随机变量的数字特征.ppt

29 1 第三章随机变量的数字特征 在前面的课程中 我们讨论了随机变量及其分布 如果知道了随机变量x的概率分布 那么x的全部概率特征也就知道了 然而 在实际问题中 概率分布一般是较难确定的 而在一些实际应用中 人们并不需要知道随机变量的一切概率性质 只要知道它的某些数字特征就够了 在这些数字特征中 最常用的是期望和方差 29 2 3 1随机变量的数学期望和方差 一 离散型随机变量的数学期望和方差 29 3 解 1 给甲100发子弹则甲命中总环数大约为 平均每发命中环数估计为 同理 29 4 2 评价 因为 3 继续分析 对于甲 乙技术水平 除了上述从平均角度外还可以从命中环数的集中或离散程度角度考虑 29 5 请看下表 按平均值的想法 射击选手甲的平方偏差的平均值为 同理 29 6 4 评价 因为 29 7 A 设随机变量x概率分布表为 记 称Ex为x的数学期望或均值 2 定义 29 8 例1 设x概率分布表为 求E x 解 解 29 9 B 设随机变量x概率分布表为 称D 为 的方差 29 10 例3 设x概率分布表为 求E x D x 解 29 11 例4 设x概率分布表为 求E x D x 解 29 12 定义 设连续型随机变量x概率密度函数为 1 称 为x的期望 2 称 为x的方差 C 连续型随机变量的期望和方差定义 29 13 例5已知连续型r vx的概率密度为 求E x D x 解 29 14 三 随机变量函数的数学期望 1 问题的提出 设已知随机变量x的分布 我们需要计算的不是x的期望 而是x的某个函数的期望 比如说g x 的期望 那么应该如何计算呢 29 15 三 随机变量的函数的期望 1 4 9 0 3 0 2 0 5 p 解 1 2 备注 这种方法必须先求出随机变量函数的分布 实际上第一步是不必要的 29 16 pk p2 p1 P xk x2 x1 x 则 定理1设随机变量x概率分布表为 E Ef x p1f x1 p2f x2 pkf xk 29 17 定理2设随机变量x的概率密度为则 g x 的期望为 内容相同 29 18 29 19 方差的简便计算公式 定理3Dx Ex2 Ex 2 此定理以后再证明 29 20 例1 设x概率分布表为 求E x E x2 D x E 1 x E sinx 解 29 21 例2 设x概率分布表为 求E x E x2 D x 解 29 22 例2 设x概率分布表为 求E x E x2 D x 解 29 23 例3已知连续型r vx的概率密度为 求E 2x 1 解 29 24 例4已知连续型r vx的概率密度为 求E x E x2 D x 解 29 25 例5已知连续型r vx的概率密度为 求E x E x2 D x 解 29 26 例6已知连续型r vx的概率密度为 求 1 E x E x2 D x 解 0 29 27 定理3设二元离散型随机变量 x h 联合概率函数为 z g x y 是二元连续实函数 则 x h 的函数Z g x h 的数学期望 Ez 1 29 28 例3设二元随机变量 x h 的联合概率分布表为 求E xh 解 29 29 定理4设二元连续型随机变量 x h 联合概率密度函数为j x y z g x y 是二元连续实函数如果广义二重积分 则 x h 的函数Z g x h 的数学期望为 Eg x h 特别 29 30 例4 设二元随机变量 x h 的联合概率密度为 求E x h 解 1 1 29 31 将g X 特殊化 可得到各种数字特征 其中k是正整数 29 32 三 数学期望的性质 证明 不妨假定为连续型随机变量 其密度为 x 则由定理2有 易知 29 33 注意 无任何条件 29 34 四 方差的性质 定理Dx Ex2 Ex 2 证明 备注 此定理为方差的计算公式 29 35 四 方差的性质 证明 A D C 0 B D x c Dx C D kx k2Dx 易知 29 36 29 37 例设随机变量 相互独立 则 29 38 1 x h 协方差的定义 五 协方差与相关系数 29 39 2 x h 的相关系数 定义3 6 对二元随机变量 x h 如果Dx 0 Dh 0 称数值为随机变量x与h的相关系数 记为rxh 即 rxh 注意 1 相关系数rxh是描述二元随机变量x h之间相互关系的数字特征 2 rxh是一个介于 1与1之间的数 它刻划了x与h的线性相关的程度 3 当 rxh 1时 x与h的几乎线性相关 即P h ax b 1 当 rxh 0时 x与h没有线性关系 29 4