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辽宁省沈阳市高中数学竞赛试题一选择题(本题满分30分，每小题5分)1设圆的方程为，直线的方程为，圆被直线截得的弦长等于(A) (B) (C) (D) 与有关 答 ( A )且，则是(A) 钝角三角形 (B) 锐角三角形(C) 等腰直角三角形 (D) 等边三角形 答 ( C )3的定义域为，的解集为，的解集为，下列结论正确的是(A) (B) (C) (D) 答 ( D )4已知为三条不同的直线，且平面，平面，(1)若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；(2)若不垂直于，则与一定不垂直；(3)若，则必有；(4)若，则必有其中正确的命题的个数是（A） （B） （C） （D） 答 ( C )5已知函数，若存在实数，当时恒成立，则实数的最大值为(A) (B) (C) (D) 答 ( C )6命题：关于的不等式对于一切实数均成立，命题：，则是成立的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答 ( B )二填空题(本题满分30分，每小题5分)，正三棱锥外接球的球心为，半径为，且则.设，若关于的方程有唯一解，则.一城市的汽车牌照是由到的10个数字和除、外的个字母组成的位号码，要求后三位必须是数字，前两位可以数字或字母，字母前面不能有数字，数字不能全为那么，这个城市最多可以发放的牌照数是.(以数字作答）10已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是. 11袋中有个球，其中有彩色球个甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序依次从袋中取球，每次取后都放回，规定先取出彩色球者为获胜则甲、乙、丙获胜的概率比为.（以整数比作答）12在中，若，为的内心，且，则.（提示：在中，角的平分线与交于，则）三解答题(本题共4道小题，满分90分)13. (本小题满分20分) 如图，在中，是外接圆上的一点，于，求证：证明：延长到使连结 、，则有， 在的外接圆上，从而，14(本小题满分20分) 函数在区间上恒有定义，求实数的取值范围解：设，则在区间上恒有定义即在上恒成立当时，于上恒成立当时，的对称轴，在上单调增加，所以，由，所以当时，于上恒成立，则，由，得，即；由，得，解得或，所以，或综上，15(本小题满分25分) 椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点已知的最大值为，最小值为() 求椭圆的方程；() 若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.解：(1) 是椭圆上任一点,且， 当时，有最小值；当或时, 有最大值， ， 椭圆方程为 (2)设，将代入椭圆方程得 ，为直径的圆过点，或都满足，若直线恒过定点不合题意舍去，若直线：恒过定点16(本小题满分25分) 已知数列中，.关于的方程有唯一解() 求数列的通项公式；(
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