几种谐振动模型的讨论与求解.doc

几种谐振动模型的讨论与求解研究性学习课题类别：中学物理研究小组成员：纪正数学预备知识1.微分：2.常系数高阶线性微分方程的解法（此处只给出特征方程解法）对于n阶线性常系数微分方程，其特征方程 （*）假设在复数域内有n个不同的解：则该线性常微分方程的通解为由于之后推导公式需要，给出引理引理 若方程（*）的解中有两个共轭复根，则利用欧拉公式，因为解之间是线性无关的，所以取实部和虚部，就得到两个实值解和，它们与原有的n-2个实值解构成了一个实的基本解组.所以，原方程的通解是（以上皆为任意常数）3.取近似（1）（2）弹簧振子模型1. 基本公式推导（1）如图1-1(a)所示 光滑水平面上有一弹簧一端固定在墙壁上，另一端固定一个质量为m的物块，弹簧的劲度系数为k. 现将物块向右移动一小段距离A，如图1-1(b)所示，松开手，让物块开始运动，此时物块的动力学方程为，则可得即解该微分方程的特征方程得（）由引理结论，则微分方程的通解为由初始条件t=0时，解得，.所以，微分方程在此时的特解为所以速度大小为即表示，该振动的周期为，振幅为A，振动过程中物块最大速度为.（2）弹簧的串联若两个弹簧首尾相接（串联）且劲度系数分别为，则连接后的弹簧的劲度系数为.若两个弹簧并排连接（并联）且劲度系数分别为，则连接后的弹簧的劲度系数为.以上公式以及说明即为以后常用公式.第一类模型 二体弹簧振子模型ABCD A（最基本模型）如图1-2(a)图所示，无限大的光滑水平面上，有两个相同的物块用弹簧连接在一起，物块质量均为m，弹簧的劲度系数为k，弹簧原长为。将这两个物块拉开一段距离2A。求解其运动方程以及其振动周期。【分析与解】二体运动一般可以在质心系中进行求解。本模型中两个物块的质量相同，所以质心在两物块连线中点，以质心建立质心参考系，如图1-2(b)所示。初始条件为：t=0时刻有由弹簧谐振子运动方程即解之可得所以B（A模型延展）图1-3（b） 将A模型中的物块质量改为M，m，其他条件不变，如图1-3(a)所示。现将其拉开距离A，仍求解运动方程和周期。【分析与解】此时两物块的质心位置发生变化，但方程的求解方式不变，仍以质心建立质心参考系，如图1-3(b)所示。初始条件为t=0时刻同A模型解法，可得所以.C（模型B的延展）图1-4Mm B模型中物块质量、弹簧劲度系数均不变，物块与水平面之间的摩擦系数均为。开始时，弹簧处于原长，静止，而以的速度拉伸弹簧。如图1-4所示。求弹簧最大的伸长量。【分析与解】在以速度拉伸弹簧时，可能被拉动，也可能未被拉动。此处只讨论被拉动的请况，可以知道，当时，可以被拉动。（1）从初始状态到将要被拉动时的状态，根据机械能守恒和受力分析，可得（2）这之后，开始运动，以为参考系，利用二体修正可得其中是相对加速度利用初始条件t=0和简谐运动方程组可以解得易得最大伸长量满足带入解得 D（模型C的延伸） 将模型C中的物块摩擦系数，改为，与水平面摩擦系数分别为。拉动的速度改为。仍求弹簧最大伸长量。（1） 若则由二体修正可得将上式变形可得设则由能量守恒和谐振动方程和初始条件t=0时刻，可以解得（2）同理，当时，第二类模型 类简谐振动模型 这一类模型满足位移变量（如角位移变量等）与位移变量对时间的二阶导数（如角加速度等）的关系如下则可得其中由初始条件（t=0时刻）给出.主要模型 微摆动模型如图2-1所示，一根长为的轻质细杆上，有质量为的两个小球分别固定在细杆的末端和距离末端的位置。求此时微小摆动摆动的周期。【分析与解】由角动量定理得式中已经利用对其近似,其中为关于细杆顶端的力矩，为整个摆相对于细杆顶端的转动惯量.因为是的二阶导数，属与类简谐振动类型由上