留数及应用毕业论文.doc

-2012届毕业生毕业论文题 目: 留数及其应用 2012年5月25日摘 要 留数是复变函数论中重要概念的其中之一，它和解析函数在孤立奇点上的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等有着紧密的联系.留数理论是复积分与复级数理论相结合的成果，正确运用留数定理可以使沿闭路的积分转变为计算孤立点处的留数.另外，我们运用留数定理可以把要求的积分转化成为复变函数沿闭曲线的积分，从而把等待求解积分转化为留数的计算.本文首先介绍留数的定义和留数定理及其相关定理，随后针对具体的不同的积分的类型通过举例子来说明这几类特殊函数的定积分的计算问题.关键词：留数 留数理论 实积分 应用Title Residues and its Application AbstractThe residue is an important concept in the theory of complex functions which closely contacts with the analytic functions in Laurent expansions which are on the isolated singularity and Cauchy composite closed-circuit theorem. Residue theory is the combination of the results of the theory of complex integration with the complex series. The correct use of the residue theorem to the residue can transform isolated point at the residue which is along with the closed-loop integral into the calculation of the isolated point. In addition, we use the residue theorem to the required integral. It can be transformed into a complex function of the integral which is along with the closed curve, and change the integral which is waiting to be solved into the calculation of the residue. In this paper, the definition of the residue and the residue theorem including its related theorems are introduced firstly. And then, focusing in different types of integrals, I illustrate the calculation of the definite integrals of these types of specific functions by using examples.Keywords: residue theorem the definite integral application 目录1引言52留数的起源及其概念52.1 留数的起源及其相关现状52.2留数的铺垫知识-孤立奇点62.2.1孤立奇点的分类62.2.2函数的零点与极点的关系72.2.3函数在无穷远点的性态82.3 留数的定义及留数定理93留数的求法104函数在无穷远点的留数145用留数定理计算实积分195.1 计算 型积分205.2 形如的积分225.3 计算型积分235.4计算型积分265.5 计算积分路径上有奇点的积分306辐角原理及其应用326.1 对数留数326.2 辐角原理346.3 儒歇定理35结论39致谢40参考文献411引言留数在复变函数中是一个非常重要的基本概念，是数学中的一个非常重要研究对象，也是数学的研究与应用的一个很重要的工具.