山西省大同一中高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年山西省大同一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1已知两条直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）a2b1c0d12直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）a1b2c4d43已知三角形abc是边长为2a的正三角形，那么它的平面直观图的面积是（）a 2b 2c 2d a24已知两条直线m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正确命题的序号是（）abcd5如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）a9b10c11d126已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）abc2d47直线x2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）ax+2y1=0b2x+y1=0c2x+y3=0dx+2y3=08如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则ac1与平面a1b1c1d1所成角的正弦值为（）abcd9过点p（1，1）的直线，将圆形区域（x，y）|x2+y24分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）ax+y2=0by1=0cxy=0dx+3y4=010若直线=1与图x2+y2=1有公共点，则（）aa2+b21ba2+b21cd11直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，ab=ac=aa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于（）a30b45c60d9012己知球的直径sc=4，a，b是该球球面上的两点ab=2，asc=bsc=45，则棱锥sabc的体积为（）abcd二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）13直线l：y3=k（x+1）必经过定点14已知点p（2，1），q（2，2），过点（0，5）的直线l与线段pq有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是15若三点a（，），b（a，0），c（0，b） （ab0）共线，则+的值等于16在三棱住abca1b1c1中，bac=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设m，n，p分别是ab，bc，b1c1的中点，则三棱锥pamn的体积是三、简答题（共6个小题，每小题8分，共48分）17圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长18设在abc中，两条高所在直线的方程分别为2x3y+1=0和x+y=0，且它的一个顶点是a（1，2），求b、c的坐标19已知abc的一个顶点a（2，1），abc的外角平分线是x=0，acb的内角平分线是y=3x，求直线bc的方程20如图，直四棱柱abcda1b1c1d1中，abcd，adab，ab=2，ad=，aa1=3，e为cd上一点，de=1，ec=3（1）证明：be平面bb1c1c；（2）求点b1到平面ea1c1 的距离21如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab=16，bc=10，aa1=8，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1e=d1f=4，过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线af与平面所成角的正弦值22在平面直角坐标系xoy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（xr）与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为c（1）求实数b的取值范围；（2）求圆c的方程；（3）问圆c是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论2015-2016学年山西省大同一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1已知两条直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）a2b1c0d1【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直am+bn=0解之即可【解答】解：由y=ax2，y=（a+2）x+1得axy2=0，（a+2）xy+1=0因为直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，所以a（a+2）+1=0，解得a=1故选d【点评】本题考查两直线垂直的条件2直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）a1b2c4d4【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求【解答】解：由x2+y22x4y=0，得（x1）2+（y2）2=5，所以圆的圆心坐标是c（1，2），半径r=圆心c到直线x+2y5+=0的距离为d=所以直线直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为故选c【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题3已知三角形abc是边长为2a的正三角形，那么它的平面直观图的面积是（）a 2b 2c 2d a2【考点】平面图形的直观图【专题】计算题【分析】求出三角形的面积，利用平面图形的面积是直观图面积的2倍，求出直观图的面积即可【解答】解：由三角形abc是边长为2a的正三角形，三角形的面积为： =；因为平面图形的面积与直观图的面积的比是2，所以它的平面直观图的面积是： =2故选c【点评】本题是基础题，考查平面图形与直观图的面积的求法，考查二者的关系，考查计算能力4已知两条直线m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正确命题的序号是（）abcd【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由题意用线面垂直和面面平行的定理，判断线面和面面平行和垂直的关系【解答】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断正确；中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；中，用线面平行的判定定理知，n可以在内；故选c【点评】本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题5如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）a9b10c