初中数学实数代数式整式知识点归纳.pdf

知识点归纳总结 第一章 数与式 第 节 实数 考点 实数的分类与实数的有关概念 实数 是有理数和 理数的总称 定义为与数轴上的点相对应的数 有理数 整数和分数统称为有理数 整数 正整数 零和负整数统称为整数 正数 于零的数 正数前 可以放上正号 来表 常省略不写 负数 于零的数 于零的数前 放上负号 来表 0既不是正数也不是负数 分数 正分数 负分数统称为分数 理数 限不循环 数叫 理数 即 有理数之实数 不能写作两整数之 若将它写成 数 形式 数点之后的数字有 限多个 并且不会循环 常见的 理数有 部分的平 根 等 数轴 规定了原点 单位长度和正 向的直线叫做数轴 任何 个有理数都可以在数轴上表 相反数 如果两个数只有符号不同 那么我们称其中 个数为另 个数的相反数 也称这两个数 互为相反数 零的相反数是零 数轴上 表 互为相反数 零除外 的两个点 位于原点的两侧 并且到原点的距离相等 绝对值 把 个数载数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 个正数的绝对值是它本 个负数的绝对值是它的相反数 零的绝对值是零 互为相反数的 两个数的绝对值相等 在数轴上表 的两个数 右边的数总 左边的数 倒数 如果两个数互为倒数 则它们的乘积为1 注意 1 零没有倒数 2 求分数的倒数 就是把分数的分 分母颠倒位置 个带分数要先化成假分数 3 正数的倒数是正数 负数的倒数是负数 然数 理数 实数 知识点归纳总结 平 根 般地如果 个数的平 等于a 那么这个数叫做a的平 根 也叫a的 次 根 个正数有正负两个平 根 它们互为相反数 0的平 根是0 负数没有平 根 开平 求 个数的平 根的运算叫做开平 开平 是平 运算的逆运算 因此 可以运 平 运算求 个数的平 根 算数平 根 正数的正平 根称为算数平 根 0的算术平 根是0 个数a a 0 的算术平 根 记做 根 般地 个数的 等于a 这个数就叫做a的 根 也叫做a的三次 根 记做 开 个数的 根的运算 叫做开 个正数有 个正的 根 个负数有 个负的 根 0的平 根是0 考点 实数的运算与 的 较 实数运算的顺序是 先算乘 和开 再算乘除 最后算加减 同级运算 从左到右进 如果 遇到括号 则先进 括号 的运算 按 括号 中括号 括号 次进 理数运算 1 理数加 减 理数既可以是 理数又可以是有理数 理数的相反数相加得0 2 理数乘 除 理数既可以是 理数又可以是有理数 相同有理数的平 根相乘得有理数 3 理数加 减 有理数 定是 理数 4 理数乘 除 个 0有理数 定是 理数 有理数的运算法则 同号两数相加 同号两数相加 取与加数相同的符号 并把绝对值相加 异号两数相加 异号两数相加 取绝对值较 的加数的符号 并 较 的绝对值减去较 的绝 对值 互为相反数的两个数相加得零 个数同零相加 仍得这个数 加法交换律 两个数相加 交换加数的位置 和不变 a b b a 加法结合律 三个数相加 先把前两个数相加 或者先把后两个数相加 和不变 a b c a b c 减去 个数 等于加上这个数的相反数 两数相乘 同号的正 异号得负 并把绝对值相乘 任何数与零相乘 积为零 互为倒数 若两个有理数的乘积为1 就成这两个有理数互为倒数 乘法交换律 两个数相乘 交换因数的位置 积不变 a X b b X a 乘法结合律 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积不变 a X b X c a X b X c 分配律 个数与两个数的和相乘 等于把这个数分别与这两个数相乘 再把积相加 a X b c a X b a X c 有理数乘法运算步骤 1 先确定积的符号 2 求出各因数的绝对值的积 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 零除以任何不等于零的数都得零 除以 个数 不等于零 等于乘以这个数的倒数 知识点归纳总结 乘 求 个相同因数的积的运算叫做乘 乘 的结果叫做幂 在an 中 a叫做底数 n叫做 指数 读作 a的次 或 a的n次幂 注意 1 个数可以看作是本 的 次 如5 51 2 当底数是负数或分数时 要先 