量子物理 算符.ppt

2020 2 15 13 1 算符 算符 2020 2 15 13 2 线性算符 要直接利用坐标表象中的波函数计算其他力学量的平均值 必须引入算符的概念 在量子力学中 算符代表对波函数的一种运算 满足以下运算规则的算符叫做线性算符 在量子力学中 与可观测量对应的算符都是线性算符 保持波函数不变的算符叫做单位算符 两个算符对任意一个波函数的运算结果相同 则称这两个算符相等 2020 2 15 13 3 算法的加法和乘法 对于系统的任意一个波函数 如果两个算符A和B满足 叫做这两个算符的和 算符的求和满足交换律和结合律 线性算符之和仍然是线性算符 如果 叫做两个算符的积 一般情况下 算符之积不满足交换律 这就引出算符的对易关系的概念 对易关系有一些有用的性质 比如 请证明其他几个性质 2020 2 15 13 4 基本对易关系 最基本的对易关系是坐标与动量的对易关系 请按上述方法证明 统一写成 利用这几个基本对易关系可以导出其他力学量之间的对易关系 但需要在数学上充点电 定义三阶反对称张量Levi Civita符号 任意一对指标每交换一次 要改变一个正负号 如果有任何两个指标相同 则这个量等于零 作为课外练习 请写出Levi Civita符号的全部分量 2020 2 15 13 5 角动量与坐标和动量的对易关系 利用Levi Civita符号可以将角动量的各分量统一写成 重复指标表示对该指标做遍历求和 请按这个法则写出角动量的其他两个分量的表达式 用这种表达方式可以得到与角动量有关的对易关系 请写出全部对易关系的显明表达式 2020 2 15 13 6 角动量自身的对易关系 Levi Civita符号有一个特性 利用这个特性可以导出角动量各个分量间的对易关系 将第二个因子中的k l互换 请写出全部对易关系的显明表达式 2020 2 15 13 7 球坐标系中的动量算符 对于具有球对称性的问题 采用球坐标系是方便的 为书写方便 引入偏导数的缩写符号 2020 2 15 13 8 球坐标系中的角动量算符 2020 2 15 13 9 球坐标系中的角动量平方算符 2020 2 15 13 10 球坐标系中的动能算符 2020 2 15 13 11 逆算符 复共轭 标积和转置 如果通过方程 能够唯一地解出 则称G是A的逆算符 记作 逆算符满足如下关系 如果A与B的逆存在 则乘积的逆 把算符中所有量换成其复共轭 构成该算符的复共轭 对任意两个波函数 引入标积的概念 如果算符G满足 则称G是A的转置算符 记作 可以将转置算符写成标积的形式 任意两个算符的转置满足关系 2020 2 15 13 12 算符的转置 厄米共轭 考察动量算符的转置 类似地可以得到其他几个分量的转置 如果算符G满足 则称G是A的厄米共轭算符 记作 将厄米共轭算符的定义写成标积 由厄米共轭算符 转置算符和标积的定义可以得到 算符的厄米共轭有这样的性质 2020 2 15 13 13 厄米算符 如果算符A满足关系 则称A是厄米算符 两个厄米算符之和仍然是厄米算符 当两个厄米算符彼此对易时 它们之积是厄米算符 在体系的任何状态下 厄米算符的平均值必定是实数 厄米算符还有一个性质 在任何状态下 平均值是实数的算符必定是