2014-2015年选修2-1-11.2.2.ppt

第2课时充要条件的应用 1 充要条件 1 定义 若p q且q p 则记作p q 此时p是q的充分必要条件 简称充要条件 2 条件与结论的等价性 如果p是q的充要条件 那么q也是p的 2 互为充要条件如果 那么p与q互为充要条件 充要条件 p q 1 判一判 正确的打 错误的打 1 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 2 若p是q的充要条件 则命题p和q是两个相互等价的命题 3 若pq和qp有一个成立 则p一定不是q的充要条件 解析 1 当p是q的充要条件时 p q 且q p 故说成q成立当且仅当p成立 这种说法正确 2 若p是q的充要条件 p q 即p等价于q 故此说法正确 3 若pq或qp 则p不是q的充分条件 或p不是q的必要条件 故此说法正确 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 x2 1 的充要条件是 2 若p是q的充要条件 q是r的充要条件 则p是r的 3 三角形是等边三角形 的充要条件是 解析 1 因为x2 1 1 x 1 所以x2 1的充要条件是 1 x 1 答案 1 x 1 2 因为p q q r 所以p r 所以p是r的充要条件 答案 充要条件 3 因为 三边相等的三角形 与 三角形是等边三角形 是等价的 所以 三角形是等边三角形 的充要条件是 三角形的三边相等 答案 三角形的三边相等 要点探究 知识点充要条件1 对充要条件的两点说明 1 p是q的充要条件意味着 p成立 则q一定成立 p不成立 则q一定不成立 2 p是q的充要条件 则q也是p的充要条件 2 常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为 若p 则q 逆命题为 若q 则p 那么p与q的关系有以下四种情形 3 从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 其中p A x p x 成立 q B x q x 成立 知识拓展 等价命题的转化与充要条件由于p是q的充要条件和p与q等价是一致的 因而我们可以通过这一结论将我们所有证明判定的结论和利用的条件进行转化 即我们可以把命题p转化为命题q来证明判定 这就是数学上重要的转化思想 微思考 1 从命题的角度理解等价符号 的意义是什么 提示 表示连接的两个命题互为逆命题且同为真 2 p是q的充要条件 与 p的充要条件是q 的区别在哪里 提示 p是q的充要条件说明p是条件 q是结论 p的充要条件是q说明q是条件 p是结论 即时练 1 2014 兰州高二检测 x 1 是 x2 1 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2 向量a与非零向量b共线的充要条件为 A a 0B a与b方向相同C a与b方向相反D 存在k R 使a kb 解析 1 选A 因为x2 1 x 1或x1 x2 1 但x2 1x 1 故选A 2 选D 选项A B C中 都是向量a与非零向量b共线的充分条件 选项D中 存在k R 使a kb 是向量a与非零向量b共线的充要条件 题型示范 类型一充要条件的判断 典例1 1 m 是 一元二次方程x2 x m 0无实数解 的 A 充分不必要条件B 充要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件 2 下列所给的p q中 p是q的充要条件的所有序号为 p x 1 q lnx 0 p a2 b2 q a b p x 3 q x2 9 p x y 0 q x2 y2 解题探究 1 题 1 中一元二次方程x2 x m 0有实根的条件是什么 无实根的条件是什么 2 题 2 中对每组的两个命题p q 判断p是否是q的充要条件 关键看什么 探究提示 1 一元二次方程x2 x m 0有实根的条件是 1 4m 0 即m 无实根的条件是 1 4m 2 关键看p能否推出q 及q能否推出p 自主解答 1 选B 方程x2 x m 0无实根 1 4m 2 由于p x 1 q lnx 0 所以p是q的充要条件 由于p a2 b2q a b 所以p不是q的充要条件 由于p x 3 q x2 9 所以p是q的充要条件 由于p x y 0q x2 y2 所以p不是q的充要条件 答案 延伸探究 本例 1 中 m 若换为m 所以方程x2 x m 0无实根m 而m 方程x2 x m 0无实根 所以 m 是 一元二次方程x2 x m 0无实根 的既不充分也不必要条件 方法技巧 判断p是q的什么条件的两种思路 1 命题角度 判断p是q的什么条件 主要是判断p q及q p这两个命题是否成立 若p q成立 则p是q的充分条件 同时q是p的必要条件 若q p成立 则p是q的必要条件 同时q是p的充分条件 若二者都成立 则p与q互为充要条件 2 集合角度 关于充分条件 必要条件 充要条件 当不容易判断p q及q p的真假时 也可以从集合角度去判断 结合集合中 小集合 大集合 的关系来理解 这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的 变式训练 2014 合肥高二检测 已知a b c R 问 b2 ac 是 a b c成等比数列 的条件 解析 若b2 ac 则a b c不一定成等比数列 比如 a b c 0 即b2 aca b c成等比数列 但是a b c成等比数列 b2 ac 故是必要不充分条件 答案 必要不充分 误区警示 解答本题易出现认为b2 ac是a b c成等比数列的充要条件 导致出现这种错误的原因是忽略了等比数列中每一个数不能为0 