2019_2020学年高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式学案北师大版.docx

1.1简单形式的柯西不等式 1.2一般形式的柯西不等式学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式(重点、易混点)2.理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程(重点难点)3.能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明(难点)教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27P28，完成下列问题1定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立2柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式(a2b2)(d2c2)(acbd)2是柯西不等式.()(2)(ab)(cd)()2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数.()(3)在柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2中，a，b，c，d是任意实数.()解析柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成()2，()2，()2，()2，所以是正确的，(3)正确答案(1)(2)(3)教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29P30“练习”以上部分，完成下列问题1定理2设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立2推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“”成立在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？解不可以若bi0而ai0，则k不存在利用柯西不等式证明不等式【例1】(1)已知a2b21，x2y21，求证：|axby|1；(2)设a，b，c为正数，求证：(abc)精彩点拨本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将，增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用自主解答(1)|axby|1.(2)由柯西不等式得：ab，即ab.同理：bc，ac.将上面三个同向不等式相加得：()2(abc)，所以(abc)利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中a，b，c，dR或(ab)(cd)()2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a1a)变形等.1设a，b，c为正数，求证：abc.证明由柯西不等式()2()2()2.于是(abc)(abc)2，即abc.运用柯西不等式求参数范围【例2】已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围精彩点拨“恒成立”问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值自主解答.故参数的取值范围是.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的取值范围解由柯西不等式得，(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得1a2，所以实数a的取值范围是1,2.利用柯西不等式求最值探究问题1柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2是如何证明的？提示要证(a2b2)(c2d2)(acbd)2，只要证a2c2b2c2a2d2b2d2a2c22abcdb2d2，即证b2c2a2d22abcd，只要证(bcad)20.因为上式显然成立，故(a2b2)(c2d2)(acbd)2.2根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(ab)(cd)()2(a，b，c，d为非负实数)；(2)|acbd|(a，b，c，dR)；(3)|ac|bd|(a，b，c，dR)提示成立【例3】已知x22y23z2，求3x2yz的最小值精彩点拨利用x22y23z2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值自主解答(x22y23z2)(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)12.23x2yz2，3x2yz的最小值为2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.3若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.当且仅当时“”成立，为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.1设x，yR，且2x3y13，则x2y2的最小值为()A B169C13D0解析(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.答案C2已知a，b，c大于0，且abc1，则a2b2c2的最小值为()A1 B4 C D解析根据柯西不等式，有(a2b2c2)(121212)(abc)21，a2b2c2.答案C3已知a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，则t的取值范围是()A(0,1)B(1,1)C(1,0)D1,1解析设(a，b，c)，(x，y，z)|1，|1