对数函数及其性质_教案.doc

2.2.2 对数函数及其性质教案 数学科组 教学目标1 通过教学，使学生理解对数函数的概念。2 会画对数函数的图象， 掌握对数函数的性质。3 通过比较、对照指数函数学习对数函数的方法，使学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识。4 通过例题，使学生掌握利用函数的性质，比较两个数的大小的方法，从而加深学生对对数函数性质的理解。教学重点1 对数函数的定义、图象及性质。2 对数函数性质的初步应用。教学难点底数a对对数函数性质的影响。教学过程设计一复习提问，引入新课师：在新课开始前，我们先复习一些有关知识。指数式和对数式的等价关系是什么？生：。师：各个字母的取值范围呢？生：a0且a1；N0；xR。师：什么是指数函数？生：函数叫做指数函数。师：指数函数的定义域和值域是什么？生：定义域是R，值域师：指数函数是一类重要的初等函数，今天我们来学习另一类重要的初等函数对数函数。师：我们先来看问题一：问题一：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，依此类推，1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y与分裂次数x的函数解析式是什么？生：。师：对于每一个给定的x值，有且只有一个y值与之相对应，我们从表中也可以看出。如果反过来，给你细胞个数是8，它的分裂次数是多少？生：3。师：分裂次数x能不能用含细胞个数y的代数式来表示呢？生：分裂次数x可以表示为师：我们发现对于每一个细胞个数y，有唯一的分裂次数x与之相对应，因此x是y的函数。师：我们再来看问题二：问题二：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，人们获得了生物体内碳14含量p与死亡年数t之间的关系可以表示为：。对于每一个碳14含量p，通过关系式：都有唯一的年数t与它对应，同样t是p的函数。我们来看问题一和问题二中的两个函数，自变量y和自变量p在对数式的什么位置？ 生：真数位置。师：并且它们的底数都是常数，我们把它们的底数都记为a,观察底数有什么不同之处呢？生：问题一中底数a1,问题二中底数0a0且a1)叫做对数函数。师：对于底数a，同样必须满足a0且a1的条件。思考对数函数定义域是什么？生：定义域是（0，+）。师：值域是什么？生：值域是R。例1：求下列函数的定义域（1） （2）师：求函数的定义域要注意那些问题？生：（1）分母不能为0；（2）偶次根号下，被开方数非负；（3）0的0次幂没有意义。师：还有没有其他限制？生：对数的真数大于0。师：好，我们现在来看这题，其实是考查对数函数的定义域，与底数无关，只要满足真数大于0就可以了。（利用多媒体演示解题过程）二. 对数函数的图象和性质：同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。在同一坐标系内画出函数和的图象。师：画函数都有哪些步骤呢？生：列表、描点、连线。师：对。我们学习一种新的基本初等函数时，都是采用描点法画出其函数图象，在画图时，首先要列出x、y的对应值表，然后用描点法画出函数图象。（利用多媒体演示解题过程）x1/21248-10123x1/2124810-1-2-3 x=1(1,0)0对数函数图象也分a1和0a1两类。现在我们观察对数函数的图象，并对照指数函数的图象特征，分析对数函数的图象特征，从而得到对数函数的性质。请同学们先观察这两个对数函数的图象有哪些共同的特征。生：图象都在y轴的右方。师：由此可以说明对数函数具有什么性质呢？生：自变量x0。师：很好。从图象上看，曲线都在y轴的右方，并且向左与x轴无限的接近，也就是对数函数的定义域是（0，+）。同时曲线向上向下无限的延伸，说明函数的值域是R。继续观察还有什么共同的特点？生：图象都经过一个点。师：这个点的坐标是什么？生：（1，0）师：这说明什么呢？生：当x=1时，y=0。师：对。在对数函数中，当x=1时，( a0且a1 )。现在我们再观察这两个函数图象有什么不同点呢？生：当底数a1时，对数函数图象是上升的；当底数0a1时，对数函数图象是下降的。师：由此可以说明对数函数具有什么性质呢？生：当底数a1时，对数函数在（0，+）上递增；当底数0a1时，对数函数在（0，+）上递减。师：请继续分析。生：当底数a1时，在区间（0，1）上图象在x轴的下方，在区间（0，+）上图象在x轴的上方；当底数0a1时，图象正相反。师：由此可以说明对数函数具有什么性质呢？生：当底数a1时，若0x1，则y0，若x1，则y0；当底数0a1时，若0x1，则y0，若x1，则y0。我们通过观察图象的特征，归结如下：图象a10a10（1,0）0（1,0）图象特征(1)图象都在y轴的右方函数性质(1) 定义域是（0，+）；值域是R(2) 图象都经过（1，0）点(2) 过定点（1，0），即x=1时，y=0(3) 当a1时，图象上升；当0a1时，图象下降(3) 当a1时，为增函数；当0a1时，为减函数(3) 当a1时，在（0，1）内图象在x轴的下方，在（0，+）内图象在x轴的上方；当0a1时，图象正相反(4) 当a1时，若0x1，则y0，若x1，则y0；当0a1时，若0x1，则y0，若x1，则y0师：我们知道底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称,观察对数函数和的图象，我们有什么发现？生：他们的图象关于x轴对称。师：可以得到什么结论？生：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。师：对数函数是奇函数或是偶函数么？生：不是。师：为什么？生：对数函数的图象既不关于y轴对称又不关于原点对称。师：我们可以得到什么结论？生：对数函数既不是奇函数又不是偶函数。对数函数的其他性质：1 对数函数和对数函数的图象关于x轴对称；2对数函数是非奇非偶函数。师：根据上述结论，我们知道对数函数的图形和性质视a1和0a1而不同，在对数函数的性质中，性质(3)是对数函数的核心性质。因此，今后我们在处理对数函数的问题时，要特别注意它们的底数的取值范围，从而得到相应的结论。例2：比较下列各组中两个数的大小：（1） （2）（3）师：请同学们观察这三组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小？生：这三组数都是对数。每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数单调性来比较它们的大小师：请同学们回忆我们是分哪几步来比较两个指数式的大小的？生：建模确定所考查的函数；判定判定所考查的函数的单调性；比较比较它们真数的大小，从而得到两个指数式的大小关系。师：很好。针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在（0，+）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小。（多媒体演示）师：好。请同学简答（2）中两个数的比较过程，并说明理由。生：因为函数在（0，+）上是减函数，又因为1.82.7，所以师：对。（3）题中的底数和（1）、（2）题有什么不同呢？生：底数不是一个确定的实数。师：这时候能不能直接进行比较呢？生：不能。师：该怎么办？生：分情况讨论。师：分哪两种情况？生：a1和0a1两种情况讨论。（师生共同完成解题过程）上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小。当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数对于a1的对数函数在定义域内是增函数；对于0a1的对数函数在定义域内是减函数。只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小。思考题：比较下列两个数的大小：师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小。这种问题在比较两个指数式的大小时遇到过么？我们是如何解决这个问题的？生：借助中间变量1。师：我们仍然借助中间变量1，通过分别比较两个对数与1的大小，得到两个对数的大小关系。因为，所以。总结：比较两个对数式的大小，若底数相同，直接利用对数函数的单调性进行比较；若底数和真数都不同，借助中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小。通常引入中间变量1或0。例3：已知下列不等式，比较两个数m、n的大小：（1） （2）( a0且a1 )师生共同探讨，过程略。三课堂练习p81 # 3 (简要讲解)四课堂小结1. 正确理解对数函数的定