高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性学案 新人教B版选修11.doc

3.3.1利用导数判断函数的单调性1通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系2会利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性用函数的导数判断函数单调性的法则设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，1如果在(a，b)内，_，则f(x)在此区间是增函数；2如果在(a，b)内，_，则f(x)在此区间是减函数此法则只说明函数yf(x)在某区间上f(x)0(或0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件，但并非必要条件【做一做11】若函数yf(x)的导函数f(x)在(a，b)上恒大于0，则函数yf(x)在(a，b)上是_函数(填“增”或“减”)【做一做12】函数yf(x)的导函数f(x)0在(1,2)上恒成立，则区间(1,2)是函数yf(x)的_区间(填“增”或“减”)利用求导的方法求函数的单调区间、判断函数的单调性需注意哪些问题？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间(2)在对函数划分区间时，除了必须注意确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点题型一 函数的图象与导数的关系【例1】已知导函数f(x)的下列信息：当1x4时，f(x)0；当x4或x1时，f(x)0；当x4或x1时，f(x)0.试画出函数f(x)图象的大致形状分析：题中给出的信息是函数yf(x)在实数集r上的部分，根据导函数的正负，画出曲线的一个上升或下降的趋势即可反思：本题考查函数单调性与导数的关系知道导数在区间上的符号(正、负)，可知函数在此区间上的单调性，进而可画出其大致图象题型二 求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)x33x3；(2)f(x)x(ex1)x2.分析：利用函数单调性判定法则解题反思：求函数f(x)单调区间的方法和步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(4)确定f(x)的单调区间温馨提示：函数的单调区间之间不能用“或”，“”联结题型三 易错题型【例3】(1)求函数f(x)x的单调区间；(2)已知f(x)x在1，)上是增函数，求a的取值范围(1)错解：f(x)1.令10，解得x1或x1.因此，f(x)的增区间为(，1)和(1，)令10，解得1x1.因此，f(x)的减区间为(1,1)错因分析：没有注意到函数的定义域是(，0)(0，)(2)错解：f(x)1.由题意得10在1，)上恒成立，即ax2在1，)上恒成立因为x2在1，)上的最小值为1，所以a1，即a的取值范围为(，1)错因分析：f(x)在1，)上是增函数时，导函数f(x)0在1，)上恒成立；而错解用了f(x)在1，)上是增函数时，f(x)0在1，)上恒成立1函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调增区间为()a(a，x1)b(x2，b)c(a，x1)(x2，b)d(a，x1)和(x2，b)2在区间(a，b)内，f(x)0是f(x)在(a，b)上是减函数的()a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3函数f(x)x33x29的单调增区间为_4若函数f(x)x3ax24在区间(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为_5函数f(x)xln x的单调递减区间为_答案：基础知识梳理1f(x)02f(x)0【做一做11】增【做一做12】减典型例题领悟【例1】解：当1x4时，f(x)0，可知f(x)在区间(1,4)上是增函数，曲线应呈“上升”趋势；当x4或x1时，f(x)0，可知f(x)在区间(，1)和(4，)上是减函数，曲线应呈“下降”趋势；当x4或x1时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示【例2】解：(1)f(x)3x233(x21)3(x1)(x1)令3(x1)(x1)0，解得x1或x1.因此，f(x)的增区间为(，1)和(1，)令3(x1)(x1)0，解得1x1.因此，f(x)的减区间为(1,1)(2)f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令(ex1)(x1)0，解得x1或x0.因此，f(x)的增区间为(，1)和(0，)令(ex1)(x1)0，解得1x0.因此，f(x)的减区间为(1,0)【例3】(1)正解：f(x)1.令10，解得x1或x1.因此，f(x)的增区间为(，1)和(1，)令10，解得1x1，且x0.因此，f(x)的减区间为(1,0)和(0,1)(2)正解：f(x)1.由题意得10在1，)上恒成立，即ax2在1，)上恒成立因为x2在1，)上的最小值为1，所以a1，即a的取值范围为(，1随堂练习巩固1d2a3(，0)和(2，)4(，3f(x)3x22ax.