重庆大学信号与系统---信号与系统课件2.ppt

第二章连续时间系统的时域分析 微分方程的建立与求解零输入响应和零状态响应冲击响应与阶跃响应卷积及其性质 2 1微分方程的建立与求解1 微分方程的建立 设系统的激励信号为 响应为 则系统的特性可用一微分方程来描述对于线性时不变系统 该式为一非齐次的常系数线性微分方程式 a 电阻 b 电容 c 电感 d 耦合电感v I的关系 依据 系统微分方程的建立依据是构成系统的各部件的特性以及各部件之间的连接方式 具体到电路中 微分方程的列写依据是VAR KCL和KVL三条规律 电路如右图所示 列写的方程 举例 描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常微分方程 一般形式如下 其中为激励信号 有时称为输入信号 为响应信号 也称为输出信号 为微分方程的阶次 或系统的阶次 由于系统是线性时不变的 所以上述微分方程中的所有系数都是常数 二 微分方程的求解 经典法 齐次解 由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式 注意重根 复根情况处理方法 特解 根据微分方程右端函数式形式 设含待定系数的特解函数式 代入原方程 比较系数定出特解 全解 齐次解 特解 由初始条件定出齐次解系数 求解的一般步骤 一 微分方程的齐次解 齐次方程 特征方程 特征方程的个根称为特征根 1 特征根无重根 即个特征根各不相等 则齐次解为 2 特征根有重根 设有重根 则齐次解中相应于的部分有项 即 微分方程的齐次解的形式取决于特征根的不同情况 其中为待定系数 由给定的系统初始条件确定 写成复根因子的形式 复函数的形式 写成实函数解的形式 3 特征根为共轭复根时 齐次解可有两种选择形式 设一对共轭复根为 这时 为一对共轭复数 这时 为两实数 1 2 例题 写出微分方程的齐次解的形式 解 1 特征方程 特征根 齐次解的形为待定系数 2 特征方程 特征根 齐次解的形式 其中为待定系数 二 微分方程的特解 将代入微分方程右边 化简得到的项称为自由项 特解即可根据自由项的函数形式来选择 如下表所示 解 1 自由项 设特解 例题 已知微分方程 1 2 求两种情况下微分方程的特解 代入原微分方程得 解得 解 2 自由项 设特解 代入原微分方程得 解得 微分方程的完全解由齐次解与特解相加得到 其中特解是一确定函数 而齐次解中有个未知系数 这个未知系数或待定系数必须由系统给定的初始条件来确定 即 其中中有个待定系数 它们由下面个初始条件来确定 例已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y 0 1 y 0 2 输入信号f t e tu t 求系统的完全响应y t 特征根为 齐次解yh t 解 1 求齐次方程y t 6y t 8y t 0的齐次解yh t 特征方程为 将特解带入原微分方程即可求得常数C 1 3 由输入f t 的形式 设方程的特解为 2 求非齐次方程的特解yp t 解得A 5 2 B 11 6 yp t Ce t 3 求方程的全解 解 齐次解 若 则特解为 将B t 代入微分方程 并用初始条件求出待定系数 注意 1 求待定系数用到的是的初始值 而不是的初始值 2 从信号与系统分析的角度来说 初始条件用的是时刻的值 但一般给定的已知条件是时刻的值 它们在一般情况下是不同的 3 微分方程的算子表示 引入算子 并令于是有 微分方程的算子表示 续 令高阶微分方程的算子表示传输算子 算子的运算 如果则有 为常数 不可约 算子可相约算子不可相约 三 起始点的跳变 从到状态的转换 如上所述 在确定完全解中齐次解部分中的待定系数时 我们要有个初始条件 从信号与系统分析的角度来说 这个初始条件指的是时刻 因为激励接入后的瞬时是时刻 