[工学]工程力学课件工程力学课件.ppt

7 3 弯曲应力及强度 第三节平面弯曲时梁的应力及强度计算 3 1纯弯曲及其变形 3 2纯弯曲时梁截面上的正应力 3 3横力弯曲时梁截面上的正应力 弯曲正应力强度条件 3 4横力弯曲时梁截面上的切应力 弯曲切应力强度条件 3 5提高梁弯曲强度的主要措施 纯弯曲及其变形 一 概念 FQ 0M C 已知是横截面上的正应力组成了M 但如何分布 大小都是未知 所以求解应力的问题属静不定问题 首先研究纯弯曲时横截面上的应力问题 1 实验观察 二 实验及假设 横向线 偏转 夹角d 纵向线 弯曲 缩短 伸长 0 变弯 偏转 中性轴 中性层与横截面的交线 z 中性层曲率 1 中性轴 中性层 纵向对称面 2 推理假设 1 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面 且垂直于变形后的轴线 0得 0 2 纵向纤维互不挤压 纵向纤维间无 等截面直梁在纯弯时 横截面上只产生正应力 结论 中性轴 z 纯弯曲时梁横截面上的正应力 一 变形几何关系 应变 位移 纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正 沿y轴线性分布 结论 设 pEt Ec E 二 物理关系 横截面上 沿y轴线性分布 中性轴上 0 结论 三 静力关系 将平行力系 dA向形心简化 得到FN My Mz 将代入 a 得 令 Sz为A对z轴的静矩 为A的形心在y轴上坐标 故 因为 得 又可表示为 z轴 中性轴 过横截面形心 结论 将代入 b 令 为A对y z轴的惯性积 显然若y z轴中有一个为对称轴则Iyz 0 由于y轴为对称轴 必然有 Iyz 0 自然满足 结论 将代入 c 令 Iz为A对z轴的惯性矩 于是 得 代入得 常用图形 y Iz 同理 1 矩形 同理 2 圆形 由定义知 适用条件 1 平面弯曲 2 纯弯曲 3 p Et Ec 4 等截面直梁 5 截面形状任意 横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲正应力强度条件 一 横力弯曲 FQ M 横截面翘曲 当FQ C 各横截面翘曲相同 用公式 计算仍是完全正确的 结论 当FQ C各横截面翘曲不相同 理论分析与实验表明 当l h 4用公式 计算 其影响小于1 7 工程上是完全允许的 q 结论 纯弯曲等截面直梁 条件放松 公式推广 结论 1 塑性材料 二 弯曲正应力强度条件 当梁为变截面梁时 max并不一定发生在 M max所在面上 注意 等截面梁 令Iz ymax WzWz 抗弯截面系数 常用图形Wz 2 脆性材料因为 t c 所以分别建立强度条件 当截面中性轴不对称时 最大正弯矩和最大负弯矩所在截面 都是危险截面 注意 3 应用强度条件计算 强度条件解决三类问题 步骤 1 画M图 确定危险截面Mmax 三 计算 脆 二个危险截面 塑 一个危险截面 2 画 分布 确定危险点 只对脆性材料 例2已知3a 150mm 140MPa 求 F 解 1 画M图 Mmax Mmax MB F a 2 应用强度条件计算 求 F 例2已知F 50kN G1 6 5kN q为梁自重 l 10m 140MPa 试选择工字钢截面 解 先按F G1选截面 1 画M图 Mmax 2 应用强度条件计算 查表40a工字钢Wz 1090cm3 满足强度条件 3 检验 q 67 6N m 例3已知q 2kN m l 2m 分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面 D1 40mm d2 D2 3 5 求 1 实 空 2 空 实 实 解 1 画M图 实心圆截面 2 应力计算 空心圆截面 例5已知 t 30MPa c 160MPa Iz 763cm4 y1 52mm 试校核梁的强度 解 FAy 2 5kNFBy 10 5kN 1 画M图 B C截面危险截面 2 画 分布 B截面 3 强度计算 y2 120 20 52 88mm C截面 故满足强度条件 横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件 一 矩形截面 1 假设 的分布 且方向同FQ 沿b均布 2 的公式推导 切dx段 取出r p m n F 令 S 为A 对z轴的静矩 F 同理 将F1 F2代入 得 沿y轴抛物线分布 当y 0时 对某一截面而言 随Sz 变 切应力的分布 FQ 切应力互等定理 连接件将金属板条与混凝土板联接在一起 二 工字形截面 FQ 翼缘 腹板 min max FQ z B 三 弯曲切应力强度条件 对于等直梁 四 需要对切应力进行强度校核的情况 1 短梁和集中力靠近支座 2 木梁 3 焊 铆或胶合而成的梁 4 薄壁截面梁 解 作FQ M图 例5已知F b h l 求 发生在固定端上边缘 发生在任意截面的中性轴上 当F h 5时 max max 20此情况下 弯曲切应力是次要的 例6 1 两个相同材料的矩形截面叠梁 设两梁间无摩檫 求 max 解 每梁的变形相同 各梁在自由端处所受外力均为F 2 Mmax Fl 2 F 2 在自由端有一直径为d的螺栓 求 max及螺栓截面的FQ1 解 1 两梁作为一整体 故 Mmax Fl 加螺栓后 强度提高 由切应力互等定理知 中性层面有均匀分布的 max 在中性轴处有垂直中性轴 max 其合力与FQ1平衡 即 2 求螺栓截面的剪力FQ1 例7三根材料相同的木板胶合而成的梁 l 1m b 100mm h 50mm 胶 0 34MPa 木 10MPa 木 1MPa 试求许可载荷 解 比较得 F移到C点时 1 F移到AB中点时 2 胶合面剪切强度条件 3 梁的正应力强度条件 梁的切应力强度条件 5 5提高弯曲强度的主要措施 弯曲强度主要取决于 max 一 合理安排梁的受力情况 合理设计和布置支座 2 将集中载荷适当分散 3 集中载荷尽量靠近支座 二 合理的截面设计 塑性材料 t c 应尽量制成对称截面 使面积分布远离中性轴 由 知 在不增加面积的情况下 Wz越大越好 以矩