在留数的发展和研究的过程中，留数运用的范围非常广泛，它和解析函数在孤立奇点上的洛朗展开式有着非常密切的联系，中间插入的泰勒级数与洛朗级数成为了研究解析函数的一个非常有用的方法.留数和留数定理在复变函数论本身和它的实际运用中都是相当重要的，它和计算周线积分的问题或者可以转化成为考察周线积分的问题有着很紧密的联系.假如我们能够把留数和它的相关知识充分运用到现实的生活之中，那么将会使很多问题变得很简单，肯定也会产生非常好的效果.当前关于留数的研究，我们已经取得了很大成就，目前对留数理论研究可以说已经十分的深入了，它的应用也变得非常广泛，但不能怀疑的是，由于我们的学术水平和能力很有限，导致了我们对留数的应用还是十分的有限的，并且在很大程度上我们的研究几乎都局限在于对定理的引申和它的相关定理理证明之上.本文着重讨论和汇总了留数和它的定理的简单应用，并且针对具体的不同的积分的类型举几个简单的例子说明了这几类特殊函数的定积分的计算问题.2留数的起源及其概念2.1 留数的起源及其相关现状在1825年，柯西(Cauchy)在他的著名的著作关于积分限为虚数的定积分的报告中，在和计算实积分相关问题的情况相对比的情况下，合理的分析了复积分的某些与之有关的问题，随后他给出了有关留数的准确定义.由柯西提出的这个关于留数的定义到现在也在被使用，并且后人已经把它推广到微分方程等问题之上，并且也影响到了留数理论和有关留数的一些分支学科，而在和它相关的某些学科之中也产生了非常深远的意义，最终成为了复变函数中的一个举足轻重的概念.留数和它的相关推广在非常多的问题上都有着很重要的运用，如定积分和其相关问题的计算问题，函数的零点与极点的个数多少的计算问题，渐近估值问题等等相关问题.并且留数和其相关定理与解析函数在孤立奇点上的洛朗展开式问题、柯西复合闭路定理问题等都有着相当密切的关系.当前所研究的留数及其相关理论差不多都是柯西积分理论的研究的延伸.留数在复变函数及其相关理论中有着相当重要的作用，对留数再更深一步的探讨，将有极为重要的理论意义和现实意义.2.2留数的铺垫知识-孤立奇点2.2.1孤立奇点的分类定义1 函数上不是解析的，但在的某一个去心的邻域 内每一处都解析，那么称为的一个孤立奇点.我们可以依据洛朗级数展开式中的主要部分的系数是否取零值的不同情况，把函数的孤立奇点进行相关的分类. (1)可去奇点 假如对一切都有那么称是函数的可去奇点，或者可以说在上有可去奇点.这是由于假设，那么就可以得到在整个圆周上解析的函数.(2)极点 假如只有有限个（至少一个）的整数，可以让，那么我们可以说是函数的极点.假设对于正整数，有；而当时，.那么我们可以说是的阶极点.并且我们约定1阶极点是简单极点.(3)本性奇点 假设有无限个整数，可以让，那么我们就说是的本性奇点.下面所讲述几个定理将会从函数的性态上来刻画各类奇点的某些特征.定理1 假设函数在内是解析的.则是的可去奇点的一个既充分又必要条件是：极限是存在的，并且是一个复常数.由定理1我们还可推出定理2.定理2 假设是上的一孤立奇点，那么是的可去奇点的一个既充分又必要的条件是：在的某个邻域内时有界的函数.由极点的定义我们很容易得到是的阶极点的一个既充分又必要的条件是： ， （2.1）在这里有在上时解析的并且. 由（2.1）我们可以得到定理3.定理3 假如函数在内是解析的，则是的极点的一个既充分有必要的条件是：是的阶极点的一个既充分又必要条件是：，在这里是一个正整数，并且是不等于0的一个复常数.定理1及定理3的既充分又必要的条件可以分别说是有限的极限或者无穷的极限是存在的.综合考虑这两个定理，我们可以得出定理4.定理4 假如函数在内是解析的，则是 的本性奇点的一个既充分又必要的条件是：有限的极限或者无穷的极限是不存在的.2.2.2函数的零点与极点的关系定义2 假如在上是解析的，并且，为某一个正的整数，那么我们称是 的阶零点.