量子力学课件(5)( 一维势阱).ppt

经典粒子被限制在箱中运动与一个微观粒子被限制一个微观尺度的箱中运动对比 在继续阐述量子力学基本原理之前 先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题 一维定态问题 其好处有四 1 有助于具体理解已学过的基本原理 2 有助于进一步阐明其他基本原理 3 处理一维问题 数学简单 从而能对结果进行细致讨论 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来 4 一维问题还是处理各种复杂问题的基础 7 1箱中粒子的哈密顿 以一维定态为例 求解已知势场的定态薛定谔方程 了解怎样确定定态的能量E 从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果 已知粒子所处的势场为 粒子在势阱内受力为零 势能为零 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 称为一维无限深势阱 其定态薛定谔方程 7 2求解一维定态薛定谔方程 在阱内粒子势能为零 满足 在阱外粒子势能为无穷大 满足 方程的解必处处为零 根据波函数的标准化条件 在边界上 所以 粒子被束缚在阱内运动 在阱内的薛定谔方程可写为 类似于简谐振子的方程 其通解 代入边界条件得 所以 n不能取零 否则无意义 因为 结果说明粒子被束缚在势阱中 能量只能取一系列分立值 即它的能量是量子化的 结论 由归一化条件 一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数 称为量子数 为本征态 为本征能量 讨论 1 零点能的存在称为基态能量 2 能量是量子化的 是由标准化条件而来 能级间隔 当能级分布可视为连续的 在某些极限的条件下 量子规律可以转化为经典规律 势阱中相邻能级之差 能量 能级相对间隔 当时 能量视为连续变化 例1 电子在的势阱中 近似于连续 当时 能量分立 当很大时 量子效应不明显 能量可视为连续变化 此即为经典对应 一维无限深方势阱中粒子的能级 波函数和概率密度 1 n不能取零 否则无意义 简并 宇称 7 3箱中粒子的一些性质 2 正交归一关系 3 在定态或叠加态时的测量结果问题 4 能量的期望值 5 粒子位置的期望值 6 动量的概率分布 它的逆变换 例2 已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 n 1 2 3 试计算n 1时 在x1 a 4 x2 3a 4区间找到粒子的概率 解 找到粒子的概率为 0 818 例3 已知描述单粒子一维束缚状态的两个本征函数分别为波函数为试求这两个状态的能级间隔 解 两个波函数都满足定态薛定谔方程 例4 一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间 如图所示 描写粒子状态的波函数为 其中c为待定常量 求在0 区间发现该粒子的概率 解 由波函数的性质得即 由此解得 设在0 l 3区间内发现该粒子的概率为P 则 2 势垒贯穿 隧道效应 在经典力学中 若 粒子的动能为正 它只能在I区中运动 定态薛定谔方程的解又如何呢 令 三个区间的薛定谔方程化为 若考虑粒子是从I区入射 在I区中有入射波反射波 粒子从I区经过II区穿过势垒到III区 在III区只有透射波 粒子在处的概率要大于在处出现的概率 其解为 根据边界条件 求出解的形式画于图中 量子力学结果分析 1 E V0情况 在经典力学中 该情况的粒子可以越过势垒运动到x a区域 而在量子力学中有一部分被反弹回去 即粒子具有波动性的具体体现 2 E V0情况 在经典力学中 该情况的粒子将完全被势垒挡回 在x 0的区域内运动 而在量子力学中结果却完全不同 此时 虽然粒子被势垒反射回来 但它们仍有粒子穿透势垒运动到势垒里面去 所以我们将这种量子力学特有的现象称 隧道效应 隧道效应和扫描隧道显微镜STM 1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质来探测表面的结构 获得了实空间的原子级分辨图象 为此获得1986年诺贝尔物理奖 由于电子的隧道效应 金属中的电子并不完全局限于表面边界之内 电子密度并不在表面边界处突变为零 而是在表面以外呈指数形式衰减 衰减长度越为1nm 只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极 当样品与针尖的距离非常接近时 它们的表面电子云就可能重叠 若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感 若控制隧道电流不变 则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏 因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感 控制针尖高度不变 通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布 利用STM可以分辨表面上原子的台阶 平台和原子阵列 可以直接绘出表面的三维图象 使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质 在表面科学 材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景 利用光学中的受抑全反射理论 研制成功光子扫描隧道显微镜 PSTM 1989年提出成象技术 它可用于不导电样品的观察 STM样品必须具有一定程度的导电性 在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测 任何一种技术都有其局限性 下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果 这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原子到Cu表面上构成的量子围栏 1991年IBM公司的 拼字 科研小组创造出了 分子绘画 艺术 这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上 分子间距约0 5纳米的 分子人 这个 分子人 从头到脚只有5纳米 堪称世界上最小的人形图案 1994年初 中国科学院真空物理实验室的研究人员成功地利用一种新的表面原子操纵方法 通过STM在硅单晶表面上直接提走硅原子 形成平