或微分方程描述的是时间区间 但在实际问题中 我们知道的是时刻的起始状态 与时刻系统的状态一般是不同的 所以有下面两个概念 起始状态 在激励接入系统之前的瞬 系统的状态称为起始状态 它总结了为计算未来响应所需要的过去的全部 信息 初始状态 在激励接入系统之后的瞬时 系统的状态为初始状态 它用于求系统响应中齐次解部分的待定系数 求起始点的跳变一般有两种方法 1 对于具体的电网络 首先求出 一般情况下 换路期间电容两端电压和流过电感中的电流不会发生跳变 然后根据元件特性约束和网络拓扑约束求得时刻其他电流或电压值 2 冲激函数匹配法 当系统用微分方程表示时 系统的到状态有无跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数 若包含 则发生跳变 原理为根据微分方程两边奇异函数和项平衡相等来求 冲激函数匹配法 举例说明其原理 例 系统的微分方程为 给定 求 解 方程右边有所以包含 即在时刻有存在 其中表示到相对单位跳变函数 因而即 数学方法描述为 设代入原方程得 得出 解得 所以得 或 例 给定电路如图示 开关S处于1的位置而且已经达到稳态 当时 S由1转向2 建立电流的微分方程并求解在时的变化 2 1 S 解 1 列写微分方程 列回路方程 列节点方程 图1 整理得 2 求完全响应的形式 齐次解 特征方程 特征根 齐次解形式 特解 时 自由项为16 所以设代入原方程 解得 完全解的形式 3 确定换路后的 方法一 换路前 换路后 方法二 由题意知 的波形如图 即 当时微分方程为 0 所以可设 代入上方程求得 解得 所以 4 求完全响应 由完全响应的表达式得 解得 所以完全响应为 经典法求解微分方程的流程 将元件电压电流关系 基尔霍夫定律用于给定电系统 列写微分方程 齐次解 系数A待定 特解查表 完全解 齐次解 特解 A待定 已定系数A的完全解 系统的响应 给定系统状态 求出对应状态 经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂 则难以处理 若激励信号发生变化 则须全部重新求解 若初始条件发生变化 则须全部重新求解 这种方法是一种纯数学方法 无法突出系统响应的物理概念 由0时刻的起始条件求时刻的初始条件一般是很困难的 所以求系统响应时 一般绕开初始状态跳变的问题 而用别的方法来求系统的响应 详见后面章节内容 如零状态响应的求解内容 四 零输入响应和零状态响应1 零输入响应 对于线性时不变系统 零输入响应是满足及起始状态的解 2 零状态响应 零状态响应是满足方程及起始状态的解 3 响应的表达式 零输入响应零状态响应完全响应 2 2冲激响应与阶跃响应 二者都是零状态响应 1 单位冲激响应 以单位冲激信号 t 作激励时 系统产生的零状态响应 以h t 表示 2 单位阶跃响应 以单位阶跃信号u t 作激励 系统产生的零状态响应 以g t 表示 h t 与g t 的关系 用冲激响应分析线性系统的方法更常用 冲激响应h t 的求法 系统方程为 一 确定h t 中的冲激函数及导数项 当激励e t t 时 系统的零状态响应为h t 则系统微分方程为 用方程左右两端奇异函数平衡的原则 左边最高阶对应右边最高阶 第一 h t 的形式将与m n值的相对大小密切相关 2 n m 则h t 包含 t 项 3 n m 则h t 包含 t 项及其导数项 二 确定冲激响应h t 的函数形式 当n m时 当n m时 当n m时 h t 中还应包含 t 的导数 三 确定h t 中的系数ki 将h t 及其各阶导数代入系统方程左端 t 及其各级导数代入方程右端 令对应项系数相等 解 n 2 m 1所以h t 中不包含 t 特征方程为 冲激响应为 对h t 求各阶导数 将r t h t 及e t t 代入给定微分方程 返回 