2011年山东省枣庄八中自主招生考试数学试题(含答案详解).doc

2011年山东省枣庄八中自主招生考试数学试题一选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1（4分）如果关于x的方程x2ax+a23=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A2a2BCD2（4分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）A8分钟B7分钟C6分钟D5分钟3（4分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（）AB6CD64（4分）（2008青岛）如图，把图1中的ABC经过一定的变换得到图2中的ABC，如果图1中ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P的坐标为（）A（a2，b3）B（a3，b2）C（a+3，b+2）D（a+2，b+3）5（4分）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的A，已知：，则线段DE的长是（）AB7C4+3D3+46（4分）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1A2A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（）A8cmB8cmC2cmD4cm二填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）7（4分）若x+=3，则x2+=_8（4分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若SAPD=15cm2，SBQC=25cm2，则阴影部分的面积为_cm29（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_cm10（4分）对于正数x，规定f（x）=，计算f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+f（98）+f（99）+f（100）=_11（4分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每局的输方去当下局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局那么，整个比赛的第10局的输方一定是_12（4分）（2002广州）如图所示，在正方形ABCD中，AOBD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知SAIJ=1，则正方形ABCD的面积为_三解答题（共6小题，满分52分）13（6分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：1，2，3，2，7，8，19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合（1）请你判断集合1，2，1，4，7是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子14（8分）（2007丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由15（8分）某中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？16（10分）如图，O的直径EF=cm，RtABC中，ACB=90，BAC=30，AB=cmE、F、A、B四点共线RtABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合（1）当t为何值时，RtABC的直角边与O相切？（2）当RtABC的直角边与O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）17（10分）（2008广东）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC求AEB的大小；（2）如图2，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小18（10分）（2008益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式2011年山东省枣庄八中自主招生考试数学试题答案与评分标准一选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1（4分）如果关于x的方程x2ax+a23=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A2a2BCD考点：根与系数的关系；根的判别式。分析：根据方程x2ax+a23=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即0，关于x的方程x2ax+a23=0至少有一个正根（1）当方程只有一个根，且为正根，（2）当方程有两个根，若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求解答：解：=a24（a23）=123a2（1）当方程只有一个根时，=0，此时a=2，若a=2，此时方程x22x+1=0的根x=1符合条件，若a=2，此时方程x2+2x+1=0的根x=1不符舍去，（2）当方程有两个根时，0可得2a2，若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a230，解可得a 符合条件，若方程有两个正根，则 解可得 ，综上可得，a2故选C点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目2（4分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）A8分钟B7分钟C6分钟D5分钟考点：有理数的乘方。专题：应用题。分析：王老师用一分钟先通知一名同学A，然后王老师再用一分钟通知另一名同学，同时同学A也在这第二分钟时通知其它同学1分钟后，有21=2个人知道2分钟后，有22=4个人知道n分钟后，有2n个人知道解答：解：选项中最少的时间为5分钟，那么第5分钟后，有25=32个人知道，在第6分钟后，就有26=64个人知道要使所有同学都接到通知最快需要的时间为6分钟故选C点评：解决本题的关键是得到每一分钟后，即知道消息的总人数3（4分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（）AB6CD6考点：专题：正方体相对两个面上的文字。