excel实现:单元格内分别输入区间a,b的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)0”,中点值,a)如果f(中点值)0,则下个左端点取原来的中点值(a+b)/2.同理“=IF(f(中点值)0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b.如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。1.2不动点迭代法的原理和算法及Excel实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理:将线性方程f(x)=0化为一个同解方程x=(x),并且假设(x)为连续函数,任取初值x0,代入方程得到 x1=(x0),x2=(x1)xk+1=(xk),k=0,1,2,称为求解非线性方程组的简单迭代法,称(x)为迭代函数,xk称为第k步迭代值.若xk收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.算法：（1） 确定初值在B2和D2分别输入左端点a和右端点b在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。（2） 方程化为等价方程，并定义迭代格式（3） 迭代输入初值x，输入迭代格式，并往下复制下去（4） 在输入f的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤进行计算。Excel实现:x3-x+1区间端点a=-1b=0xf(x)-1-1-0.9-0.629-0.8-0.312-0.7-0.043-0.60.184-0.50.375-0.40.536-0.30.673-0.20.792-0.10.899迭代式:xk+1=(xk-1)1/311-0.4999938 1.37499844812-0.4999979 1.37499948313-0.4999993 1.37499982814-0.4999998 1.37499994315-0.4999999 1.37499998116-0.5000000 1.37499999417-0.5000000 1.37499999818-0.5000000 1.37499999919-0.5000000 1.37520-0.5000000 1.37521-0.5000000 1.375f(x19)=1.375不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数(1) 对任意(2) 存在正数L1，使对任意则迭代过程对于任意初值(3) 若方程有根，。1.3 Newton迭代法的原理和算法及Excel实现。原理：Newton迭代法的基本思想是“以直代曲”，将f（x）=0在每一步近似为线性方程来求解，具体方法如下：将f（x）在xk作Taylor一阶展开f(x)=f(xk)+f(xk)(x-xk)+1/2!f()(x-xk)2,介于x和xk之间.略去上式中的二次项，得到线性方程，解出x，作为新的近似根xk+1：xk+1=xk-f(xk)/f(xk),k=0,1,2,3称为Newton迭代法 算法:先假定方程的有根区间为a,b，计算a,b区间内各个点（整数点）的函数值，当函数值出现f（a0）0时，a0,b0即为方程的有根区间。将有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。将此数据绘图，并根据所绘的图求得初始值。求得方程f（x）的一次求导公式f（x），得到迭代公式xk+1=xk-f（xk）/f（xk），将初始值代入迭代公式中计算出下一项的x值，并计算对应的函数值，新的x值代入迭代公式中继续计算出下一项的x值，重复步骤，直到x的值相同不再变化，此x值即为方程的近似解。Excel实现:迭代法求方程x3-x-1确定初值在B2和D2分别输入左端点a和右端点b在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。方程化为等价方程，并定义迭代公式为x-(x3-x-1)/3x2-1上图知迭代初值1.4区间端点a=1b=2作图数据区xf(x)1-11.1-0.7691.2-0.4721.3-0.1031.40.3441.50.8751.61.4961.72.2131.83.0321.93.95925迭代公式为x-(x3-x-1)/3x2-1不动点迭代kxkf(xk)01.40.34411.3295081970.02051991621.3247392029.06038E-0531.3247179581.79368E-0941.324717957051.3247179570F(x4)=0,方程解为1.3247179572.1 线性方程组的数值求解的原理和算法及Excel实现。Gauss消去法原理: 设有线性方程组，将其增广矩阵（A丨b）通过初等行变化为（A(n)丨b（n），A(n)为上三角阵，在经过回代解除与原方程组同解的三角形方程组A(n)x=b(n)的解，得到方程组的解。算法：把方程组化为上三角形方程组，做消元的步骤，再做回带的步骤，解上三角形方程组A(n)x=b(n)。Excel实现：x1+x2-4x4=1-x1+4x2+x3+3x4=-2x1+3x2+5x3-4x4=-42x2+2x3-3x4=-2Ab120-41-1413-2135-4-4022-3-2120-41-161-1-11150-5022-3-2120-4161-1-10.1666666674.8333333330.166666667-4.8333333330.3333333330.333333333-3-0.333333333120-41161-1-104.8333333331-4.833333333-10.068965517-3.01149425300三角分解法原理：将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵的乘积A=LU，进而将原方程组的求解转化为两个三角形方程组的求解。若有三角阵LU,使A=LU,则方程组Ax=b与方程组LUx=b等价，而后者等价于两个三角形线性方程组：Ly=b，Ux=y。算法：将线性方程组的系数矩阵A分解为三角形方程组的乘积LU，称为矩阵A的LU分解；再将线性方程组的求解转换为三角形方程组的求解。