补偿训练 设a b c R 则 ac2 bc2 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选A 因为ac2 bc2 a b 但a bac2 bc2 比如c 0时 ac2 bc2不成立 所以是充分不必要条件 类型二充要条件的求解与证明 典例2 1 2013 南昌高二检测 关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负的实根的充要条件是 2 已知ab 0 求证a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 解题探究 1 题 1 中方程ax2 2x 1 0一定是一元二次方程吗 为什么 2 题 2 中证明命题中的条件与结论各是什么 探究提示 1 方程ax2 2x 1 0不一定是一元二次方程 当a 0时是一元一次方程 当a 0时是一元二次方程 2 命题中条件是a3 b3 ab a2 b2 0 结论是a b 1 自主解答 1 当a 0时 原方程化为2x 1 0 此时根为x 满足条件 设f x ax2 2x 1 当a 0时 因为方程的常数项为1不为0 方程没有零根 若方程有两异号的实根x1 x2 则x1x2 0 即a 0 若方程有两个负的实根x1 x2 则需满足 解得0 a 1 综上 若方程至少有一个负的实根 则a 1 反之 若a 1 则方程至少有一个负的实根 因此 关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负的实根的充要条件是a 1 答案 a 1 2 先证必要性 因为a b 1 所以a3 b3 ab a2 b2 a b a2 ab b2 ab a2 b2 a2 ab b2 ab a2 b2 0 所以必要性成立 再证充分性 因为a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b a2 ab b2 a2 ab b2 0 所以 a b 1 a2 ab b2 0 又因为ab 0 所以a 0且b 0 从而a2 ab b2 0 所以a b 1 0 即a b 1 故充分性成立 所以a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 方法技巧 1 求充要条件的方法求一个问题的充要条件 就是利用等价转化的思想 使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合 这就要求我们转化的时候思维要缜密 2 充要条件的证明策略 1 要证明一个条件p是否是q的充要条件 需要从充分性和必要性两个方向进行 即证明两个命题 若p 则q 为真且 若q 则p 为真 2 在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明 证明p与q的解集是相同的 证明前必须分清楚充分性和必要性 即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论 变式训练 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是什么 并证明你的结论 解析 因为方程ax2 bx c 0有一个根为1 所以a b c 0 即关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 证明如下 充分性 因为a b c 0 所以a 12 b 1 c 0 所以方程ax2 bx c 0有一个根为1 必要性 因为方程ax2 bx c 0有一个根为1 所以a 12 b 1 c 0 所以a b c 0 补偿训练 设a b c为 ABC的三边 求证 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件是A 90 证明 充分性 因为A 90 所以a2 b2 c2 所以x2 2ax b2 0可化为 x2 2ax a2 c2 0 即 x a 2 c2 0 x a c x a c 0 所以x1 a c x2 a c 同理 x2 2cx b2 0可化为 x2 2cx c2 a2 0 即 x c 2 a2 0 x a c x c a 0 所以x3 a c x4 a c 所以两个方程有公共根 a c 必要性 设两个方程有公共根 则两式相加得 2 a c 0 若 0 代入任一方程得b 0 这与已知a b c为 ABC的三边相矛盾 所以 a c 代入上面方程组中任何一个式子 均可得a2 b2 c2 所以A 90 综上所述 关于x的方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件是A 90 规范解答 充要条件的求解问题 典例 12分 求使关于x的方程x2 2mx m2 m 2 0的两根都大于2的充要条件 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 解题时若忽略 处 0的条件 则会导致步骤不完整而失分 失分点2 对第一步的条件不等价转化导致结果不正确而失分 如将 处的条件不等价转化为则结果显然错误 悟题 提措施 导方向1 等价转化的意识对于不等式 组 的转化必须是等价的 否则求的就不是充要条件 由 x1 2 x2 2 x1 x2 4 x1x2 4 但反过来 x1 x2 4 x1x2 4x1 2 x2 2 例如 取x1 1 x2 5有x1 x2 4 且x1x2 4 但没有保证两个根都大于2 所以仅是方程的两根都大于2的必要条件 而不是充分条件 2 整体思想的应用意识利用一元二次方程的根与系数的关系 体现了 设而不求