11d12【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为s=412+122+213=12故选d【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题6已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）abc2d4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体v=2sh=r2h=2（）2=故选：b【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力是基础题7直线x2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）ax+2y1=0b2x+y1=0c2x+y3=0dx+2y3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2x，y）在直线x2y+1=0上，2x2y+1=0化简得x+2y3=0故选答案d解法二：根据直线x2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案a或d，再根据两直线交点在直线x=1选答案d故选d【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题还有点斜式、两点式等方法8如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则ac1与平面a1b1c1d1所成角的正弦值为（）abcd【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题【分析】由题意连接a1c1，则ac1a1为所求的角，在ac1a1计算【解答】解：连接a1c1，在长方体abcda1b1c1d1中，a1a平面a1b1c1d1，则ac1a1为ac1与平面a1b1c1d1所成角在ac1a1中，sinac1a1=故选d【点评】本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系9过点p（1，1）的直线，将圆形区域（x，y）|x2+y24分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）ax+y2=0by1=0cxy=0dx+3y4=0【考点】直线与圆相交的性质【专题】计算题【分析】法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积=2，要求面积差的最大值，即求的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当opab时，最小，可求法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点p的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线op垂直即可由此能求出直线的方程【解答】解法一：设过点p（1，1）的直线与圆分别交于点a，b，且圆被ab所分的两部分的面积分别为s1，s2且s1s2劣弧所对的圆心角aob=，则saob=2saob，s2=42+saob（0）要求面积差的最大值，即求的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当opab时，最小此时kab=1，直线ab的方程为y1=（x1）即x+y2=0故选a解法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点p的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线op垂直即可又已知点p（1，1），则kop=1，故所求直线的斜率为1又所求直线过点p（1，1），由点斜式得，所求直线的方程为y1=（x1），即x+y2=0故选a【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，解题的关键是根据扇形的面积公式把所要求解的两面积表示出来10若直线=1与图x2+y2=1有公共点，则（）aa2+b21ba2+b21cd【考点】直线与圆的位置关系【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：dr故选d【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题11直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，ab=ac=aa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【专题】常规题型【分析】延长ca到d，根据异面直线所成角的定义可知da1b就是异面直线ba1与ac1所成的角，而三角形a1db为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长ca到d，使得ad=ac，则ada1c1为平行四边形，da1b就是异面直线ba1与ac1所成的角，又a1d=a1b=db=ab，则三角形a1db为等边三角形，da1b=60故选c【点评】本小题主要考查直三棱柱abca1b1c1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题12己知球的直径sc=4，a，b是该球球面上的两点ab=2，asc=bsc=45，则棱锥sabc的体积为（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【专题】计算题【分析】由题意求出sa=ac=sb=bc=2，sac=sbc=90，说明球心o与ab的平面与sc垂直，求出oab的面积，即可求出棱锥sabc的体积【解答】解：如图：由题意球的直径sc=4，a，b是该球球面上的两点ab=2，asc=bsc=45，求出sa=ac=sb=bc=2，sac=sbc=90，所以平面abo与sc垂直，则进而可得：vsabc=vcaob+vsaob，所以棱锥sabc的体积为： =故选c【点评】本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心o与ab的平面与sc垂直是本题的解题关键，常考题型二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）13直线l：y3=k（x+1）必经过定点（1，3）【考点】过两条直线交点的直线系方程【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；直线与圆【分析】随着实数k取不同的值，直线l：y3=k（x+1）表示不同的直线，而这一系列直线经过同一个定点因此取两个特殊的k值，得到两条相交直线，将它们的方程联解得到交点坐标，即为所求直线l：y3=k（x+1）恒过的定点【解答】解：取k=0，得方程为y3=0，此时对应的直线设为l1； 