A稠密-LU分解法A对称-LDL分解法A正定-LL分解法A三对角线-追赶法Excel实现:新建Excel表格,依次按顺序输入矩阵数据一句矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵原理,依次从A-D列数据从下至上依照公式计算逆矩阵数据上三角形矩阵求逆U4232103114U-10.25-0.5-0.750.437510-0.751-0.250.253.1 Lagrange插值的原理和算法及Excel实现；原理:将待求的n次多项式插值函数pn(x）改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。n=1时，设.作直线方程： 令，称为两点式插值或线性插值.时，设令： 称为三点式插值或抛物插值.算法:先建立一个Excle数据表:插值节点xiABCDyiEFGH插值点与函数计算值xL0L1L2L3L3(x)a在单元格中输入插值点a求基函数L0=(a-B)*(a-C)*(a-E)/(E-F)/(E-G)/(E-H) L1=(a-A)*(a-C)*(a-D)/(F-E)/(F-G)/(F-H)以此类推求至L3,再求出L3(x).再输入最后一个基函数L3(x)的计算公式：=SUMPRODUCT公式得到f（x）的近似值Excel实现:插值节点xi1234yi18201517插值点与函数计算值xL0L1L2L3L3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062517.5作图数据区点数:100xL0L1L2L3L3(x)11000181.030.94589550.0877635-0.04321350.009554518.2956131.060.8935640.171108-0.0829080.01823618.5727041.090.84297850.2501145-0.11916450.026071518.8316511.120.7941120.324864-0.1520640.03308819.0728321.150.74693750.3954375-0.18168750.039312519.2966251.180.7014280.461916-0.2081160.04477219.5034083.2 Newton插值的原理和算法及Excel实现。原理：牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=fx0+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+.fx0,.xn(x-x0).(x-xn-1)+Rn(x)。改写 记则两点公式可改为：三点公式可改为：这种插值形式的基函数为，.，系数称为差商（均差）. 算法:先建立一个Excle数据表:插值节点xi123456yiABCDEFxl0一阶二阶三阶四阶五阶1A2B3C4D5E6F（1） 计算差商表假设n次输入一阶差商的计算公式“=(B-A)/(2-1)”以此类推往下拉输入二阶差商的计算公式用一阶的值相隔两数相减除以x对应相隔两数相减的值,以此类推往下拉三阶,四阶,N阶如此算下去(2) 计算插值点处的函数值输入插值点；分别输入Newdon插值函数N1，N2N-1的计算公式；分别得到插值点处的1阶至n-1阶插值函数值.插值节点xi123456yi122021112415差商表xifi1128-3.5-0.6666666671.583333333-0.9752201-5.55.666666667-3.291666667321-1011.5-7.541113-11524-9615插值点与函数计算值xN1N2N3N43.733.617.53515.39313.866825作图数据区100xN1N2N3N41121212121.0512.412.5662512.504512.071864061.112.813.11513.00112.2158251.1513.213.6462513.48912.424614061.213.614.1613.96812.69121.251414.6562514.437513.008789061.314.415.13514.89713.3708251.3514.815.5962515.34613.770989064.1 数据拟合的最小二乘法的原理和算法；原理:当实验提供了大量数据时,由于观测数据往往不准确,因此不能要求y=f(x)通过所有点,只要求i=f(xi)-yi(i=1,2,m)严格为零,使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势同时偏差平方和最小，常采用欧式范数作为误差度量的标准,此即称为最小二乘法原理。算法:关于最小二乘法的一般提法是：对给定的一组数据（xi,yi）（i=0,1，.，m），要求在函数类=Span0(x),1(x),2(x),n(x)中求函数 （） 1使误差平方和 2为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和 （4.3）处的数据比重不同，称为权系数，例如可表示在点处重复观测的次数。 按条件式（4.3）求函数的方法称为数据拟合的最小二乘法，用几何语言，即称为曲线拟合的最小二乘法。称为最小二乘解，S（x）为拟合。函数。4.2 直线拟合最小二乘法的Excel实现建立Excle数据表,输入实验数据输入拟合多项式的次数列出法方程组在B6:F9中并输入计算公式计算出结果.之后分解方程组再回代入方程中,并且计算平方误差,作图X1.22.84.35.4Y2.111.528.141.9W1111次数法方程组1413.70083.613.756.9300381.810010000010解法方程组26.850041.8-11.777391963.1634632920030.182110939.5408443671000100XP(X)3.117.79922558作图数据区点数100XP(X)1.2-0.3283787161.2420.0723367471.2840.4730522111.3260.8737676744.3 曲线拟合最小二乘法的Excel实现。建立Excle数据表,输入实验数据,依照数据变化趋势设想y=f(x)的方程,再用线性函数S(u)来拟合数据.