高等工程数学练习题及答案.doc

高等工程数学练习题 （2012年12月16）1. 位男士和位女士排成一行，要求男女相间，求有多少种不同的排法？把n个男、n个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2(n!) 个2. 个人围圆圈坐下做游戏，求不同的坐法数？若某两人不愿坐在一起，有多少种不同的坐法? 若有3人总是坐在一起，又有多少种不同的坐法？A: Q(n ,n)=(n-1)!;B: Q(n ,n)- Q(n-1,n-1) *2！=(n-1)!- (n-2)! *2！C: Q(n-2,n-2) *3！= (n-3)! *3！3. 书架上有一部24卷的百科全书，现要从中取出5本，使得没有两本书是连续的，问有多少种不同的取法？C(24-5+1,5)=C(20,5)4. 设 （1）证明最大元素恰为的子集的个数是；（2）证明：A、最大元素恰为的子集的个数，相当于前j-1个元素，每个元素出现或不出现的情况构成的所有子集的数量，每个元素出现或不出现2种可能，因此j-1个2相乘即为所有的情况，即。B:等比数列a1=2,q=2右侧为1+(2*（1-2m）/1-2)=2(m+1)-2+1=2(m+1)-1=左侧5. 证明等式: C(n 0)*C(n 0)=C(n 0)*C(n n);C(n 1)*C(n 1)=C(n 1)*C(n n-1);C(n k)*C(n k)=C(n k)*C(n n-k) ,K=0nC(n k)相当于（0 0）到直线（n 0）(0 n)上的某点（n-k,k）的路径C(n n-k) 相当于直线（n 0）(0 n)上的某点（n-k,k）到（n n）的路径根据乘法原理 C(n k)*C(n n-k)相当于（0 0）点通过直线（n 0）(0 n)上的某点（n-k,k）到（n n）的路径左侧为（0 0）点通过直线（n 0）(0 n)上所有点到（n n）的路径相加由于（0 0）点到达（n n）的所有路径均通过直线（n 0）(0 n)，所以根据加法原理左侧为（0 0）点到（n n）的所有路径即等于（2n n）6. 证明恒等式： （-r-1,0）到(-1,i)路径为c(r+i,i)(-1,i)到(0,i)路径为1(0,i)到(n-m,m)路径为c(n-i.m-i)根据乘法原理，c(r+i,i) c(n-i.m-i)为（-r-1,0）经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径左侧为i取0至m，（-r-1,0）经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径之和，右侧围（-r-1,0）到(n-m,m)点的路径左右相等7. 求不定方程的非负整数解的个数；设，求不定方程的正整数解的个数. C（n+r-1,r）C(n+r-n-1,r-n)=c(r-1,r-n),相当于每盒先放一个球，球数量变成r-n，再求解。8. 求集合完全可重排列数.n=14 r=14N=14!/(3!*4!*3!*4!)9. 试求个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案?相当于n个球放入6个不一样的盒子，C(n+6-1,n)10. 设凸边形的任意三条对角线不共点, 试求这个凸边形的对角线交于多少个点?每个交点只有两个对角线通过，对应了4个顶点所组成的一个组合，不同的交点对应的组合也不相同，故共有C(n,4)个交点11. 求由组成的长为的允许重复的排列中, 至少出现一次的排列的数目.|A|=|B|=3n|AB|=2n|S|=4n=4n-2*3n+2n12. 在10个数的全排列中: (1) 恰有4个数在原来位置上的排列数; (2) 至少有3个数在原来位置上的排列数; (3) 恰有个数不在原来位置上的排列数; (4) 奇数都在奇数位上, 偶数都在偶数位上, 但没有一个数在原来位置上的排列的个数.1、C(10,6)D62、10!-C(10,8)D8 相当于减去1、2个数的错排3、C(10,3)D34、相当于2组5个数错排的乘法D5*D513. 求解下列递推关系式: (1) X2+14X+49=0 X=-7是二重根 An=（A+Bn）(-7)n (2) X2-12x+27=0X=3 x=9An=a3n+b9na+b=-13a+9b=1a=-5/3b=2/3an=-5*3(n-1)+2*3(2n-1) (3) X3+6x2+12X+8=0X3+4x2+2x2+8x+4x+8=0X2(x+2)+4x(x+2)+4(x+2)=0(X+2)(x2+4x+4)=0(X+2)(x+2)2=0(x+2)3=0X=-2是三重根An=(a+bn+cn2)(-2)n1=(a+0+0)12=(a+b+c)*(-2)4=(a+2b+4c)4a=1,b=-4,c=2an=(1-4n+2n2)*(-2)n (4) X4+x3-3x2-5x-2=0X4+x3-3x2-3x-2x-2=0X3(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)=0(x+1)(x3-3x-2)=0(x+1)(x2-3)(x+1)-(x2-1)=0(x+1)( (x2-3)(x+1)-(x+1)(x-1)=0(x+1)(x+1)(x2-3-x+1)=0(x+1)(x+1)(x+1)(x-2)=0X1=x2=x3=-1,x4=2An=(a+bn+cn2)(-1)n+d2na+d=12d-a-b-c=24d+a+2b+4c=18d-a-3b-9c=1a=16/27,b=-53/18,c=7/6,d=11/27an=(16/27-53n/18+n2(7/6)(-1)n+(2n)(11/27) (5) ; 设an=p5nP5n-4p5n-1=5nP=5所以an=5 (n+1) (6) .An=pn2+qnPn2+qn-p(n-1)2-q(n-1)=4n+1P=2,q=3An=2n2+3n14. 求从1到500的正整数中被3或7整除的数的个数.容斥原理：|AB|=|A|+|B|-|AB|500/3+500/7-500/21=166+71-23=21415. 求1,2,3,5,7,9五个数字组成的位数的个数, 要求其中1,2出现偶数次, 3,5出现奇数次, 7,9没有限制.G(x)=(1+x2/2!+x4/4!+)2*(x+x3/3!+x5/5!+)2*(1+x+x2/2!+x3/3!+)2=(ex+e(-1)2/2*(ex-e(-1)2/2*(ex)2=(1/16)*(e6x-2e2x+e(-2)x)an=(6n-2(n+1)+(-2)n)/1616. 复习第二类数的性质. 复习资数中鸽笼原理部分的例题.17. 四位小朋友排成一行, 但不愿排在第二位, 不愿排在第三位和第四位, 不愿排在第一位, 不愿排在第二位和第三位, 求不同的排法数.A1=x1在第二位、a2=x2在第三和第四位、a3=x3在第一位、a4=x4在第二位和第三位|A1a2a3a4|=n-|a1a2a3a4|=4!-(|a1|+|a2|+|a3|+|a4|-|a1a2|-|a1a3|-|a1a4|-|a2a3|-|a2a4|-|a3a4|+|a1a2a3|+|a1a2a4|+|a1a3a4|+|a2a3a4|-|a1a2a3a4|)=4!-(3!+2*3!+3!+2*3!-2*2!-2!-2!-2*2!-(2!+2*2!)-2*2!+2+1+1+(2+1)-1)=24-(6+12+6+12-4-2-2-4-6-4+2+1+1+3-1)=418. 设集合的基数为, 求的值.2n19. 设集合的一个分划是, 试写集合上对应于以上分划的等价关系.Ia20. 设是正整数, 在上规定关系为: , 证明是上的一个等价关系. xRyxy(modn)n|x-y|1、自反：n|x-x|xRx2、传递：xRyx-y=kn,yRzy-z=ln ,x-z=kn+y+ln-y=(k+l)nn|x-z|xRz3、对称：xRyx-y=kn，y-x=-knn|y-x|yRx所以R是上的一个等价关系21. 证明代数系统与同构, 其中和分别是普通的数的加法和乘法.设映射f:R-R+为f(x)=10x对于任何yR+ 存在x=lgy使f(x)=y,所以f是R-R+的满射；任意x，yR，如果10x=10y,则x=y，所以f是R-R+的单射，所以f是R-R+的双射，又由于f(x+y)=10(x+y)=10x*10y=f（x）*f(y),所以f是R到R+的同构映射，即RR+22. 设, 试写出的对称群和交代群.对称群：(1),(23),(24),(12),(34),(13),(14),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(1234),(1342),(1243),(1324),(1432),(1423),(12)(34),(13)(24),(14)(23)交代群：(1),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(12)(34),(13)(24),(14)(23)23. 试把置换表成不相交循环的乘积, 并表示成对换的乘积.(1,10,3,7,9,6,8,2)(4,5)=(1,2)(1,8)(1,6)(1,9)(1,7)(1,3)(1,10)(4,5)24. 试证明和均为循环群, 并分别求出其一个生成元.整数加群的e为0，a(-1)=-a , an=naa=1 时 1n=n nZ 所以整数加群是无限循环群 其中一个生成元是1a=-1 时 an=-n nZ 所以-1是其另一个生成元模n加群元素为0,1,2,n-1ak=(ka)mod(n) a=1时 1k=(k)mod(n) 10=0,11=1,12=2,1(n-1)=n-1 kZn 1kZn所以模n加群是循环群 1是他的一个生成元 25. 证明是域的充分必要条件是为素数.反证法：若n=ab a,b（Zn，+,.） a1 b1 则a是左零因子，b是