分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题解答：解：将图中所示的图形折叠成正方体后，a与4相对，b与2相对，c与1相对，则=故选A点评：此题注意空间空间想象能力的锻炼4（4分）（2008青岛）如图，把图1中的ABC经过一定的变换得到图2中的ABC，如果图1中ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P的坐标为（）A（a2，b3）B（a3，b2）C（a+3，b+2）D（a+2，b+3）考点：坐标与图形变化-平移。专题：网格型。分析：直接利用平移中点的变化规律求解即可解答：解：根据题意：A点坐标为（3，2），平移后，A的坐标为（0，0）；故中ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图中的对应点P的坐标为（a+3，b+2）故选C点评：本题考查点坐标的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点5（4分）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的A，已知：，则线段DE的长是（）AB7C4+3D3+4考点：解直角三角形；圆周角定理。分析：在RtCDB和RtCBE中，通过解直角三角形易求得BD、BE的长过B作BFDE于F，由圆周角定理知BCE=BDE，BED=BCD根据这些角的三角函数值以及BD、BE的长，即可求得DF、EF的值，从而得到DE的长解答：解：过B作BFDE于F在RtCBD中，BC=10，cosBCD=，BD=8在RtBCE中，BC=10，BCE=30，BE=5在RtBDF中，BDF=BCE=30，BD=8，DF=BDcos30=4在RtBEF中，BEF=BCD，即cosBEF=cosBCD=，BE=5，EF=BEcosBEF=3DE=DF+EF=3+4，故选D点评：此题主要考查的是圆周角定理和解直角三角形的综合应用，难度适中6（4分）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1A2A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（）A8cmB8cmC2cmD4cm考点：弧长的计算；旋转的性质。分析：A翻滚到A2位置时共走过的路程是两段弧的弧长，第一段是以B为圆心，AB为半径，旋转的角度是90度，第二次是以点C1为圆心，A1C1为半径，旋转的角度是90度，所以根据弧长公式可得解答：解：根据题意得：=4cm，故选D点评：本题的关键是找准各段弧的圆心和半径及圆心角的度数二填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）7（4分）若x+=3，则x2+=7考点：完全平方公式。专题：计算题。分析：由（x+）2=x2+2，可知将x+=3代入即可求得答案解答：解：x+=3，（x+）2=x2+2=9，x2+=92=7故答案为：7点评：此题考查了完全平方公式的应用注意熟记公式与整体思想的应用是解此题的关键8（4分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若SAPD=15cm2，SBQC=25cm2，则阴影部分的面积为40cm2考点：平行四边形的性质。分析：作出辅助线，因为ADF与DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解解答：解：如图，连接EFADF与DEF同底等高，SADF=SDEF即SADFSDPF=SDEFSDPF，即SAPD=SEPF=15cm2，同理可得SBQC=SEFQ=25cm2，阴影部分的面积为SEPF+SEFQ=15+25=40cm2故答案为40点评：本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形9（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为3cm考点：正方形的性质；旋转的性质。分析：根据题意得到，当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，从而求得CF的长解答：解：当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=ACAF，当点F不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知ACAFCFAC+AF，当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，CF=ACAF=4=3cm故答案为：3点评：本题要考查正方形性质的运用，要明确旋转的概念10（4分）对于正数x，规定f（x）=，计算f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+f（98）+f（99）+f（100）=考点：分式的加减法。专题：规律型。点评：本题的关键是理解好f（x）=，同时对整理好的分式要注意观察特点，能够看出=1，其他分式亦如此本题若有常规方法，则较繁琐，灵活应用拆项法，则可化繁为简，可见，打破习惯性思维，有利于提高解题能力11（4分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每局的输方去当下局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局那么，整个比赛的第10局的输方一定是甲考点：推理与论证。分析：丙共当裁判8局，因此，甲乙打了8局；甲共打了12局，因此，丙甲共打了4局，乙共打了21局，因此，乙丙打了13局因此，共打了25局，那么，甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，由于实行擂台赛形式，因此，每局都必须换裁判；即，某人不可能连续做裁判因此，甲做裁判的局次只能是：1、3、5、23、25；由于第11局只能是甲做裁判，显然，第10局的输方，只能是甲解答：解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，三个人之间总共打了（8+4+13）=25局，考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲点评：此题要首先能够判断出比赛的总场数以及三人各自当裁判的次数，然后根据甲当的裁判次数和总的场数进行分析求解12（4分）（2002广州）如图所示，在正方形ABCD中，AOBD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知SAIJ=1，则正方形ABCD的面积为256考点：正方形的性质；等腰直角三角形。