定理5 假如在上是解析的，那么为的阶零点的一个既充分又必要的条件是： （2.2）顺便我们也可以得出，因为中的在上是解析的，并且，因此它在的邻域内是不等于0的，所以在的去心邻域内是不等于零的，只在处等于零.也可以这么说，一个解析函数是不恒等于零的，那么它的的零点必是孤立的.函数的零点和极点有这样关系：定理6 假如是的阶极点，那么可以说就是的阶零点.反之也是成立的.在判断函数的极点时，该定理提供了一个相当简单的方法.2.2.3函数在无穷远点的性态我们在考查解析函数的孤立奇点的时候，如果把无穷远点也考虑进去，那么将会带来很多的方便.定义3 假如函数在无穷远点的一个邻域（这其实相当于一个有限点的去心邻域内）内是解析的，那么无穷远点就被称之为的孤立奇点.在内，函数有洛朗级数的展开式： （）， （2.3）在这里 我们可以作一下变换，从而把扩充平面上的去心的邻域映射为扩充平面上的原点的一个去心邻域： 还可以令.这种情况下， 我们可以把在去心的邻域对的研究问题转变为在内对的研究问题.很显然在内是解析的， 所以是函数的一个孤立奇点.由在无穷远点处的奇点的类型等价于在处的奇点的类型.即是的可去奇点， 极点或者是本性奇点， 完全归结为极限是不是存在(即时为有限值)， 是不是为无穷大或者即是不存在又不是无穷大来确定. 我们可以利用倒数变换来把无穷远点变换成为坐标原点，这成为我们来解决无穷远点作为孤立奇点的一个很好的方法.这同样也具有很广泛的意义（例如在共形映射的问题中我们也可以用这种方法来解决）.接下来，我们更进一步探讨分别依据是否为函数的一个可去奇点、阶极点或者本性奇点来定义是否为函数的一个可去奇点、阶极点或者本性奇点.这种情况下有：（1） 在（2.3）式中，假如令时，那么我们可以得出是函数的一个可去奇点.（2） 在（2.3）式中，假如只有有限个（这里至少为一个）正整数，可以让，那么我们可以得出是函数的极点.假设对于正的整数，；而且如果时，那么我们得出是函数的（阶）极点.（3） 在（2.3）式中，假如有无穷多个正整数，可以让，那么我们得出是函数的本性奇点.我们可以知道，结果和有限点的情况完全相反，当无穷远点变成函数的孤立奇点的时候，它分类的依据是以函数在无穷远点处的邻域的洛朗展开式中的正次幂的系数取得零值的个数来确定的.定理7 假如函数在区域 内是解析的，那么我们说是函数的可去奇点、极点或者本性奇点的一个既充分又必要的条件是：有限的极限，无穷极限是存在的或者有限的极限或无穷的极限是不存在的.2.3 留数的定义及留数定理留数在复变函数论之中是一个相当重要的概念，它和解析函数在孤立奇点上的洛朗展开式问题、柯西复合闭路定理问题等有着相当紧密的关系.假如函数在点上是解析的，周线全都在点的某一个邻域之内，并且完全包围着点，那么依据柯西积分定理我们得到.但是，假如是函数上的一个孤立奇点，并且周线全在的某一个去心的邻域之内，并且完全包围着点，那么积分的值，通常情况下，不再等于零了.但是我们可以运用罗朗系数公式，这样就它的值就能比较容易的计算出来了.总结一下我们可以得到：假设有限点是函数的一个孤立奇点，也就是说在点的某一个去心的邻域 内是解析的，那么我们就可以称积分 为函数在点处的留数(residue)，记为.由柯西积分定理和罗朗系数公式我们可以知道，函数在有限的可去奇点上的留数是等于零的.因而我们可以得到如下留数定理：定理8 （柯西留数定理）函数在周线或者复周线所包围的区域内，除了以外都是解析的，并且在闭域上除了以外都是连续的，那么可以得到（“大范围”的积分）.3留数的求法为了使用留数定理来求周线积分，我们应该先掌握一些方法来求留数.然而计算孤立奇点上的留数时，我们只需要了解一下洛朗展开式中的这一项的系数，因而一般方法是应用洛朗展开式来求留数.定理9假如为函数的阶极点，在这里函数在点上是解析的，并且，那么我们得到在这里的符号表示，并且有证明: 推论1假设为函数的一个一阶极点，那么我们得到推论2假设为函数的一个二阶极点，那么我们得到定理10 假设为的一个一阶极点（只要函数和函数在点上是解析的，并且），那么我们得到.