再取k=3，得方程为y3=3x3此时对应的直线设为l2联立，得x=1且y=3，所以直线l1与l2交于点p（1，3）p点即为所求直线l：y3=k（x+1）恒过的定点（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题给出动直线恒过定点，要我们求直线恒过的定点坐标，着重考查了直线的方程及点与直线位置关系等知识，属于基础题14已知点p（2，1），q（2，2），过点（0，5）的直线l与线段pq有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k2或k【考点】直线的斜率【专题】数形结合；综合法；直线与圆【分析】根据题意，画出图形，结合图形，求出直线ap、aq的斜率，从而求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示：直线ap的斜率是kap=2，直线bp的斜率是kqa=，直线l的斜率应满足kkap或kkaq，即k2或k时，直线l与线段pq相交；故答案为：k2或k【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目15若三点a（，），b（a，0），c（0，b） （ab0）共线，则+的值等于4【考点】基本不等式；三点共线【专题】方程思想；整体思想；分析法；不等式的解法及应用【分析】题目转化为a（，）在直线bc： +=1上，代值变形可得答案【解答】解：三点a（，），b（a，0），c（0，b）共线，a（，）在直线bc： +=1上，代值可得+=4，故答案为：4【点评】本题考查三点共线，涉及直线的截距式方程，属基础题16在三棱住abca1b1c1中，bac=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设m，n，p分别是ab，bc，b1c1的中点，则三棱锥pamn的体积是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥pamn的体积即可【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为np=1，底面amn的面积是底面三角形abc的，所求三棱锥pamn的体积是： =故答案为：【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力三、简答题（共6个小题，每小题8分，共48分）17圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长【考点】简单组合体的结构特征【专题】计算题；作图题【分析】画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可【解答】解：过圆锥的顶点s和正方体底面的一条对角线cd作圆锥的截面，得圆锥的轴截面sef，正方体对角面cdd1c1，如图所示设正方体棱长为x，则cc1=x，c1d1=作soef于o，则so=，oe=1，ecc1eos，即，即内接正方体棱长为cm【点评】本题考查组合体的结构特征，考查三角形相似，空间想象能力，是中档题18设在abc中，两条高所在直线的方程分别为2x3y+1=0和x+y=0，且它的一个顶点是a（1，2），求b、c的坐标【考点】直线的一般式方程【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】判断点a不在两条高线，由高线求出ab、ac边所在直线的斜率再把点a的坐标代入点斜式方程，化简求出ab、ac边所在直线的方程，联立高线方程求出b、c的坐标即可【解答】解：（1）a（1，2）点不在两条高线2x3y+1=0和x+y=0上，ab、ac边所在直线的斜率分别为和1，代入点斜式得：y2=（x1），y2=x1ab、ac边所在直线方程为3x+2y7=0，xy+1=0由解得x=2，y=1，c（2，1）、同理可求 b（7，7）【点评】本题考查了求直线方程和联立直线方程求交点坐标，考查学生的运算能力，是一道基础题19已知abc的一个顶点a（2，1），abc的外角平分线是x=0，acb的内角平分线是y=3x，求直线bc的方程【考点】直线的一般式方程【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】只需求出a点关于直线y=3x和直线x=0的对称点，从而求出所求直线的方程即可【解答】解：a点关于x=0，y=3x的对称点均在直线bc上，设a（2，1）关于直线y=3x的对称点a2（m，n），解得a2（1，2），a（2，1）关于x=0对称点a1（2，1），直线a1a2的方程是： =，bc的方程是：xy+3=0【点评】本题考查了求直线的方程问题，是一道基础题20如图，直四棱柱abcda1b1c1d1中，abcd，adab，ab=2，ad=，aa1=3，e为cd上一点，de=1，ec=3（1）证明：be平面bb1c1c；（2）求点b1到平面ea1c1 的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）过点b作bfcd于f点，算出bf、ef、fc的长，从而在bce中算出be、bc、ce的长，由勾股定理的逆定理得bebc，结合bebb1利用线面垂直的判定定理，可证出be平面bb1c1c；（2）根据aa1平面a1b1c1，算出三棱锥ea1b1c1的体积v=根据线面垂直的性质和勾股定理，算出a1c1=ec1=3、a1e=2，从而得到等腰a1ec1的面积=3，设b1到平面ea1c1 的距离为d，可得三棱锥b1a1c1e的体积v=d=d，从而得到=d，由此即可解出点b1到平面ea1c1的距离【解答】解：（1）过点b作bfcd于f点，则：bf=ad=，ef=ab=de=1，fc=ecef=31=2在rtbef中，be=；在rtbcf中，bc=因此，bce中可得be2+bc2=9=ce2cbe=90，可得bebc，bb1平面abcd，be平面abcd，bebb1，又bc、bb1是平面bb1c1c内的相交直线，be平面bb1c1c；（2）aa1平面a1b1c1，得aa1是三棱锥ea1b1c1的高线三棱锥ea1b1c1的体积v=aa1=在rta1d1c1中，a1c1=3同理可得ec1=3，a1e=2等腰a1ec1的底边a1c1上的中线等于=，可得=2=3设点b1到平面ea1c1的距离为d，则三棱锥b1a1c1e的体积为v=d=d，可得=d，解之得d=即点b1到平面ea1c1的距离为【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题21如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab=16，bc=10，aa1=8，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1e=d1f=4，过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线af与平面所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角【专题】空间角；空间向量及应用【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线da，dc，dd1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定a，h，e，f几点的坐标设平面efgh的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线af与平面efgh所成角为，由sin=即可求得直线af与平面所成角的正弦值【解答】解：（1）交线围成的正方形efgh如图：（2）作emab，垂足为m，则：eh=ef=bc=10，em=aa1=8；，ah=10；以边da，dc，dd1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：a（10，0，0），h（10，10，0），e（10，4，8），f（0，4，8）；设为平面efgh的法向量，则：，取z=3，则；若设直线af和平面