将数据取倒数变换到下方,再有法方程组输入公式计算,进行矩阵分解以及回代结果.计算平方误差最后确定初值输出作图数据.实验数据t12345678910111213141516y46.58.018.799.39.59.79.861010.210.3210.4210.5110.5810.6210.71111111111111111变化数据10.50.3333333330.250.20.1666666670.1428571430.1250.1111111110.10.0909090910.0833333330.0769230770.0714285710.0666666670.0625w0.250.1538461540.1248439450.1137656430.1075268820.1052631580.1030927840.1014198780.10.0980392160.0968992250.095969290.0951474790.0945179580.0941619590.0934579441111111111111111163.3807289931.8279515133.3807289931.5843465330.527343796解法方程组40.8451822480.4569878780.079977364平方误差0.9327451420.1512800740.1621880050.000328967作图数据区10014.1294096071.154.5246737161.34.884306231.455.2129174341.65.5143551461.755.7918560831.96.0481625452.056.285613352.26.5062154022.356.7117005595.1 数值积分的原理和算法；原理:将函数图形与x轴形成的图形等分求面积即求其积分.算法:从不同角度出发，通过各种途径来构造数值求积公式，常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式，具体做法如下：在积分区间a,b上取一组点：a=x0x1xn=b,做f（x）的n次插值多项式： 其中lk（x）（k=0,1，n）为n次Lagrange插值基函数，用Ln（x）近似代替被基函数f（x），则有：若记得数值求积公式：xk称为求积节点，Ak称为求积系数例如把图形分成n份,n=1时用梯形公式,n=2时用Sinmpson公式,n=4时用Cotes公式计算代入将每一小块求和5.2 数值积分的的Excel实现；建立一个Excle数据表,在节点区输入节点值于B列,之后计算积分精确值最后运用梯形公式,Sinmpson公式与Cotes公式计算核对节点-2-1.5-1-0.50函数值积分值f(x)f（-2）f(-1.5)f(-1)f(-0.5)f(0)精确值梯形值Simpson值Cotes值1111112222x-2-1.5-1-0.50-2-2-2-2x242.2510.2502.66666666742.6666666672.666666667x3-8-3.375-1-0.1250-4-8-4-4x4165.062510.062506.4166.6666666676.4ex0.1353352830.223130160.3678794410.6065306610.8646647171.1353352830.8689510160.864689922比较.6. 常微分方程的数值解法的原理和算法；原理：采取“进步式”和“离散化”。“进步式”是指求解过程依节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只需给出用已知信息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.“离散化”是指通过一定的方法将连续的问题转化为关于离散变量的相应问题。“离散化”的常见方法有：直接用磋商代替微商发、Taylor级数展开法、数值积分法等。算法:一阶方程的初值问题y=f（x，y），x属于a,b，y(a)=y0只要函数f（x，y）在axb，|y|+上连续，且关于y满足Lipschitz条件：|f(x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2|,则方程存在唯一解y=y（x）。所谓微分方程数值解法，就是需求解函数y（x）在一系列离散节点上的近似值：yi60;y(xi),ax1x2Xn=b.通常采用等距节点Xi=a+ih，i=0,1,2,n,其中h=（b-a）/n称为步长。常微分方程的数值解法的的Excel实现建立Excel数据表,在基本数据区域输入常微分方程的初步数据和步长值,计算节点A列输入序数值B列求出节点dy/dx=f(x,y),y(x0)=y0,先计算节点之后用Euler法写出求解公式计算值并用改进Euler求解公式计算值各自复制后面,最后作图基本数据x0y0h020.5数值解节点Euler法改进Euler法精确解ixiyiyiy(xi)0022110.51.51.751.10653066211.51.781251.36787944131.51.751.988281251.72313016422.1252.305175781252.56252.6907348632.582084999633.031253.119209293.04978706873.53.5156253.5745058063.530197383844.00781254.0465661294.01831563994.54.503906254.529103834.5111089971055.0019531255.0181898945.0067379477.1，请对上述数据作Lagrange插值，并绘出插值函数图形。xi1234yi25.2550.575.75101xl0l1l2l3l3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062563.125点数:100xL0L1L2L3L3(x)1100025.251.030.94589550.0877635-0.04321350.009554526.00751.060.8935640.171108-0.0829080.01823626.7651.090.84297850.2501145-0.11916450.026071527.52251.120.794