证明：因为为的一个一阶极点，所以.定理11 假如为函数的一个极点，那么我们得到.定理12 假如为函数的阶极点，那么我们得到.例1 计算积分，在这里为正向的圆周.解：因为有两个一级极点+1和-1，并且这两个一级极点都被包围在圆周内，所以我们得到，进而得到:最后我们可知:我们也可直接来求出留数：例2 计算积分，在这里为正向的圆周.解：我们容易知道被积函数有四个一级极点，并且这四个点都被包围在圆周内，因而我们得到所以可知:故可得:例3 计算积分，在这里为正向的圆周.解：易知为被积函数的一个一级极点，为被积函数的二级极点，而且: 所以我们得到:例4 计算积分.解：在内，易知为被积函数的一级极点:例5 计算积分，在这里为正向的圆周.解：由被积函数，易知为被积函数的101阶极点在内，所以我们可以得到:.4函数在无穷远点的留数其实留数的概念也可以推广至无穷远点.当无穷远点是解析函数的孤立奇点时，它的分类和它的类型判定便成为了函数在无穷远点上的留数的计算的理论依据，然而无穷远点处的留数的计算和与它相关的定理是处理复变函数论中的“大范围”的积分计算的很有效的方法.定义4假设为函数上的一个孤立奇点，也就是说在去心邻域：内是解析的，那么我们称为函数在处的留数，并把它记作，这儿的是指顺时针的方向（这个方向可以很容易的被看作是r沿着正方向绕着无穷远点的）.假如函数在内的洛朗展开式是那么由逐项积分定理我们可以得到也可以这么说， 等于函数在处的洛朗展开式中这一项系数符号的反号.定理13假如函数在扩充的z平面上只有有限多个孤立的奇点（无穷远点也包括在内），假设这些孤立奇点为那么函数在各点处的留数总和等于零.证明：把原点当成圆心来作为圆周的内部，那么由留数定理我们可以得到等式两边同除以，移项可得也就是这里有一点值得注意：虽然函数在有限的可去奇点上，必定会有，但是，如果是函数的可去奇点（或者说是解析点），那么可以不等于零.例如函数以作为可去奇点，但是我们得到.在这里我们引进计算留数的另外一个公式假设于是我们得到并且平面上的无穷远点的去心邻域被转化成为平面上的原点的去心邻域（如r0，规定）;而圆周被转化成为另外一个圆周 .因而我们容易证明所以对于无穷远点处的留数计算问题，下面的公式也是很实用的.例 1计算函数在其奇点处的留数.解：我们容易知道函数有两个一阶极点，于是我们可得到例 2计算函数在其奇点处的留数.解：函数总有一个三阶极点，故我们容易得到例 3计算函数在其奇点处的留数.解：函数有一个一阶极点和两个二阶极点，于是我们容易得到例4 计算的值.解： 函数在内共有6个极点：（二阶极点），（三阶极点）例5 计算下面的函数在其所有的孤立奇点上的留数：（1）；（2）；（3）；（4）（其中为自然数）.分析：关于有限的孤立奇点，求留数的最简单的方法是计算一下其洛朗展开式中的负幂项的系数.但是如果我们知道了孤立奇点是那种类型的话，留数问题的计算也就会变得简单了. 比如当是函数的可去奇点时，（这里要特别注意当时，此结论并不正确）关于函数在极点上留数的计算问题，我们也有相应的法则或者公式.关于无穷远点处的留数，我们通常是寻求在内的洛朗展开式中的负幂项的系数的反号，当然我们也可以转化为求函数在处的留数，同样我们还可以运用公式来求解，在这里为的有限个奇点.解： （1）函数的孤立奇点是0和，并且我们容易得到在内有洛朗展开式 这既可以看作为函数在的去心的邻域内的洛朗展开式，又可看作是函数在的去心的邻域内的洛朗展开式.因此我们得到（2）函数的孤立奇点是0和，我们容易得知函数在内有如下洛朗展开式： 在这儿我们用了洛朗级数的乘法，其实这和数的乘法相类似，但是在这里我们在乎的只是项的系数.所以 （3）函数有奇点：0，.显然我们知道0为函数的非孤立的奇点，为的函数的一阶零点，因而我们知道为的一阶极点.那么从而得到，我们容易得到为的一个三阶极点.=- 1/6注：由以上分式所给出的函数，其中与在都是解析的函数.假如为函数的一阶零点，则我们可知当时，是的一个简单极点；当时，是的一个可去奇点，但是公式对哪类点都是成立的.