高中数学解题思想方法2-换元法.doc

二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。、再现性题组：1. ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2. 设f(x1)log(4x) （a1），则f(x)的值域是_。3. 已知数列a中，a1，aaaa，则数列通项a_。4. 设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_。5. 方程3的解是_。6. 不等式log(21) log(22)2的解集是_。、示范性题组：例1. 实数x、y满足4x5xy4y5 （ 式） ，设Sxy，求的值。（93年全国高中数学联赛题）【分析】 由Sxy联想到cossin1,于是进行三角换元，设代入式求S和S的值。【解】设代入式得： 4S5Ssincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 后面求S值域还可由sin2的有界性而求（有界法）：【另解】 设xt，yt，t， 则xy代入式得：4S5=5， 移项平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得【注】 三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。其它换元法（和差换元）解：设xab，yab，代入式整理得3a13b5 得a0,S2(ab) a, 例2 ABC的三个内角A、B、C满足：AC2B，求cos的值。（96年全国理）【分析】 由AC2B，可得 ,则设 ，再代入可求cos即cos。【解】 【另解】 由2，也可设m，m 再代入求。【注】 均值换元法。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。例3. 设a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。 y , , x【解】 设sinxcosxt，则t-,，sinxcosx f(x)g(t)(t2a) （a0）， t-,t-时，取最小值：2a2a当2a时，t，取最大值：2a2a ；当00恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）【解】 设logt，则log log原不等式简化为：【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。例5. 已知，且 (式)，求的值。【解】 设k，则sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：设t，则t , 解得：t3或 或【另解】 由tg，将式表示成tg而求出：【注】 等量换元，减少变量个数。例6. 实数x、y满足1，若xyk0恒成立，求k的范围。【解】 设cos，sin，即： 代入不等式得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 k 平面区域【另解】 数形结合法：在平面直角坐标系，不等式axbyc0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。、巩固性题组：1. 已知f(x)lgx (x0)，则f(4)的值为_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函数y(x1)2的单调增区间是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 设等差数列a的公差d，且S145，则aaaa的值为_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，则xy的范围是_。5. 已知a0，b0，ab1，则的范围是_。6. 不等式ax的解集是(4,b)，则a_，b_。7. 函数y2x的值域是_。8. 在等比数列a中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D