括号将底数括上 再在右上 写指数 乘 的运算性质 1 正数的任何次幂都是正数 2 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 3 任何数的偶数次幂都是 负数 4 1的任何次幂都得1 0的任何次幂都得0 5 1的偶次幂得1 1的奇次幂得 1 6 在运算过程中 先要确定幂的符号 然后再计算幂的绝对值 在数轴上表 的两个数 右边的数总 左边的数 正数都 于零 负数都 于零 正数 于负数 两个正数 较 绝对值 的数 两个负数 较 绝对值 的数反 考点三 科学计数法与相似数 科学计数法 把 个数表 成a 1 a 10 与10的幂相乘的形式 叫做科学记数法 相似数 与实际接近的数称为近似数 准确数 与实际相符的数 叫做准确数 第 节 代数式 考点 代数式 代数式 运算符号 加 减 乘除 乘 开 等 把数与表 数的字母连接 成的式 叫做 代数式 单独的 个数或 个字母也是代数式 注意 1 代数式中除了含有数 字母和运算符号外 还可以有括号 2 代数式中不含有 等符号 等式和不等式都不是代数式 但等号和不等号两边 式 般都是代数式 3 代数式中的字母所表 的数必须要使这个代数式有意义 是实际问题的要符合实际问题的意 义 代数式的值 般地 数值代替代数式 的字母 计算后所得的结果叫做代数式的值 代数式的书写格式 1 代数式中出现乘号 通常省略不写 如vt 2 数字与字母相乘时 数字应写在字母前 如4a 3 带分数与字母相乘时 应先把带分数化成假分数后与字母相乘 如 应写作 知识点归纳总结 4 数字与数字相乘 般仍 号 即 号不省略 5 在代数式中出现除法运算时 般按照分数的写法来写 如 4 a 4 应写作 注意 分 数线具有 号和括号的双重作 6 在表 和 或 差的代差的代数式后有单位名称的 则必须把代数式括起来 再将单位名称 写在式 的后 如 a2 b2 单项式 由数与字母的乘积组成的式 叫做单项式 系数 单项式中的数字因数叫做代数式的系数 如3x 4y的系数分别为3 4 注意 1 单个字母的系数是1 如a的系数是1 2 只含字母因数的单项式的系数是1或 1 如 ab的系数是 1 a3b的系数是1 次数 个单项式中 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 例如 3x的次数是1 ab的 次数是1 1 2 多项式 由 个单项式相加组成的代数式叫做多项式 其中 每个单项式叫做多项式的项 不含 字母的项叫做常数项 多项式的项 代数式 表 6x2 2x 7 的和 6x2 2x 7是它的项 其中把不含字母 的项叫做常数项 注意 在交待某 项时 应与前 的符号 起交待 常数项 多项式中不含字母的项叫做常数项 多项式的次数 多项式 次数最 项的次数 叫做这个多项式的次数 整式 单项式与多项式统称整式 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 所有常数项也看做同类 项 注意 1 判断 个代数式是否是同类项有两个条件 a 所含字母相同 b 相同字母的指数也相同 这 两个条件缺 不可 2 同类项与系数 关 与字母的排列顺序 关 3 个常数项也是同类项 合并同类项 把多项式中的同类合并成 项 叫做合并同类项 合并同类项的法则 把同类项的系数相加 所得结果作为系数 字母和字母的指数不变 合并同 类项的理论根据是逆 乘法分配律 注意 1 如果两个同类项的系数互为相反数 合并同类项后结果为0 2 不是同类项的不能合并 不能合并的项 在每步运算中都要写上 3 只要不再有同类项 就是最后结果 结果还是代数式 去括号时符号变化规律 如果括号外的因数是正数 去括号后原括号内的各项的符号与原来的符 号不变 如果括号外的因数是负数 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 括号前 是 号看成 1 括号前 是 号看成 1 根据乘法的分配律 1或 1去乘括号 的每 项以达 到去括号的 的 注意 1 去括号时 要连同括号前 的符号 起去掉 2 去括号时 先要弄清楚括号前是 号还是 号 3 改变符号时 各项都变号 不改变符号时 各项都不变号 般地 个整式相加减 如果有括号就先去括号 