分析：根据题意知：AIJ，IJH，IHG，GHF，GFE，EFO，EOD为等腰直角三角形，根据AIJ的面积，可将正方形ABCD的边长求出，进而可求出其面积解答：解：在RtAIJ中，SAIJ=（IJ）2=1IJ=在RtIJH中，IH=IJ=2；在RtIHG中，GH=IH=2；在RtGHF中，GF=GH=4；在RtGFE中，EF=GF=4；在RtEFO中，OE=ED=EF=8；AD=2ED=16正方形ABCD的面积为：162=256故答案为256点评：本题主要是应用等腰直角三角形的特殊性质三解答题（共6小题，满分52分）13（6分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：1，2，3，2，7，8，19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合（1）请你判断集合1，2，1，4，7是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子考点：有理数的减法。专题：新定义。分析：本题中给出了判定好，坏集合的条件，即：集合中两个数的和等于8或某个数的2倍等于8时集合时好集合，反之是坏集合，那么可按有理数的减法，让8减去集合中的某一个数，看看得出的结果是否在该集合中即可，如果在则是好集合，如果不在就不是好集合解答：解：（1）集合1，2不是好的集合，这是因为81=7，而7不是1，2中的数，所以1，2不是好的集合，1，4，7是好的集合，这是因为81=7，7是1，4，7中的数，84=4，4也是1，4，7中的数，87=1，1又是1，4，7中的数所以1，4，7是好的集合；（2）答案不唯一集合4、3，4，5、2，6、1，2，4，6，7、0，8等都是好的集合点评：要读懂题意，根据有理数的减法按照题中给出的判断条件进行求解即可14（8分）（2007丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由考点：列表法与树状图法；可能性的大小。分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率解答：解：（1）踺子踢到小华处的概率是树状图如下：列表法如下：小丽 小王小华 小王 （小丽，小王） （小王，小华） 小华 （小华，小丽） （小华，小王）（2）小王树状图如下：理由：若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是，踢到其它两人处的概率都是，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小点评：考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法常见错误有：审题不清，对游戏规则理解错误，对踢踺次数判定错误；题（1）：对树状图的画法掌握不好，不能清楚、规范、有条理地画树状图，更难以用列表法说明；对概率计算掌握不够，不能准确计数等可能次数题（2）：说理不清，不能正确地利用树状图或者概率的大小来说理15（8分）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？考点：二元一次方程组的应用。分析：（1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积+计划建造新校舍面积=9000平方米，计划建造新校舍面积90%+计划拆除旧校舍面积（1+10%）=9000平方米依等量关系列方程，再求解（2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积解答：解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米（2）计划资金y1=450080+4500800=3960000元实用资金y2=1.1450080+0.94500800=495080+4050800=396000+3240000=3636000节余资金：39600003636000=324000可建绿化面积=平方米答：可绿化面积1620平方米点评：要分别区分出计划和实际所对应的工作面积，然后列出方程组解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解16（10分）如图，O的直径EF=cm，RtABC中，ACB=90，BAC=30，AB=cmE、F、A、B四点共线RtABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合（1）当t为何值时，RtABC的直角边与O相切？（2）当RtABC的直角边与O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）考点：切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形。专题：综合题；分类讨论。分析：（1）分两种情况，当点B运动到圆心O时，AC边与O相切；当BC边与O相切时，分别求得对应的t值（2）当点B运动到圆心O时，AC边与O相切，重叠的部分为扇形，圆心角为60度，故用扇形的面积公式可求得重叠的部分的面积；当BC边与O相切时，O与RtABC的重叠部分为扇形OMGE加上OAM解答：解：（1）BAC=30，AB=，BC=又O的直径EF=，即半径为，ACB=90，当点B运动到圆心O时，AC边与O相切（如图1所示）（1分）此时运动距离为FO=，t=s （2分）当BC边与O相切时（如图2所示），设切点为G连接OG，则OGBC（3分）由已知，BOG=BAC=30，OG=，BO=2 （4分）又FO=，BF=（此步亦可利用相似求解，请参照给分）此时s （5分）由上所述，当秒时，RtABC的直角边与O相切（6分）（2）由图1，此时O与RtABC的重叠部分为扇形COF （7分）由已知，COF=60， （8分）由图2，设AC与O交于点M，此时O与RtABC的重叠部分为扇形OMGE加上OAM （9分）过点M作MNOG于N，则MN=GC由（1）可知BG=1则MN=GC= （10分），MON=25，即MOE=55 （11分） （12分）又OM=，点M到AB的距离h=OMsinMOE1.419，（13分）SAOM=OAh1.229cm2此时O与RtABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+SAOM2.67cm2（14分）点评：本题利用了相切的概念，扇形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的概念，直角三角形的性质求解17（10分）（2008广东）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC求AEB的大小；（2）如图2，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小考点：旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质。专题：计算题。分析：（1）根据等边三角形和外角的性质，可求AEB=60；（2）方法同一，只是AEB=85，此时已不是外角，但仍可用外角和内角的关系解答解答：解：（1）如图3，DOC和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，OD=OC=OB=OA，1=2=60，4=5又4+5=2=60，4=30同理6=30AEB=4+6，AEB=60（2）如图4，DOC和ABO都是等边三角形，OD=OC，OB=OA，1=2=60又OD=OA，OD=