1.3.2奇偶性.doc

中学数学教材学习讲义(必修1)人教A版 主编：贾广素第1.3.2节 奇偶性古老的北京城是一座对称的城市.它以故宫为中心，从永定门、前门、天安门、午门、神武门、景山到地安门、钟楼、鼓楼和安定门，组成了一条中轴线.许多象征封建时代帝王权力的重要建筑，也都整齐对称地分布在中轴线的周围.这种对称的格局在故宫的宫殿建筑上表现得尤为明显.紫禁城内部，不仅殿堂建筑此起彼落，互相对应，甚至连道旁的石兽石栏，城边的角楼，屋脊上的雕刻，也都成双配对，相映成趣.整齐对称，构成了北京城市建筑上的独特风格和宏伟的气势，给人以稳重、博大、端庄的感觉！研习教材重难点研习点1.奇函数、偶函数的概念1奇函数、偶函数的定义（重点）偶函数的定义：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有,那么就叫做偶函数（even function）奇函数的定义：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做奇函数（odd function）由定义可以看出，若是定义域中的一个数值，则也必然在定义域事，因此函数是奇函数或偶函数的一个必要不可少的条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称.换句话说，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，比如在区间上是偶函数，但在区间上却无奇偶性可言.【辨析比较】 函数的奇偶性与单调性的区别 函数的奇偶性是函数在定义域上的对称性，而单调性反映的是函数在某一区间上函数值的变化趋势.奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，则奇偶性是函数的“整体”性质，只有对于定义域中的每一个数值，都有(或),我们才可以说函数是奇函数(或者偶函数).思考：奇偶函数的和、差、积、商（分母不为零）所组成的新函数的奇偶性如何？探究：偶函数的和、积、商（分母不为零）所组成的新函数仍然是偶函数；奇函数的和所组成的新函数仍为奇函数，奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）所组成的新函数为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数.（注意：在利用这些结论时应注意各个函数的定义域）.但对于差的问题却又得从新进行考证，因为“两个奇函数的和或差是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数”的说法有点欠妥：一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如,，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间上有定义且，因此，在这个区间上函数既是奇函数又是偶函数.2函数奇偶性的分类对于我们所接触到的函数,如果我们利用函数的奇偶性的定义加以判断的话,可以发现,所有的函数分为了四类:有的函数是奇函数,有的函数是偶函数,也有的函数对于其定义域内的任意一个,与能够同时成立,那么函数既是奇函数又是偶函数,简称为既奇又偶函数;也有的函数对于其定义域内的任意一个,与都不成立,那么函数既不是奇函数又不是偶函数,简称为非奇非偶函数.所有的函数均在这四类之中,无一例外.【梳理总结】 关于函数奇偶性质的几个未成文的规定 (1)奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称,如果定义域不关于原点对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数;(2)判断函数的奇偶性,包括判断一个函数是奇函数,或者是偶函数,或者既是奇函数又是偶函数,或者既不是奇函数又不是偶函数,对于函数的奇偶性一定要判断清楚,不能似是而非.典例1.判断下列函数的奇偶性.(1); (2); (3).【研析】(1)原函数的定义域为,对于定义域内的每一个都有从而函数为奇函数.(2)原函数的定义域为R,对于定义域内的每一个都有从而函数为偶函数.(3)由于,从而函数既不是奇函数也不是偶函数.研习点2.函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.若为偶函数，则.若奇函数定义域中含有0，则必有.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.如设是定义域为R的任一函数， 则，.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.典例2.已知函数是奇函数,且,求的值.【研析】由题意,可得又由于知再由将代入得(1)当时,即,或.当时,故;当时,符合题意.(2)当时,即,无解.综上可知, 研习点3.奇函数与偶函数的判断方法1定义法根据函数奇偶性的定义直接加以判断,这种判断方法称之为定义法.利用定义法判断函数的奇偶性的步骤:(1)考察定义域是否关于原点对称;(2)验证或对定义域中的任意的值是否成立;(3)得出结论.2利用定义的等价形式从函数的奇偶性的概念可以发现, 是与等价的, 是与等价的,也就是说,判断或在定义域中是否为恒等式,也可以判断函数的奇偶性.上述两式也可以用代替.另外,对于奇函数,若0在其定义域内,则一定有;对于偶函数,有3结合函数图象由于奇偶函数的图象具有以下性质:若为奇函数,则它的图象关于原点对称,反之也成立;若函数为偶函数,则它的图象关于轴对称,反之也成立.这个定理给我们提供了结合图象处理奇偶性问题的依据.【探究发现】 一些关于函数奇偶性的常用结论 (1)奇函数在处有定义,则事实上,但是满足的函数当然不一定是奇函数. (2)既奇又偶的函数表达式是唯一的:,定义域是关于原点对称的非空数集. (3)定义域关于原点对称的函数可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即 典例3.设是实数,函数讨论函数的奇偶性.【研析】 当时,函数,此时是偶函数.当时,所以此时是非奇非偶函数.探究解题新思路 基础思维探究题型一 函数奇偶性的判断典例1. 