高一数学竞赛考试题（集合和函数）.doc

高一数学竞赛考试题（集合和函数）一、 选择题（本题满分30分，每小题6分）1 设全集是实数，若A=x|0，B=x|=,则是( )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D)2 已知a为给定的实数，那么集合Mx|x23xa220，xR的子集的个数为( )A.1 B.2 C.4 D.不确定3 函数的单调递增区间是（ ）（A）（,1）（B）（,1）（C）（1,）（D）（3, ）4 函数 （）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数5 设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 （）C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题（本题满分30分，每小题6分）6 函数yx的值域为_.7 不等式 | x | 32x24| x | 3 0 的解集是_8 已知Axx24x30，xR，Bx21xa0，x22(a7)50，xR，若AB，则实数a的取值范围是_9 设函数，且对任意，则=_。10 已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是 三、解答题(每小题20分)11 已知函数f(x)(1)是否存在实数a、b(ab)，使得函数f(x)的定义域和值域都是a、b？若存在，请求出a、b的值；若不存在，请说明理由(2)若存在实数a、b(ab，使得函数f(x)的定义域是a、b，值域是ma、mb(m0)，求实数m的取值范围12 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为。（）求；（）证明：对于，若 。高一数学竞赛考试答案（集合和函数）一、 选择题（本题满分30分，每小题6分）1 （00全国）设全集是实数，若A=x|0，B=x|=,则是( D )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D)2 （01全国）已知a为给定的实数，那么集合Mx|x23xa220，xR的子集的个数为( )A.1 B.2 C.4 D.不确定解：M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选3 （02全国）函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ）（A）（,1）（B）（,1）（C）（1,）（D）（3, ）解：由x2-2x-30有x-1或x3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x-1或x3。二次函数u=x2-2x-3在（-，-1）内单调递减，在（3，+）内单调递增。而log1/2u在(0,+)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-,-1)单调递增，故选A。4 （02全国）函数f(x)=x/1-2x-x/2 （）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数解：函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+)，当x0时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1)/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x)-x+(x/2)=(x/(1-2x)-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。5 （06全国）设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 （ ）C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解】显然为奇函数，且单调递增。于是，若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。 选A .二、填空题（本题满分30分，每小题6分）6 （01全国）函数yx的值域为_.解：先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达到下界0，所以函数的值域为1，322，说明：（1）参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要 （2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试7 （03全国）不等式 | x | 32x24| x | 3 0 的解集是_解：由原不等式分解可得(| x |3)(x2| x |1)0，由此得所求不等式的解集为8 （03全国）已知Axx24x30，xR，Bx21xa0，x22(a7)50，xR，若AB，则实数a的取值范围是_解：易得：A(1，3)，设，要使，只需f (x)、g (x)在(1，3)上的图象均在x轴下方，其充要条件是f (1)0，f (3)0，g (1)0，g (3)0，由此推出4a19 （04全国）设函数，且对任意，则=_。解：= 即。10 （05全国）已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是解：在上定义，又 仅当或时，在上是减函数，结合（）知或三、解答题(每小题20分)11 （05天津）已知函数f(x)(1)是否存在实数a、b(ab)，使得函数f(x)的定义域和值域都是a、b？若存在，请求出a、b的值；若不存在，请说明理由(2)若存在实数a、b，使得函数f(x)的定义域是a、b，值域是ma、mb(m0)，求实数m的取值范围解：(1)不存在实数a、b 满足条件事实上，若存在实数a、b 满足条件，则有xa0故f(x)(i)当a、b(0，1)时，f(x)在(0，1)上为减函数，所以即由此推得ab，与已知矛盾，故此时不存在实数a、b(ab)满足条件(ii)当a、b1，)时，f(x)在1，+)上为增函数，所以即于是a、b为方程x2x10的实根而此时方程无实根，故此时也不存在实数a、b(ab)满足条件(iii)当a(0，1)，b1，)时，显然1a，b，而f(1)0，所以0a，b，矛盾综上可知，不存在实数a、b(ab)满足条件(2)若存在实数a、b(ab)满足f(x)定义域是a、b，值域是ma、mb(m0)，易得m0，a0仿(1)知，当a、b(0，1)或a(0，1)，b1，)时，满足条件的实数a、b不存在只有当a、b1，)时，f(x)在1，)上为增函数，有即于是a、b为方程mx2x10的两个大于1的