2011级线性代数期末复习题解答.doc

2011级线性代数期末复习题一选择题1. 已知向量组线性无关，则向量组（C） （A）线性无关。 （B）线性无关。 （C）线性无关。（D）线性无关。对应向量组线性相关。线性相关。类似（B）,(D)对应向量组线性相关。2. 设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A） （A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关 （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。 A的列向量组线性相关;B的行向量组线性相关. 3. 对非齐次线性方程组及其导出组，应有（C）成立。 （A）若仅有零解，则无解； （B）若有非零解，则有无穷多解； （C）若有无穷多解，则有非零解； （D）若有惟一解，则有非零解。注意：齐次方程有解，通常推不出非齐次方程也有解。4.设A为矩阵，齐次线性方程有仅有零解的充要条件是（A） （A）A的列向量线性无关；（B）A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关。5.若在非齐次线性方程组中，系数矩阵A的秩为r，则（A） （A）时, 有解 （B）时， 有惟一解（C）时, 有惟一解（D）时, 有无穷解注意增广矩阵B的行数为m.R(A)=m,则R(B)=m。6设n阶矩阵A的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系（B） （A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量记住：7.已知是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解。是AX=0的基础解系，则非齐 次线性方程组AX=b的通解是（B） （A） （B）（C） （D）8. 若阶矩阵B与A相似，是矩阵A的对应于特征值的特征向量，那么矩阵的对应于特征值的一个特征向量为 (D) )(A).； (B).； (C).； (D).9. 设A,B是n阶矩阵，那么（(B)）(A).若A,B合同，则A,B等价； (B).若A,B相似，则A,B等价；(C).若A,B等价，则A,B合同； (D).若A,B相似，则A,B合同。10. 实二次型经过可逆线性变换后得到一个新的二次型, 则变换前后两个二次型的矩阵之间的关系是（ (B). ）. (A). 相似；(B). 合同；(C). 相等；(D). 以上三者都不是.二填空题16阶行列式中的符号为 _正_ 。2设，若3阶非零方阵满足，则_5_ 。 注意：3设矩阵与相似，则的行列式24。4设，则矩阵有一个特征值 3 。 5.设均为四维列向量，且=_56_ 566. 已知三阶矩阵A的全部特征值为1,-3,2,则_-6_,=_0_,矩阵E+的特征值为_1+1，1-1/3，1+1/2_7. 设，_0_9、设向量组10. 设为矩阵，为矩阵，且。则=_0_. AB的秩不超过A的秩，不超过A的列数n.三解答题 2.已知 ，求 = 1 3.设A，B均为4阶矩阵，求。 。 (1). 为何值时，A的秩最小，最小秩是多少？(2). 为何值时，A的秩最大，最大秩是多少？ ，矩阵X满足AX + E =A2 + X,求X。 求它的一个最大线性无关组，并将中其他向量用该最大无关组线性表出。 最大线性无关组：9.设向量组a1，a2，a3线性相关，而向量组a2，a3，a4线性无关。 问：a1能否由a2，a3线性表示？a4能否由a1，a2，a3线性表示？为什么？ (1). a,b为何值时，不能由线性表示；(2). a,b为何值时，能由唯一线性表示；(3). a,b为何值时，能由线性表示，但表示方式不唯一。记 无解，即R(A)R(B).即有唯一解.即;有无穷解.即;11.求齐次线性方程组 12.求解方程组 13.a取何值时，方程组有解？有解时，求出解来.(2)a=1,无穷多解：(3)a=-2,无解。14. 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。 15. 求一个齐次线性方程组，使其一个基础解系为。 不妨设所求方程组为把代入，得 所求方程为: 16.证明向量组是的一组基。并求向量在这组基下的坐标。利用线性无关，故是中的一组基。且，故在这组基下的坐标是：（5，-7/3，4/3）.17.设是否存在一个向量r0,使得r既可以由、线性表示，又可以由、线性表示。说明理由.分析：只需证明是否存在，（不全为零） 也就是证明齐次线性方程组是否有非零解。 方程有非零解：，即有：18.已知3阶矩阵A与3维列向量X满足，且向量组线性无关。如果记（1）求3阶矩阵B使得AP=PB；(2)求。（A，B相似）19.设矩阵线性无关。且 求方程的通解。20.矩阵的各行向量都是方程组的解向量，问这个行向量组能否构成基础解系？假如不能，是多了，还是少了，若多了如何去掉，若少了如何补充？ AX=0的一个基础解系含3个解向量，而R(C)=2故C的行向量中只含两个线性无关解。可以添加则构成基础解系。21.设，求正交矩阵P，使得成为对角矩阵。注意以下求-1对应的两个正交特征向量的做法：先求出再设-1对应的另一个与正交的特征向量为则： 对应的规范正交特征向量组：对应的单位特征向量：则即为所求的正交矩阵，且22.设A是3阶实对称矩阵，其特征值为：。与特征值对应的特征向量为。求矩阵A。 分析：先求正交矩阵P，使得：则是A的规范正交特征向量组。设是特征值3对应的特征向量，又设，23.设三阶矩阵A的特征值分别为：对应的特征向量分别为 ，又设求24. 求正交变换=PY,化二次型为标准形. 参见21题。 正交变换：标准型：25. 设二次型 。问取何值时，f(X)为正定二次型？ 四证明题1.设A,B是n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA. 2.设A是列满秩矩阵，AB=C，证明:R(B)=R(C) 分析：只需证齐次线性方程BX=0与CX=0同解。 3. 设A是n阶矩阵，证明： 且A有一个非零的n-1阶子式，故（中的i,j元是A中j,i元的代数余子式，故中至少有一个非零元） A的任一n-1阶子式都为零，4. 设A是n阶矩阵，存在非零的n维列向量 则A的任意两行成比例。不妨设A第一行不是零行则可设：5. 设A是n阶矩阵，k是正整数。若是n维列向量，满足： 证明：向量组线性无关。 类似推出其他系数都为零，故向量组线性无关。6. 设A是n阶矩阵, 证明：. 分析：只需证齐次线性方程X=0与X=0同解。 由5题结论，n维列向量组线性无关。矛盾！（n+1个n维列向量必然线性相关。）7. 设A是n阶幂等矩阵，即,证明：. 8. 设A是n阶矩阵，是A的两个不相等的特征值。分别是对应的特征向量。证明：不是A的特征向量。 反证：若是A的特征值为的特征向量，则有：（是A的不同特征值对应的特征向量，故线性无关。）9.设X为n维单位列向量。