判断下列函数的奇偶性：(1); (2)【研析】(1)的定义域为,关于原点不对称,所以既不是奇函数也不是偶函数.(2) 的定义域为关于原点对称,又,既是奇数函数又是偶函数. 探索发现 探研一个函数的奇偶性,首先应该求出其定义域,如果其定义域关于原点对称,再利用奇偶函数的定义加以判断;如果其定义域不关于原点对称,则所判断的函数既不是奇函数也不是偶函数.典例2. 已知函数=试判断函数的奇偶性.【研析】由题意知函数的定义域为关于原点对称.又由于知函数为奇函数.推广引申如果一个函数解析式比较复杂，且未指出其定义域，那么在判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域，再决定是否需要将解析式化简，并用函数奇偶性的定义加以判断，以免导致错误.【拓展变式】1. 判断下列函数的奇偶性：（1）x22|x|1； （2）f(x)x题型二 分段函数的奇偶性问题典例3. 已知是定义域为的奇函数，当时，求的解析式.【研析】设，则，由已知得， 是奇函数， 当时，； 又是定义域为的奇函数， 综上所述：反思领悟 分段函数的奇偶性的判断应分段讨论,也就是“分段函数问题分段解决”.另外在解决分段函数问题时,一定要注意要根据的范围的不同选取相应的函数表达式.【拓展变式】2. 已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式题型三 考查奇函数、偶函数的图象典例4. 已知函数为偶函数,且时,求当时的解析式.【研析】作出函数的图象,可以发现其顶点坐标为.又为偶函数,其函数的图象应该关于轴对称,从而可以根据对称性作时的图象,其顶点坐标为,根据所作出的函数不难得出:当时,方法探究 本题中函数的实质就是应注意两抛物线形状一致,则二次项系数的绝对值相同.此类问题我们也可以直接由函数的奇偶性的定义加以求解,过程如下:当时,又由于是偶函数,则.所以当时, 【拓展变式】3.设是定义在上的偶函数,与的图象关于直线对称,且当时,为实数,求的表达式. 综合思维探究题型一 学科内综合题典例5.设函数是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数，实数满足，求实数的取值范围【研析】在区间上是减函数，的图象在轴左侧单调递减又是奇函数，其图象关于原点中心对称，则的图象在轴右侧也单调递减又由于，所以整个函数的图象在上单调递减由于，从而，解得从而实数的取值范围是方法探究 定义在上的奇函数的图象一定经过坐标原点，并且由函数的对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.【拓展变式】4. 定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围题型二 易错辨析题 典例6.是定义在上的偶函数,在上单调递增,且有,试求实数的取值范围. 【错解】,即,由于,从而即这样的实数不存在. 【正解】由是定义在上的偶函数,在上单调递增,知在区间上单调递减.因为,且,从而,即,解得即实数的取值范围是思维指南 在利用函数的奇偶性与单调性解决不等式问题时,一定要注意在自变量所在的区间是否是同一区间,本题中和不在同一个区间之内,故不能直接使用函数单调性的定义加以求解.【拓展变式】5. 已知是定义在上偶函数，当时是减函数，如果不等式恒成立，求实数的取值范围. 创新思维探究题型一 开放探究题典例7.已知是奇函数,它在上是增函数,且,试判断在上的单调性,并加以证明.【研析】任取,则必有.在上是增函数,且,.又是奇函数, ,于是即在上是减函数.交流探讨 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的有关知识及探索性问题的解法.本题中最容易发生的错误是一开始就在内任取展开证明,但是这样就不能保证在内的任意性,从而导致错误.避免错误的方法是:要有明确的目标,有针对性的展开证明,也就是说要在内任取,进而利用已知条件判断的符号.【拓展变式】6. 已知f (x)是R上的偶函数，且在(0,+ )上单调递增，并且f (x)0时，那么x0时，f(x)= .三、综合与探究7. 判断下列函数的奇偶性； ； .8. 设函数f(x)对任意x,y，都有，且时，f(x)0，f(1)=2(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问在时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.答案与解析研读【拓展变式】1.解:（1）的定义域为且满足,从而可知为偶函数；（2）f(x)x的定义域为且,所以为奇函数.2. .解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数，当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，3. 解:设是函数图象任意一点,则点关于直线的对称点在的图象上,所以当时,则又因为为偶函数,所以当时,综上可知,4. 解：原不等式化为，是奇函数，原不等式化为，是减函数， 又的定义域为，解得， 由和得实数的取值范围为5. 解：是偶函数，不等式等价于. 即 解之得：.6. 解:设x1x2 x2 0, f(x1)f(x2), f (x)为偶函数, f(x1)f(x2)又（f(x1)0, f(x2)0）在是单调递减函数.7. A 解析:函数均为奇函数,8. 解法一(定义法):由是奇函数,得为偶函数,由题意知,所以以上的四个等式可简化为:;又因为是奇函数且为增函数,且,所以,从而.解法二:(间接法)即构造满足条件的两个函数模型,取特殊值,验证可得.另外本题可还以借助于函数的图象加以求解,请同学们在自己解决.9. A 解析:由于,从而,又函数是定义在上的奇函数,从而优化考题新演练1. C 解析:因为函数具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称,即,解得2. A 提示:借助函数的图象进行考查,应注意奇函数的图象关于原点对称.3. A 解析:由图象可知与都是奇函数,故为偶函数,其函数的图象关于轴对称,排除D选项.又因为在的左侧附近,所以;在的右侧附近,所以;排除B,C,从而只能A.4.