二次函数最值问题.docVIP

专题：二次函数最值问题孙俊峰1.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙围成长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.（1）：当墙的长度足够长，长方形的长、宽各为多少米时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ （2）：当墙的长度为10米，长方形的长、宽各为多少米时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）由题目分析可知：y=x.(24-2x)=24x-2 x2=-2(x-6) 2+72-20x=6时，y有最大值72 24-2x=12答：当长方形的长、宽分别为12米、6米时养鸡场的面积最大，最大面积是72平方米.（2）024-2x107x12对称轴x=6 -20 7x10 (不符合条件) 所以x=5，答：所求宽度(AB) 为 5 米.3.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由解：（1）设AD的长为x米，则AB为（24-3x）米，根据题意列方程得，（24-3x）x=45，解得x1=3，x2=5；当x=3时，AB=24-3x=24-9=1511，不符合题意，舍去；当x=5时，AB=24-3x=911，符合题意；答：AD的长为5米（2）不能围成面积为60平方米的花圃理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，于是有（24-3y）y=60，整理得y2-8y+20=0，=（-8）2-420=-160，这个方程无实数根，不能围成面积为60平方米的花圃4.如图，利用一面11米长的墙，用24米长的篱笆围成一个矩形场地做养鸡场ABCD，设AD=x米，AB=y米，矩形ABCD的面积为S平方米（1）写出y（米）关于x（米）的函数关系式，并标明x的取值范围（2）能否围成面积为70平方米的矩形场地？若能，求出此时x的值，若不能，请说明理由（3）怎样围才能使矩形场地的面积最大？最大面积是多少？解：（1）由题目分析可知：y=24-2x，S=xy=x（24-2x）=-2 x2+11x，（6.5x12）答：y（米）关于x（米）的函数关系式为：S=-2 x2+24x，（6.5x12）（2）由题目可得：S=-2 x2+24x=70，解得：x=7，在x的取值范围之内，故可以，答：可以围成面积为70平方米的矩形场地，此时x=7（3）求二次函数：S=-2 x2+24x，（6.5x12）的最大值，S=-2（x-6）2+72，又因为6.5x12，所以当x=6.5时有S最大值为：S=71.5（平方米），答：面积最大值为：S=71.5平方米5.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？（参考公式：二次函数yax2bxc0，当x时，）解：（1）根据题意，得自变量的取值范围是（2），有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米6.（2009哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD设AB边的长为x米矩形ABCD的面积为S平方米（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值并求出最大值（参考公式：二次函数yax2bxc0，当x时，）解：（1）根据题意，得自变量的取值范围是（2），有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米7.（2010哈尔滨）体育课上,老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地,围成的场地是如图所示的矩形ABCD.设边AB的长为x(单位: 米)矩形ABCD的面积为S(单位:平方米)（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米,且ABAD，请求出此时AB的长.解：（1）S=x(15-x)=15x- x2（2）面积S=x(15-x)=50 x2-15x+50=0 (x-5)(x-10)=0 x=5 或x=10 当x=5时 AD=15-5=10 当x=10时 AD=15-10=5AB(舍) AB=5赞同答：AB的长为5米。8.（2011哈尔滨）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大?最大面积是多少?（参考公式：二次函数yax2bxc0，当x时，）解：（1）S= （2）x=30 S有最大值最大值为450当x为30cm时，菱形风筝面积最大，最大面蕊积是450cm29. 用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是多少？ 解：如图：设水平的一边长xm，窗户的透光面积为ym2则y=当10.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?解：如图：设AB=xcm，矩形ABCD的面积为ycm2N40m30mABCDM在直角三角形AMN和CBN中，tanN=，AB=x，BN=