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平面向量的正交分解及坐标表示和坐标运算 形成天才的决定因素是勤奋 复习 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数 使 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 若两个不共线向量互相垂直时 在平面上 如果选取互相垂直的向量作为基底时 会为我们研究问题带来方便 a xi yj把 x y 叫做向量a的坐标 记作a x y 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 i j 0 1 0 0 1 0 0 x y 叫做向量的坐标表示 向量的坐标表示和点的坐标表示一样吗 a 相等的向量坐标相同 A x y 因此 在平面直角坐标系内 每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示 结论 从原点出发的向量的坐标 就是其终点的坐标 例1 在同一直角坐标系内画出下列向量 解 例 如图 用基底i j分别表示向量a b c d 并求出它们的坐标 解 若则 问1 设的坐标与的坐标有何关系 1 A B 1 x y A1 B1 x1 y1 x2 y2 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标 平面向量的坐标运算 结论 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 结论 实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 例3已知三个力 3 4 2 5 x y 的合力 求 的坐标 解 由题设 得 3 4 2 5 x y 0 0 即 例5 已知平行四边形ABCD的三个顶点A B C的坐标分别为 2 1 1 3 3 4 求顶点D的坐标 x y O A 2 1 B 1 3 C 3 4 D x y 变式 已知平面上三点的坐标分别为A 2 1 B 1 3 C 3 4 求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点 A B C 解 当平行四边形为ADCB时 由得D1 2 2 当平行四边形为ACDB时 得D2 4 6 当平行四边形为DACB时 得D3 6 0 课堂总结 1 向量的坐标的概念 2 对向量坐标表示的理解 3 平面向量的坐标运算 1 任一平面向量都有唯一的坐标 2 向量的坐标与其起点 终点坐标的关系 3 相等的向量有相等的坐标 4 能初步运用
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