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第六章定积分 第一节定积分的概念与性质 一 问题的提出二 定积分的定义三 存在定理四 几何意义五 性质六 小结思考题 实例 求曲边梯形的面积 一 问题的提出 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 曲边梯形如图所示 1 分割 2 近似求和 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 3 取极限 二 定积分的定义 定义 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意 定理1 定理2 三 存在定理 曲边梯形的面积 四 定积分的几何意义 曲边梯形的面积的负值 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四 定积分的几何意义 的几何意义 例1利用定义计算定积分 解 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 五 性质 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 证 性质2 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 证 性质4 性质5 性质5的推论 证 1 解 令 证 性质5的推论 2 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 解 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7 定积分中值定理 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释 解 由积分中值定理知有 使 六 小结 定积分的实质 特殊和式的极限 2 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 3 典型问题 估计积分值 不计算定积分比较积分大小 思考题 思考题解答 例 练习题一 练习题
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