(4) 函数以和方程为其孤立奇点.其中为的一个一阶零点（是方程的单根）.我们可知.5用留数定理计算实积分留数定理是复变函数论中的一个定理，假如想要在实变函数的定积分中运用，那么必须将实变函数变转化成复变函数.这儿就要运用解析拓展这个概念了.一些实积分可以通过留数定理来进行计算，特别是针对原函数不是很容易直接求出来的定积分以及反常积分，这通常是不失是一个很有效的方法，而它的要点是把它转化为复变函数中的周线积分的计算.如图所示，关于实积分，变量被定义在了闭区间(线段)上，该区间应该是回路的其中一部分.实积分要想转变成回路积分，那么实积分就必须被解析拓延到这个复平面上包含其回路的某个区域之中，从而实积分转化成回路积分中的一部分：下面通过举例子说明了我们常见的几类可以转化为留数定理来计算的定积分的类型，这些计算很简单，通过这些例子，我们可以观察出实积分中的定积分的计算和运用留数定理来计算之间的区别和联系.在解题时，我们应该看具体情况来确定使用哪种方法，当我们使用实积分理论来计算显得很困难甚至无法来计算时，那么我们若利用留数定理来计算，定能够收到相当不错的效果.5.1 计算 型积分在这里 表示为关于的有理数，并且它在 上是连续的.假如令，那么我们可得，而当 所在的区间变成时，沿着圆周 的正方向绕行一周.所以我们得：，公式的右端是关于的有理函数的周线积分，而且它的积分路径上没有奇点，由留数定理，我们可以求出它的值.在这里很重要的一步是引入变数代换，而被积分函数在 上的连续性我们可以不用先检验，我们只要检查变换后的被积函数在处是不是有奇点.假如函数在上没有奇点，但是在内有等中个的孤立奇点，那么运用留数定理，我们可以得到例1 计算的值.解：当时，;当时，我们令， 当时，在内， 仅以为一级极点，在上没有奇点，所以由留数定理我们得到当时，在内仅以为一级极点，在上没有奇点例2 计算的值.解：我们假设故.例3 计算的值.解：假设令，被积函数在内仅有一个二阶极点：所以我们得到:.5.2 形如的积分假如被积函数是关于的有理函数，并且分母的次数至少要比分子的次数高二次，当在实轴上无孤立奇点时，积分存在.定理14 假如 ，1 比至少高两次，2 在实轴上无零点，3 在上半平面内的极点为，那么我们可以得到.例1 计算的值.解：为了考察，我们先考察函数，我们知道函数在平面上有且只有一个阶极点，那么例2 计算的值.解 由于，且函数在上半平面有且只有一个极点，所以我们得到 5.3 计算型积分为了计算这一类的反常积分，我们在下面先证明一个引理，这个引理主要用来估量辅助曲线上的积分.引理1 假如函数在圆弧充分大上是连续的，并且一致成立（即和之中的 没有什么关系），那么.证明：因为因而我们得到 （5.1）对于任意给出的，则由已知条件可知存在，使得当时，有不等式于是（5.1）式没有超过（其中为的长度，即）定理15 假如是有理分式，在这里与为互质多项式，并且满足下面条件：（1）；（2）在实轴上有，那么我们可以得到.证明：由条件（1），（2）和数学分析中的结论，知是存在的，且等于它的值记作取上半个圆周来看作辅助曲线（如图所示）.因而由线段和合成一周线，我们先取充分大，使内部完全包含函数在上半平面之中的一切孤立奇点（实际上这里只有有限个极点）.运用条件（2）， 函数在圆周上没有奇点.由留数定理可知或者我们可以写为 （5.3）因为 再由假设条件（1）知，所以沿着就可以得到在等式（5.3）中令，知（5.3）中第二项积分的极限等于零，到这里我们证明了这个定理.例1 计算的值.解： 满足有理函数积分条件函数在实数轴只有单极点：函数在平面上没有奇点，所以例2 计算的值.解： 我们令， 那么函数的孤立点为其中落于上半平面内的点的为，所以.5.4计算型积分引理2（若尔当引理） 假如函数在半圆周（充公大）上是连续的，而且在上一致成立.那么我们可以得到证明：对于任意给出的的，存在，使得当时，有于是我们可以得出在这里利用了和于是可以得出那么上式转变为.