（浙江专版）2018高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6节 双曲线教师用书.doc

第六节双曲线1双曲线的定义(1)平面内与两个定点f1，f2(|f1f2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c0.当2a|f1f2|时，m点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()a2b.c.d1d依题意，e2，2a，则a21，a1.3(2017台州质检)若双曲线e：1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线e上，且|pf1|3，则|pf2|等于()a11b9c5d3b由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|pf1|pf2|3|pf2|2a6，|pf2|9.4已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是() 【导学号：51062290】a(1,3)b(1，)c(0,3)d(0，)a原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.则因此1n0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为_x21由于2xy0是1的一条渐近线，2，即b2a，又双曲线的一个焦点为(，0)，则c，由a2b2c2，得a2b25，联立得a21，b24. 所求双曲线的方程为x21.双曲线的定义及应用(2017绍兴质检)已知双曲线x21的两个焦点为f1，f2，p为双曲线右支上一点若|pf1|pf2|，则f1pf2的面积为()a48b24c12d6b由双曲线的定义可得|pf1|pf2|pf2|2a2，解得|pf2|6，故|pf1|8，又|f1f2|10，由勾股定理可知三角形pf1f2为直角三角形，因此spf1f2|pf1|pf2|24.规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|pf1|pf2|2a平方，建立|pf1|pf2|间的联系变式训练1已知双曲线c的离心率为2，焦点为f1，f2，点a在c上若|f1a|2|f2a|，则cosaf2f1()a.b.c.d.a由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得|f1a|f2a|2a.又|f1a|2|f2a|，故|f1a|4a，|f2a|2a，cosaf2f1.双曲线的标准方程(1)(2017杭州二中模拟)已知双曲线c：1的离心率e，且其右焦点为f2(5,0)，则双曲线c的方程为()a.1b.1c.1d.1(2)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()a.y21bx21c.1d.1(1)c(2)a(1)由焦点f2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.双曲线c的标准方程为1.(2)由焦距为2得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.规律方法1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为ax2by21(ab0，b0)的右焦点是f，左、右顶点分别是a1，a2，过f作a1a2的垂线与双曲线交于b，c两点若a1ba2c，则该双曲线的渐近线为_. 【导学号：51062291】(1)a(2)xy0(1)如图，因为mf1x轴，所以|mf1|.在rtmf1f2中，由sinmf2f1得tanmf2f1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)由题设易知a1(a,0)，a2(a,0)，b，c.因为a1ba2c，所以1，整理得ab.因此该双曲线的渐近线为yx，即xy0.规律方法1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e1这一条件2双曲线中c2a2b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程变式训练3已知a，b为双曲线e的左，右顶点，点m在e上，abm为等腰三角形，且顶角为120，则e的离心率为()a.b2c.d.d不妨取点m在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|bm|ab|2a，mbx18012060，m点的坐标为.m点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选d.思想与方法1求双曲线标准方程的主要方法：(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为ax2by21(ab0)b.1(x0)c.1(y0)d.1(x0)b由题设知点p的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945.所以点p的轨迹方程为1(x0)4已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()a.b.c.d.a由题意知a，b1，c，f1(，0)，f2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点m(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00)的一条渐近线为xy0，则a_. 【导学号：51062293】双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.8已知双曲线e：1(a0，b0)，若矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且2|ab|3|bc|，则e的离心率是_2如图，由题意知|ab|，|bc|2c.又2|ab|3|bc|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2，并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)三、解答题9已知椭圆d：1与圆m：x2(y5)29，双曲线g与椭圆d有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆m相切，求双曲线g的方程解椭圆d的两个焦点为f1(5,0)，f2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.3分设双曲线g的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，8分又圆心m(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，12分双曲线g的方程为1.15分10已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点m(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求f1mf2的面积. 【导学号：51062294】解(1)e，则双曲线的实轴、虚轴相等设双曲线方程为x2y2.2分过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.4分(2)证明：(32，m)，(23，m)(32)(32)m23m2.6分m点在双曲线上，9m26，即m230，0.9分(3)f1mf2的底|f1f2|4.由(2)知m.12分f1mf2的高h|m|，sf1mf246.15分b组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017浙江名校联考)过双曲线1(a0，b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于a，b两点，若oab的面积为，则双曲线的离心率为()a.b.c.d.d由题意可求得|ab|，所以soabc，整理得.因此e.2(2017杭州质检)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为f(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_x21由双曲线的渐近线yx，即bxay0与圆(x2)2y23相切，则b23a2.又双曲线的一个焦点为f(2,0)，a2b24，联立，解得a21，b23.故所求双曲线的方程为x21.3已知椭圆c1的方程为y21，双曲线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点(1)求双曲线c2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，