然后再合并同类项 知识点归纳总结 不完全归纳法 利 代数式提炼图形 数字 变化规律 探索规律题 根据 系列正式关系或 组相关图形的变化 总结变化所反映的规律 其中 探索以 图形为载体的数字规律最为常见 考点 求代数式的值 代数式的值 般地 数值代替代数式 的字母 计算后所得的结果叫做代数式的值 求代数式的值的题 类型及解决 法 直接代 法 整体代 法 降幂法 设k法 赋值法 1 给出代数式中所有字母的值 该类题 般是先简化代数式 再将字母的值带 然后进 计算 2 给出代数式中所含 个字母之间的关系 不直接给出字母的值 该类题 般是把所要求的代 数式通过恒等变形 转化为与 只关系城市相关的形式 再代 第三节 整式 考点 整式及其运算 同底数幂相乘法则 am an am n m n 为正整数 a 0 幂的乘 法则 am n amn m n 为正整数 a 0 积的乘 法则 ab n anbn n 为正整数 ab 0 同底数幂相除法则 am an am n m n 为正整数 m n a 0 规定 任何不等于零的数的零次幂都等于1 a0 1 a 0 任何不等于零的数的 p p是正整数 次 幂 等于这个数的p次幂的倒数 a p 1 ap a 0 p是正整数 整式的加减 整式的加减运算实际就是合并同类型 整式的乘法 1 单项式的乘法 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 其余字母连同他的 指数不变 作为积的因式 注意 1 单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应 2 单项式的乘法 法步骤 积的系数等于各系数的积 是把各单项式的系数交换到 起进 有理数的乘法计算 先确定符号 再计算绝对值 相同字母相乘 是同底数幂的乘法 按照 底数不变 指数相加 进 计算 只在 个单项式 含有的字母 要连同它的指数写在积 作 为积的 个因式 3 运算的结果仍为单项式 也是由系数 字母 字母的指数这三部分组成 4 三个或三个以上的单项式相乘同样适 以上法则 知识点归纳总结 2 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘 就是 单项式去乘多项式的每 项 再把所得 的积相加 即m a b c ma mb mc 注意 1 单项式与多项式相乘的计算 法 实质是利 乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单 项式的问题 2 单项式与多项式的乘积仍是 个多项式 项数与原多项式的项数相同 3 计算的过程中要注意符号问题 多项式中的每 项包括它前 的符号 同时还要注意单 项式的符号 4 对混合运算 应注意运算顺序 最后有同类项时 必须合并 从 得到最简的结果 3 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 先 个多项式的每 项乘另 个多项式的每 项 再把所得的积相加 a b m n am an bm bn 多项式与多项式相乘 仍得多项式 在 合并同类项之前 积的项数应该等于两个多项式的项数之积 多项式与多项式相乘的最后结果需 化简 有同类项的要合并 整式的除法 1 单项式的除法 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只是在被除式 含有的字母 则连同它的指数作为商的 个因式 注意 先确定结果的系数 即系数相 除 然后同底数幂相除 如果只是在被除式 含有的字母 则照抄下来 2 多项式除以单项式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每 项除以这个单项式 再把所得 的商相加 a b c m a m b m c m m 0 考点 整式的乘法公式 平 差公式 a b a b a2 b2 两数之和与两数之差的积等于两数的平 差 完全平 公式 a b 2 a2 b2 2ab 两数和的平 等于这两个数的平 和 加上两数积的 倍 两数差的平 等于两数的平 和 减去这两数积的 倍 考点三 因式分解 因式分解 把 个多项式化成 个整式的积的形式 叫做因式分解 如 x2 1 x 1 x 1