定理16 假如，在这里及是互质多项式，且符合条件:(1) 的次数比的数高(2)在实轴上有(3)满足那么我们可以得到如果我们把上式分开实部和虚部，我们就可以得到下面的及的积分.例1 求的值.解:令，我们来选择一下积分的路径，可以得到在内只有一个一级极点，并且对于，有 例2 计算的值.解： 很容易验证，函数满足了若尔当引理条件.在这里，函数共有两个一阶极点和，所以 例3 计算的值.解：这里在实轴上没有孤立奇点，所以说题目中所求的积分的存在性是不用怀疑的.在上半平面上只有一级极点，所以我们得出例4 计算的值.解： 我们运用以及若尔当引理，再结合分母在上半圆只有两个孤立奇点及，很容易得到 例5 求积分的值.解：如图所示作辅助曲线， 由引理我们可以知道:函数在实轴上没有奇点，为函数在上半平面内的单极点比较其实和虚部，我们得出： (奇函数在对称区间上的积分等于零).例6 计算的值.解： 很容易知道被积函数为偶函数，因而我们可以知道假设函数的关系式是，那么它共有四个一阶极点，即为（）于是 ，由于，因此在上半面内有两个一阶极点和，于是我们得到，所以 .5.5 计算积分路径上有奇点的积分在和数学分析的比较当中，关于瑕积分我们也可以类似的定义它的柯西主值.又在定理16中假设函数没有零点，那么在这里我们可以允许条件再放宽一些，允许函数存在有限多个一阶零点，也就是说在实轴上存在有限个一阶极点.我们要计算挖去极点后沿着辅助的路径的积分问题，除了上面的两个引理以外，我们还要再引入一个引理.引理3 假如沿圆(r充分小)上是连续的，并且在上一致成立，那么我们可得到证明： 由于，所以.例1 计算积分的值.解： 我们先作辅助函数: ，在上平面内没有奇点，然而在实轴上则有单极点，所以我们作绕过点； 且 所以，令，依据引理我们可得:再把在的领域内展开为罗朗级数:在这里为领域内的泰勒级数，所以函数在上是解析的，则有对于积分，设，那么我们对于积分的值进行估计如下：由于函数在上是解析的，那么在处是连续的， 函数在上必定是有界的，所以有,.6辐角原理及其应用6.1 对数留数留数理论的一个非常重要应用是用来计算积分，我们把它称为的对数留数.由对数留数推得的辐角原理提供了一种计算解析函数的零点的个数的相当有效的方法.更重要的是，我们可以用这个研究在某个特定的区域内多项式的零点的个数问题.显而易见，函数的零点以及奇点都很有可能是的奇点.引理4 (1) 假如为函数的级零点，那么我们可以知道必为函数的一个一级极点，还满足. (2) 假如为函数的级极点，那么我们可以知道必为函数的一个一级极点，还满足.证明：（1）假如为函数的阶零点，那么在点的某个领域内可以得到在这里函数在点的领域内是解析的，并且.因而我们得到,.因为在点的领域内是解析的，所有必定是的一个一阶极点，并满足.（2）假如为函数的阶极点，那么我们知道在点的一个去心领域内有,在这里函数在点的领域内是解析的，并且所以很容易的得到,然而在点的某个领域内是解析的.所以一定是的一个一阶极点，并且满足.定理17 假如是一条周线，函数满足下面的条件:(1) 函数在的内部除了可能有的极点外都是解析的；(2) 函数在上解析且不等于零.那么我们可以得到 .其中式中的与分别代表函数在内部的零点和极点的个数(在这里一个级零点我们算作个零点，一个级极点我们算作个极点).证明：很容易知道函数在内部至少有有限个零点与极点.假如为函数在内部的一些不同的零点，它的阶数相对应地为是函数在内部的一些不同极点，它的阶数相对应地为我们可以知道在内部及上除去在内部有一阶极点及外全都是解析的.所以由留数定理及其相关引理可以得到.6.2 辐角原理辐角原理 函数在周线的内部的零点个数和极点个数的差，等于当沿周线的正方向绕行一周后的变化量除以，也就是说特别地，假如函数在周线上和周线的内部都是解析的，并且函数在周线上不等于零，那么在这里和分别代表函数 在周线内部的零点的个数和极点的个数，并且每一个零点按重数来计，极点按阶数来计.定理中假设周线是简单的，即为周线没有自交，而且规定是按它是逆时针方向来定向的.这个结论对研究常系数的线性微分方程的解的稳定性是相当有用的.