零状态响应 1 任意信号可分解为冲激信号的线性组合 2 系统的零状态响应 对于线性时不变系统 当 t 0时 t d k t 3 系统的全响应 零输入响应 零状态响应 解 列写微分方程 代入元件值 R 1 C 1F 特征方程 1 零输入响应为 2 零状态响应 先求电路的冲激响应 代入初始条件可得 将h t h t 和 t 代入微分方程两端 即 所以全响应为 若用经典法求解 稳态响应 随时间增长仍继续存在并趋于稳定的部分 暂态响应 随时间增长而衰减消失的部分 全响应 零输入响应 零状态响应 自然响应 受迫响应 暂态响应 稳态响应 系统的响应 2 3卷积 定义 设函数f1 t 与函数f2 t 具有相同的自变量t 将f1 t 与f2 t 经如下的积分 可得到第三个相同自变量的函数g t 即 此积分称为卷积积分 记为 一 卷积的图解计算 两个矩形波f1 t 与f2 t 如图所示 其它 其它 求解f1 t f2 t 解 1 变量置换 2 反褶 3 平移 将f2 沿时间轴 平移t t为参变量 t 0时向右平移 t 0时向左平移 随t取值不同 f2 t 出现在不同位置 4 相乘 将f1 和f2 t 相乘 5 积分 阴影的面积 即g t 的值 是t时刻的卷积结果 二 卷积的解析计算 1 积分限的确定 A 设f1 t 是有始函数 当t 0时 f1 t 0 f2 t 不受此限 积分下限为0 B t 0时 f2 t 0 f1 t 不受此限 即 当 t时 f2 t 0 C 将A B两个条件合并 t 0时 f1 t 0 f2 t 0 积分上限为t 积分上限为t 下限为0 卷积的被积函数是有始函数 卷积也是有始函数 2 起始时刻的确定 若f1 t 从t1时刻起始 f2 t 从t2时刻起始 即 积分限是 起始时刻是 当t t2 t1时 g t 0 当t t2 t1时 g t 不为0 起始时刻 t t1 t2 所以 g t 可表示为 具体计算方法 将两个阶跃函数的时间相加 u t1 与u t t2 中 t1 t t2 t t1 t2 起始时刻 t t1 t2 例 求 1 图解法 首先将f2 反褶 再将f2 沿 轴平移t 用图解法进行分段积分 求出g t 当t 0时 f1 f2 t 0 所以g1 t 0 当0 t 2时 f1 与f2 t 有部分重迭 积分限0 t g2 t 为 当2 t 时 f2 t 完全落在f1 上 积分限t 2 t g3 t 为 对以上结果用一个函数表达 2 解析法 对式 和 都是有始函数 所以下限为0 上限为t 即 起始时刻为t 0 将两个阶跃函数时间相加 即 t t为阶跃函数所应具有的起始时刻 对式 和 下限为0 上限为t 2 起始时刻 t 2 将两个阶跃函数时间相加 即 t 2 t 2为阶跃函数所应具有的起始时刻 三 卷积的性质 1 交换率 2 分配率 3 结合率 5 卷积的积分 4 卷积的微分 四 函数f t 与冲激函数或阶跃函数的卷积 1 f t 与冲激函数卷积 结果是f t 本身 证明 根据卷积定义和冲激函数的抽样性质 类似有 2 f t 与冲激偶的卷积 t 称为微分器 3 f t 与阶跃函数的卷积 u t 称为积分器 推广 五 卷积积分的数值计算 用数值计算法求e t h t 步骤 1 将e 和h 分解成若干宽度为T的矩形脉冲 得到近似函数ea 和ha 2 将ha 自左向右移动 并在T的整数倍的位置上计算ea 和ha nT 对应项乘积之和 t 0 ra 0 0 t T ra T Te0h1 t 2T ra 2T T e0h2 e1h1 推广到一般情况 即t nT时 总结 卷积是本门课中十分关键的概念 着重掌握 1 图解法2 解析法3 卷积的性质 4 交换率 证明 利用卷积定义 用积分换元法 令 t 则d d 返回 5 卷积的微分 证明 对上式右侧的定积分 可将对t的微分移至积分内 是参变量 返回 6