D5-1定积分概念与性质.ppt

高等数学B 任课教师 王琪电话 65904076电子邮件 wang qi 交作业时间 每周二课间答疑时间 每周二15 00 17 00答疑地点 红瓦楼729室最终成绩 考试成绩 70 平日成绩 30 一 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 见P146 不定积分的性质 见P148 基本积分表 见P148 P158 不定积分 二 求不定积分的基本方法 1 直接积分法 通过简单变形 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 2 换元积分法 代换 3 分部积分法 使用原则 1 由 易求出v 2 比 好求 一般经验 按 反 对 幂 指 三 的顺序 排前者取为u 排后者取为 第五章 定积分 积分学 不定积分 定积分 第一节 一 定积分问题引例 二 定积分的定义 三 定积分的几何意义 定积分的概念与性质 第五章 四 定积分的性质 一 定积分问题引例 1 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 求其面积A 矩形面积 梯形面积 解决步骤 1 分割 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 近似替代 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3 近似求和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 细度 2 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动 且 求在运动时间内物体所经过的路程s 解决步骤 1 分割 将它分成 已知速度 n个小段 3 近似求和 4 取极限 2 近似替代 得 在每个小段上物体经过的路程为 3 由边际成本求可变成本 设边际成本函数f q q为产量 求可变成本Cv 解决步骤 1 分割 将它分成 2 近似替代 n个小段 是定义在 0 Q 上的 连续函数 在每小段上成本的增长额为 即边际成本 得 3 近似求和 4 取极限 从0到Q时的成本增长 即产量为Q时的成本 上述引例的共性 解决问题的方法步骤相同 分割 近似替代 近似求和 取极限 所求极限结构式相同 乘积和式的特殊极限 二 定积分定义 任一种分法 任取 总趋于确定的极限I 则称此极限I为函数 在区间 上的定积分 即 此时称f x 在 a b 上可积 记作 2 定积分仅与被积函数及积分区间有关 而与积分 变量用什么字母表示无关 即 注意 1 定积分是和式的极限 是一个数 与不定积分不同 3 极限过程是 而不仅仅是 4 可积的充分条件 且只有有限个间断点 三 定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 取 例利用定义计算定积分 解 将 0 1 n等分 分点为 由于被积函数f x x2在 0 1 上连续 0 1 上可积 且积分值与 区间的分法 及 因而在 的选择 无关 例用定积分定义表示下列极限 解 四 定积分的性质 设所列定积分都存在 k为常数 证 当 时 因 在 上可积 所以在分割区间时 可以永远取c为分点 于是 5 积分区间的可加性 当a b c的相对位置任意时 例如 则有 6 若在 a b 上 则 若 连续 则等号在 时成立 推论1若在 a b 上 则 又若 连续 则等号在 时成立 推论2 证 即 7 设 则 估值定理 例比较定积分 解 在区间 0 1 上有 等号在x 0与x 1两点成立 由推论6 1知 的大小 与 从而 例试证 证 设 即 故 即 8 积分中值定理 则至少存在一点 使 证 则由性质7可得 根据闭区间上连续函数介值定理 使 因此定理成立 说明 可把 它是有限个数的平均值概念的推广 积分中值定理对 内容小结 1 定积分的定义 乘积和式的特殊极限 2 定积分的性质 3 积分中值定理 连续函数在区间上的平均值公式 典型题 用定积分求和式极限 08 09 一 1 作业P2051 1 3 4 4 6 5 1 2 6 思考与练习 1