通过辐角原理我们可以知道，解析函数一定是把区域转化为区域，区域内的单叶的解析函数的导数在每一处都不为零，并且它的反函数依旧是单叶解析函数，我们还可以探讨解析函数序列的零点的个数和它的极限函数的零点的个数之间有着怎样的关系等等问题.例1 设试着来验证一下辐角原理.解：函数在平面上是解析的，在周线上没有零点，并且在周线的内部只有一个一阶零点和一个二阶零点.因此，从一个角度说我们有从另一个角度我们得，当沿着正方向绕周线一周时，得到，所以说辐角原理是成立的.6.3 儒歇定理儒歇定理是辐角原理的推论，当研究函数的零点的分布情况时，儒歇定理很方便.定理18 儒歇定理 假如是一条周线，函数和函数满足下面的条件：（1）它们在周线的内部都是解析的，并且连续到周线；（2）在周线上，那么函数与在周线的内部有一样多（即是有几阶算作几个）的零点，即是例1 假如次多项式满足条件那么在单位圆内有个零点.证明：令我们很容易验证在单位圆周上，成立.按照儒歇定理，在单位圆内的零点，和在单位圆内的零点是同样多的，共个.由此我们可以得到方程在单位圆内有5个根；方程在单位圆内有4个根；方程在单位圆内有1个根；方程在单位圆内无根.例2 应用儒歇定理来证明代数学的一个基本定理：任意一个次方程有且仅有个根（也就是说，几重根就被作为几个根）.证明：令，那么当在充分大的圆周上时，比如我们取，则就有由儒歇定理我们即知在圆内，方程与有同样个数的根.而在内有一个重根.所以说原次方程在内有个根.另一面，在圆周上，或者在圆周的外部，任意的取一点，那么，所以我们得到这也就证明了原次方程在圆周上和圆周的外部都没有根.因此原次方程在平面上有且只有个根.下面我们应用儒歇定理来证明的定理就是单叶解析函数的非常重要的性质之一.例3 如果函数在区域内是单叶解析的，那么在内.证明：假如有的点使，那么肯定是的一个阶零点.我们由零点的孤立性可知，存在，使得在圆周 上，而在的内部，和没有不同于的零点.令表示在周线上的下确界，那么由儒歇定理我们即知，当时，在圆周的内部正好有个零点.但是所有的这些零点无一都是多重点，原因就是在内部除了点外没有别的零点，而显然不是的零点.所以令表示在周线内部的个不相同的零点.于是我们得到 显然这和的单叶性假设是矛盾的.所以在区域内.结论复变函数是一门工程数学，在工程技术上有许多应用，复变函数在稳定平面流场和静电场以及在工程技术上都有许多用，留数作为复变函数的重要内容，更是发挥着不可替代的作用.正确的运用留数可以有效的解决一些复杂的定积分问题，留数定理是学习辐角原理的基础，在复变函数的学习中有着重要的作用，是复变函数的基础理论之一.我从资料的收集过程中，掌握了很多关于留数计算的知识，这让我对我所学过的知识有所巩固和提高，并且让我对当今复变函数的最新发展研究有所了解.在这个过程中，我学到了新的知识，同时长了很多见识.在以后的生活中，我要奋发图强，刻苦努力，力争在我所学的领域中有所成就.毕业论文的制作，有苦也有累，让我体会到了做出一份成果的艰辛，也让我体会到了有所成就的喜悦.在毕业论文的创作过程中，我知道了什么是脚踏实地，什么是吃苦耐劳.这种不怕苦，不怕累的精神将会对我将来的美好的人生打下坚实的基础.致谢论文之所以能得以顺利的完成，首先要衷心感谢我的指导老师.在本文的写作的过程中，老师给予了我悉心的指导.曾教我们复变函数论这门课，治学严谨，学识渊博，老师在数学上颇有造诣，在他细心的教导之下，这门晦涩难懂的复变函数论变得浅显易懂.随和的待人态度，忘我的工作作风，深深地感染和激励着我.没有老师的心血和汗水，我这篇论文的完成也便成为空谈.在此向老师表示深深的感谢和崇高的敬意！四年的大学时光就要过完了，自己在大学中成长了很多，学到了很多的知识，也懂得了很多人生的道理.这无疑要归功于理学院的全体老师对我的悉心栽培.我在这里感谢理学院的全体老师和大学期间传授给我知识的其他老师，没有各位老师的悉心栽培，也就没有今天的我.在此向所以教育和指导过我的老师表示深深的感谢.四年的磨砺，让我懂得了自己还有更多的任务要去完成，还有更多的、更大的事要去做